專題2.6二次函數(shù)與幾何壓軸綜合問題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化40題）（解析版）

一、解答題12021·黑龍江·肇源縣第五中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（-1，0B（4，n）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（5，0）.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①求線段PE長的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.【答案】【答案】(1)y=?x2+4x+5(2)①PE有最大值，點(diǎn)P的坐標(biāo)為,；②存在，4?13或0或【分析】（1）根據(jù)題意將拋物線解析式可化為y=a(x+1)(x?5)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①設(shè)p(m,?m2+4m+5)，E(m,m+1)，表示出PE，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；②分三種情況討論(ⅰ)當(dāng)BC=BE時(shí)，(ⅱ)當(dāng)BC=CE時(shí)，(ⅲ)當(dāng)BE=CE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的定義，勾股定理列出方程，解方程即可求解.解：由題意，拋物線y=ax2+bx+c的解析式可化為y=a(x+1)(x?5)，將點(diǎn)B(4,n)代入直線y=x+1將點(diǎn)B(4,5)代入y=a(x+1)(x?5)解得a=?1，則拋物線的解析式為y=?(x+1)(x?5)=?x2+4x+5，即y=?x2+4x+5；①由題意：設(shè)P(m,?m2+4m+5)，E(m,m+1)，點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方，∴當(dāng)m=時(shí)，PE有最大值，最大值為當(dāng)m=時(shí)，?m2+4m+5=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為②存在，m的值為4?13或0或3.4∵B(4,5),C(5,0),E(m,m+1)，由等腰三角形的定義，分以下三種情況：(ⅰ)當(dāng)BC=BE時(shí)，△BEC為等腰三角形，則BC2=BE2，即2(m?4)2=26，解得m=4?13或m=4+13（舍去）(ⅱ)當(dāng)BC=CE時(shí)，△BEC為等腰三角形，則BC2=CE2，即(m?5)2+(m+1)2=26，解得m=0或m=4（舍去(ⅲ)當(dāng)BE=CE時(shí)，△BEC為等腰三角形，則BE2=CE2，即2(m?4)2=(m?5)2+(m+1)2，解得m綜上，m的值為4?13或0或3.4【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段問題，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.22021·湖南·長沙縣安沙鎮(zhèn)楊梓中學(xué)九年級期中）如圖，已知在平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，-3)，根據(jù)條件，解答下列問題：(1)如圖1，求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)如圖2，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，求四邊形ABDC的面積；(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)Q是該拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QA，QC，AC，當(dāng)△QAC周長最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出此時(shí)△QAC周長的最小值.【答案】(1)y=x2?2x?3(2)9(3)Q(1,?2)，三角形QAC的周長最小值為10+32【分析】（1）根據(jù)A，B的坐標(biāo)設(shè)拋物線為：y=a(x+1)(x?3),再把C的坐標(biāo)代入即可；（2）先求解拋物線的頂點(diǎn)為：D(1,?4),如圖，記拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為K，則K(1,0),利用S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDK+S△BDK可得答案；（3）如圖，由A，B關(guān)于拋物線y=(x?1)2?4的對稱軸x=1對稱，連接BC，交對稱軸于Q，則三角形QAC的周長為：AQ+CQ+AC=AC+BC,此時(shí)周長最短，再求解BC為：y=x?3,可得Q的坐標(biāo)，再利用勾股定理求解AC，BC即可得到三角形的周長的最小值.(1)解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，-3)，設(shè)過A，B，C的拋物線為：y=a(x+1)(x?3),解得：a=1,∴拋物線為：y=(x+1)(x?3)=x2?2x?3.(2)∴拋物線的頂點(diǎn)為：D(1,?4),如圖，記拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為K，則K(1,0),∴S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDK+S△BDK(3)如圖，由A，B關(guān)于拋物線y=(x?1)2?4的對稱軸x=1對稱，連接BC，交對稱軸于Q，則三角形QAC的周長為：AQ+CQ+AC=AC+BC,此時(shí)周長最短，設(shè)直線BC為y=kx+b,則{3k+b=0,則{3k+b=0,∴BC為：y=x?3,∴三角形QAC的周長最小值為：10+32.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，利用軸對稱的性質(zhì)求解三角形的周長的最小值，掌握二次函數(shù)的軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.32021·廣東·華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校九年級期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A3,3、B4,0和原點(diǎn)O．P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D(m,0)，并與直線OA交于點(diǎn)C.(1)求出二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，求線段PC的最大值；(3)當(dāng)m>0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)y=-x2+4x4(2)4(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3?2,1+22)或(3+2,1?22)或（5，-5）或（4，0）【分析】（1）設(shè)y=ax（x-4把A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出答案；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出PC=-m2+3m，化成頂點(diǎn)式即可求出線段PC的最大值；OC=2m，分為三種情況：當(dāng)OC=PC時(shí)，當(dāng)OC=OP時(shí)，當(dāng)PC=OP時(shí)，即可得到答案.(1)解∶∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B4,0和原點(diǎn)O.∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax（x-4把點(diǎn)A（3，3）代入，得：3=3a（3-4解得：a=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=-x（x-4）=-x2+4x；(2)解：根據(jù)題意得：0<m<3，PC=PD-CD，設(shè)直線OA的解析式為y=kxk≠0，把點(diǎn)A（3，3）代入，得：3=3k，解得：k=1，∴直線OA的解析式為y=x，∵D（m，0PD⊥x軸，P在y=-x2+4x上，C在直線OA上，∴P（m，-m2+4mC（m，m∴PD=-m2+4m，CD=m，∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m=?(m?)2+，∴當(dāng)m=3時(shí)，線段PC最大，最大；值為9；2(3)解：存在，理由如下：∵C（m，mP（m，-m2+4m∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，OC=OD2+CD2=2m，OP2=OD2+DP2=m2+m2(m?4)2，當(dāng)0<m<3時(shí)，僅有OC=PC，由（2）得：PC=PD-CD=-m2+3m，∴?m2+3m=2m，解得：m=3?2或0（舍去當(dāng)m≥3時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)P的上方，此時(shí)PC=CD-PD=m2-3m，解得：m=3+2或0（舍去∴此時(shí)點(diǎn)P(3+2,1?22)；當(dāng)OC=OP時(shí)，有OC2=OP2，解得：m=5或3（舍去）或0（舍去∴此時(shí)點(diǎn)P（5，-5當(dāng)PC=OP時(shí)，m2?3m2=m2+m2(m?4)2，解得：m=4或0（舍去∴此時(shí)點(diǎn)P（4，0【點(diǎn)睛】本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目3）小題有一定的難度.42021·安徽·合肥市五十中學(xué)新校九年級期中）直線y＝x﹣2與x、y軸分別交于點(diǎn)A、C．拋物線的圖象經(jīng)過A、C和點(diǎn)B（1，0）.(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)P，使得△PBG的周長最??？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？【答案】(1)y=?【答案】(1)y=?(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1）(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1最大距離為45.5【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線y=-1的對稱點(diǎn)H（1，-2連接GH交直線y=-1于點(diǎn)P，在點(diǎn)P為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解；（3）由S△ACD=S梯形AGFC-S△CDF-S△ADG（AG+FC）?FG-FC?FD-DG?AG，即可求解.解：在直線解析式中，令x＝0，得y=﹣2；令y＝0，得x＝4，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∵點(diǎn)A（4，0B（1，0C（02）在拋物線上，解得，∴拋物線的解析式為：y=?x2+x?2；拋物線的對稱軸為x=,在直線y=﹣1上存在點(diǎn)P，使得使得△PBG的周長最小，作點(diǎn)B關(guān)于直線y=﹣1的對稱點(diǎn)H（12連接GH交直線y=﹣1于點(diǎn)P，在點(diǎn)P為所求點(diǎn)，理由：△PBG的周長＝BG+BP+PG＝BG+PH+PG＝GH+GB為最小，設(shè)直線BG的表達(dá)式為y=kx+b，解得：，當(dāng)y＝1＝解得設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y由勾股定理得：AC＝25.連接CD、AD，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥FD交FD的延長線于點(diǎn)G，則FD＝x，DG＝4﹣x，OF＝AG＝y(tǒng)，F(xiàn)C＝y(tǒng)+2.S△ACD＝S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG=（AG+FC）?FG﹣FC?FD﹣DG?AG=（y+y+2）×4y+2）?x4﹣x）?y=2y﹣x+4，將y=﹣x2+x﹣2代入得：S△ACD＝2y﹣x+4=﹣x2+4x=x﹣2）2+4，∴當(dāng)∴當(dāng)x＝2時(shí)，△ACD的面積最大，最大值為4.2∴當(dāng)△ACD的面積最大時(shí)，高DE最大，則DE的最大值為∴當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1最大距離為45.5【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最值、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，第（2）問有多種解法，可以從不同角度嘗試與探究.52021·天津紅橋·九年級期中）已知拋物線y＝ax2＋bx＋5（a為常數(shù)，a≠0）交x軸于點(diǎn)A1，0）和點(diǎn)B（5，0交y軸于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且PB＝PC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸l上一點(diǎn)，當(dāng)QA＋QC最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】(1)C(0,5)，y=?x2+4x+5(2)P(3+29,3+29)或P(3?29,3?29)(3)(2,3)【分析】（1）對于y=ax2+bx+5，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，求得C(0,5)，解方程組即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)B(5,0)，C(0,5)，得到OB=OC，連接BC，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，求得D得到直線OD的解析式為y=x，設(shè)P(m,m)，解方程即可得到結(jié)論；（3）由（1）知，拋物線的對稱軸為直線x=2，根據(jù)軸QB+QC，當(dāng)B，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)，QB+QC最小，即QA+QC最小，求得直線BC的解析式為y=?x+5，把x=2代入y=?x+5即可得到結(jié)論.(1)解：對于y=ax2+bx+5，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，∴C(0,5)，∵拋物線y=ax2+bx+5(a為常數(shù)，a≠0)交x軸于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B(5,0)，∴拋物線的解析式為y=?x2+4x+5；(2)解：”B(5,0)，C(0,5)，:OB=OC，連接BC，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，:D(，)，:直線OD的解析式為y=x，”PB=PC，:點(diǎn)P在直線OD上，設(shè)P(m,m)，”點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，解得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)；(3)解：由（1）知，拋物線的對稱軸為直線x=2，”點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l對稱，點(diǎn)Q在直線l上，:QA=QB，QA+QC=QB+QC，:當(dāng)B，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)，QB+QC最小，即QA+QC最小，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，:{5k+b=5，:直線BC的解析式為y=—x+5，∴Q(2,3)，∴當(dāng)QA+Qc最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(2,3).【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱?最短路線問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.62021·重慶·北京師范大學(xué)江津附屬學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】(1)y=?x2+3x+4(3)存在或-）或-）【分析】（1）把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長最小的點(diǎn)，由對稱可知，PB′=PB，即△PBC周長的最小值為：BC+CB′；2+3m+4①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥即|-m2+3m+4-，求出m的值，代入即可；②當(dāng)EF為對角線時(shí)，EF的中點(diǎn)為(,),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可.解：把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，∴拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4；解：由拋物線解析式可知，對稱軸直線l如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長最小此時(shí)B′（3，4設(shè)直線B′C∴3k的解析式為y=kx+b1，解得：，∴直線B′C的解析式為：y=x+1，把代入得：y+1，∴△PBC周長的最小值為：17+42；解：存在，以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或(,-）或-理由如下：∴直線AB的解析式為：y=-x+4，設(shè)設(shè)M（m，-m2+3m+4①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，∴NM=EF，即|-m2+3m+4-（-m+4）|，解得m（舍）或或或，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-m，m2-3m+∴-3+m+4=m2-3m+，解得m（舍m，綜上，滿足以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或(,【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形存在性問題，解題過程中注意需要分類討論.72021·廣東·廣州外國語學(xué)校九年級期中）已知拋物線Y=?x2+mx+m+1過定點(diǎn)A.（1）求定點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若拋物線過點(diǎn)B3,0，已知點(diǎn)H0,，G2,0，在拋物線對稱軸上找一點(diǎn)F，使HF+AF的值最小，求點(diǎn)F的坐標(biāo).（3）在（2）的條件下，請問拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使KF+KG的值最小，若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（【答案】（1）A的坐標(biāo)為（-1，02）F的坐標(biāo)為（1，153）K點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）4【分析】（1）可以對拋物線解析式進(jìn)行因式分解得到Y(jié)=?x?1?mx+1，由此即可得到答案；（2）先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出拋物線解析式，然后連接AF，BF，HF，連接BH交直線x=1于F1，根據(jù)A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱，得到AF=BF，則AF+HF=BF+HF，要想AF+HF的值最小，即BF+HF的值最小，故當(dāng)H、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，BF+HF的值最小，此時(shí)F在F1的位置，BF+HF的最小值即為BH，求出直線BH的解析式，即可得到F點(diǎn)坐標(biāo)；可以看作是點(diǎn)K到直線Y=的距離，如圖所示，過點(diǎn)K作KC⊥直線Y=于C，則KF+KG=KC+KG，要想使KF+KG最小，則KC+KG最小，當(dāng)G、K、C三點(diǎn)共線時(shí)，KC+KG最小，最小值即為圖中的GC1，由此即可得到答案.【詳解】解【詳解】解1）∵拋物線解析式為y=?x2+mx+m+1=?x2?1?mx+1∴拋物線過定點(diǎn)（-1，0（2）∵拋物線過點(diǎn)B（3，0∴拋物線解析式為y=?x2+2x+3；如圖所示，連接AF，BF，HF，連接BH交直線x=1于F1∵拋物線解析式為y=?x2+2x+3，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)A（-1，0點(diǎn)B（3，0）在拋物線上，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱，∴AF=BF，∴AF+HF=BF+HF，∴要想AF+HF的值最小，即BF+HF的值最小，∴當(dāng)H、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，BF+HF的值最小，此時(shí)F在F1的位置，BF+HF的最小值即為BH，設(shè)直線BH的解析式為y=kx+b，8,∴直線BH的解析式為y=?x+，（3）設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)為（n，?n2+2n+34∴KF的長，可以看作是點(diǎn)K到直線的距離；如圖所示，過點(diǎn)K作KC⊥直線y=∴KF+KG=KC+KG，∴要想使KF+KG最小，則KC+KG最小，∴當(dāng)G、K、C三點(diǎn)共線時(shí)，KC+KG最小，最小值即為圖中的GC1∴K點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的對稱性，求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.82021·黑龍江·訥河市第三中學(xué)九年級期中）綜合與探究如圖，已知點(diǎn)B（3，0C（0，-3經(jīng)過B．C兩點(diǎn)的拋物線y=x2-bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.（1）求拋物線的解析式;（2）點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△ACD的周長最小時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).（3）若點(diǎn)E（2，-3在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.P3(0,3).【分析】（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）由題意根據(jù)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)，連接BC交函數(shù)對稱軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為所求點(diǎn)，進(jìn)行分析求解；（3）根據(jù)題意分AB是平行四邊形的邊、AB是平行四邊形的對角線兩種情況，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)并進(jìn)行分析即可求解.【詳解】解1）將點(diǎn)B(3,0),C(0,?3)代入拋物線y=x2?bx+c，得，解得，∴拋物線的解析式為y=x2?2x?3；（2）如圖：對稱軸為∴連結(jié)BC與對稱軸為x=1的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)D，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B(3,0),C(0,?3)代入解析式得解得∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,?2)；如圖：①當(dāng)AB為邊長，BE為邊長，如圖四邊形ABEP1為平行四邊形∵對稱軸為x=1，B3,0∴P1E=AB=4②當(dāng)AB為邊長，AE為邊長，∵EP2=AB=4③當(dāng)AB為對角線，四邊形ABEP1為平行四邊形∵四邊形ABEP1為平行四邊形易得P3恰好交y軸∴P3(0,3)綜上所述，P1(?2,?3)，P2(6,?3)，P3(0,3).【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析是解題的關(guān)鍵.92021·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.xx+4；存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1(3,0)，【分析】（【分析】（1）將點(diǎn)A、C代入拋物線解析式，求解系數(shù)即可；（（2）令Y=0求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，確定點(diǎn)P的位置，求解即可；（（3）分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可.【詳解】解【詳解】解1）將點(diǎn)A、C代入拋物線解析式得，∴拋物線的解析式為∴拋物線的解析式為4，（2）令y=0，即解得x1=8，x2=?2，即B（8，0且拋物線的對稱軸為直線x=3，由對稱性可知，PB=PA，△△PAC的周長為PA+PC+AC=PB+PC+AC所以，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PAC的周長最小，由三角形三邊關(guān)系可得：PB+PC>BC，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC=BC，此時(shí)△PAC的周長最小設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，代入B、C得直線BC的解析式為x+4，（3）依題意，拋物線的對稱軸為直線x=3，可設(shè)點(diǎn)Q(3，t)分三種情況討論：①若AQ＝CQ，則有AQ2＝Q2，即25+t2=9+(t-4)2解得t＝0，∴Q（3，0）②若AC＝AQ，則有AC2＝AD2，即25+t2=20解得t2＝-5，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)不能構(gòu)成等腰三角形；③若AC＝CQ，則有AC2＝CQ2，即9+(t-4)2=20解得t=4±11，【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對稱求最短路徑，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.102021·黑龍江·木蘭縣吉興鄉(xiāng)中學(xué)九年級期中）已知二次函數(shù)y＝ax2－2ax－3a交x軸于A、B，交y軸于點(diǎn)C，S△ABC＝6（1）求a的值.（2）點(diǎn)P在第一象限拋物線上，過P點(diǎn)作y軸的平行線，交BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PQ＝d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式.（3）點(diǎn)G在第二象限的拋物線上，GB交y軸于點(diǎn)I，點(diǎn)K在線段BC上，OK⊥BI于點(diǎn)L，∠CIK=∠OIB，求點(diǎn)G的坐標(biāo).【分析】（1）連接AC，先令y=0，根據(jù)a≠0，解方程求得A,B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，令x=0，求得y=?3a，進(jìn)而求得a的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得拋物線的解析式和直線BC的解析式，根據(jù)題意p(t,?t2+2t+3)，Q(t,?t+3)，進(jìn)而即可求得d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）過點(diǎn)K作KE⊥y軸，∠OIB=CIK=α,根據(jù)同角的余角相等可得∠EKO=α,設(shè)IO=a，EK=b，根據(jù)這三個(gè)角的正切值列出關(guān)系式，可得+a=?b+3①,解方程組即可求得進(jìn)而求得I點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線BI解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求得G點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】解1）如圖，連接AC，y＝ax2－2ax－3a交x軸于A、B，解得x1=?1,x2=3∴A(?1,0),B(3,0)∴C(0,?3a)∵S△ABC＝6∴C(0,3)解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3（2）如圖，”B(3,0),C(0,3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b:直線BC的解析式為y=一x+3”點(diǎn)P在第一象限拋物線上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PQ＝d，:P(t,一t2+2t+3)（3）如圖，過點(diǎn)K作KE丄y軸，∵∠CIK=∠OIB∵OK⊥GB，∴∠IOK+∠OIL=∠IOK+α=90°又∵KE⊥EO，則∠EOK+∠EKO=90°∴∠EKO=α∵OC=OB=3，∠COB=90°∴∠OCB=45°設(shè)IO=a，EK=b則tan∠OIB=tanα==，CE=EK=b∵tan∠EIK=tanα==aEIab∴EI=3∴EO=EI+IO=+a∴K(b,+a)∵K在BC上，∴+a=?b+3①EO+a∵tan∠EKOEO+a∵tan∠EKO=tanα==EKbba即?ab+3a=3b將③代入①得：a?b+a=?b+3解得a=∴I(0,)設(shè)直線BI的解析式為y=mx+n將B(3,0)，I(0,)代入得：解得解得∴直線BI的解析式為聯(lián)立解得【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，正切的定義，第三問中求得I點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.112021·黑龍江·同江市第三中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)A（2，0）.(1)求此拋物線的解析式；(2)求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若拋物線上有一點(diǎn)B，且SΔOAB=3，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo).【答案】(1)y=x2?2x(2)頂點(diǎn)為(1,?1)(3)(3,3)或(?1,3)【分析】（1）直接把(0,0)，(2,0)代入y=x2+bx+c中，列方程組求b、c的值即可；（2）將二次函數(shù)解析式寫成頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(c,d)，根據(jù)三角形的面積公式求d的值，再將縱坐標(biāo)d代入拋物線解析式求c的值，確定B點(diǎn)坐標(biāo).解：把(0,0)，(2,0)代入y=x2+bx+c得解得fb=∴解析式為y=x2?2x∴頂點(diǎn)為(1,?1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(c,d)，則12∵頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為?1，?3<?1（或x2?2x=?3中，x無解）解得x1=3，x2=?1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3)或(?1,3)【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是將拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，列方程組求解析式，將拋物線解析式寫成頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸.122022·湖北武漢·九年級期中）如圖，拋物線y＝ax2＋3ax＋4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且S△ABC＝10，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接BP.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；(3)如圖2，設(shè)BP與AC的交點(diǎn)為Q，連接PC，是否存在點(diǎn)P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】【答案】(1)y=?x2?3x+4(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再由S△ABC求出AB的長，根據(jù)對稱軸為直線x=?可得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)BP與Y軸交于點(diǎn)E，由∠BPD＝2∠BCO可得∠BEO=2∠BCO，即∠EBC=∠ECB，32EB=EC，通過勾股定理求出點(diǎn)E坐標(biāo)，從而求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程可得D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求解即可；（3）過點(diǎn)P作PM∥x軸交直線AC于點(diǎn)M，由S△PCQ＝S△BCQ可得Q為BP中點(diǎn)，從而得到△PMQ≌△BAQ，設(shè)點(diǎn)Pt,?t2?3t+4，可用含t代數(shù)式表示點(diǎn)M，求出AC所在直線方程，將點(diǎn)M代入求解.令y＝ax2＋3ax＋4中x=0，得y=4，∵S△ABC=AB·OC，22∵拋物線的對稱軸為x=?∴由對稱性知A?4,0，B32把1,0代入拋物線的解析式得a+3a+4=0，∴該拋物線的解析式為Y=?x2?3x+4；設(shè)BP與Y軸交于點(diǎn)E，∵PD⊥x軸，∴PD∥OC，∴∠BPD=∠BEO，∵∠BPD=2∠BCO，∴∠BEO=2∠BCO=∠BCO+∠EBC，∴∠BCO=∠EBC，∴EB=EC.設(shè)OE=m，則CE=BE=4?m，設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，將E0,和B1,0代入y=kx+b得，∴直線BE的解析式為聯(lián)立4，消y得，X2+不存在；理由如下：過點(diǎn)P作PM∥X軸交直線AC于點(diǎn)M，∵S△PCQ=S△BCQ，∴PQ=BQ，∴△PMQ≌△BAQ，PM=AB=5.設(shè)P(t,?t2?3t+4)，則yM=yP=?t2?3t+4，設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，把（-4，0）和（0，4）代入，解得a=∴直線AC的解析式為y=X+4，∴符合條件的點(diǎn)P不存在.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過添加輔助線求解.132022·全國·九年級期中）次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A1，0B（4，0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達(dá)式；連接BD，當(dāng)t=時(shí)，求△DNB的面積；(3)在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】【答案】(1)y=?x2+x+2(2)S△DNB=2(3)P（11）或（3，3）【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)a與b即可；（2）先求出BC的解析式x+2，再將x=2代入y=?x+2和y=?x+2，得出D、N的坐標(biāo)即可求出DN的值，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算出答案即可；（3）由BM的值得出M的坐標(biāo)M（2t?1,0)，因此設(shè)P（2t-1，m由勾股定理可得PC2=(2t?5)2+m2，得出P的坐標(biāo)為P(2t?1,4t?5)，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案.解：將A(-1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2中，得：{解得：.∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?x2+x+2.解：連接BD，如圖所示，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0)，2將點(diǎn)C（0，2B（4，2解得：∴直線BC的解析式為：y=?.將x=2代入y=?x2+x+2和y=?x+2，得D(2，3)，N（2，1設(shè)P（2t-1，m∵PB=PC，∵PC⊥PB，∴[(2t?1)2+(m?2)2]+[(2t?5)2+m2]=(2將m=4t?5代入整理得：t2?3t+2=0，解得：t=1或t=2.將t=1或t=2分別代入p(2t?1,4t?5)中，【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求平面內(nèi)三角形的面積，以及根據(jù)等腰直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式，同時(shí)根據(jù)解析式將點(diǎn)表示出來，列出方程進(jìn)行計(jì)算.142020·遼寧鐵嶺·九年級期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（2，3與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OB.(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在y軸上，且∠BDO=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】【答案】(1)y=?x2+2x+3(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）或（01）【分析】（1）待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，△AHB是等腰直角三角形．得OD=OB=1，即可得到結(jié)論；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交直線AB于G，利用直線與拋物線的解析式，以及三角形面積公式列出二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)最值的求法解答.(1)解：由y=ax2+bx+3，令x=0∵OC=3OB，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，把A（2，3B1，0）兩點(diǎn)分別代入y=ax2+bx+3中，解得fa=∴拋物線的解析式為：y=?x2+2x+3(2)∴AC//x軸.過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H∴△AHB是等腰直角三角形.∴∠ABH=∠BAC=45°.由∠BDO=∠BAC=45°,點(diǎn)D在y軸上，得OD=OB=1.(3)如圖，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交直線AB于G，設(shè)P（x，-x2+2x+3設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)A（2，3B（-1，0）得到直線AB為：y=x+1.∴PG=-x2+2x+3-x-1=-x2+x+2.∴S△PABPG?（2+1-x2+x+2）×3=-（x-）2+.∴當(dāng)時(shí)，△PAB的面積最大.【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.152020·黑龍江·北安市教育局九年級期中）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0與y軸交于C（03）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.(3)連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=x2?2x?3(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為四邊形ABPC的最大面積為(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）直接把B（3，0）、C（03）代入y=x2+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b=﹣2，c=﹣3，則二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3；（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，則PO=PC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點(diǎn)坐標(biāo)為（0),則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣,再把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3可求出對應(yīng)x的值，然后確定滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).(1)C（03）代入y=∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3；(2)如圖1,作PF⊥x軸于F點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蜛BPC的面積=三角形ABC的面積+三角形BPC的面積；而三角形ABC的面積不變，所以當(dāng)三角形BPC的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積的面積也最大；令y=0，則x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=-1，x2=3，所以A(-1，0)B(3，0)BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)E（m，m﹣3P（m，m2﹣2m﹣3）.PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣)2+，S△BCP=S△BEP+SCEPPE×FB+EP?OFEP?OB×3[﹣（m﹣)2+]當(dāng)m時(shí)，S最大×3×,所以此時(shí)，四邊形ABPC的面積的面積也最大；S四邊形ABPC=S△BCP+S?ABC=6+=(3)存在．理由如下：作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E，如圖2,則PO=PC，∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，∴OP′=OP，CP′=CP，∴∴OP′=OP=CP′=CP，∴四邊形POP′C為菱形，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（03∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（032∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣3，2把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣解得∵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+103）.【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等知識(shí)，當(dāng)所求圖形不規(guī)則時(shí)通常要將其轉(zhuǎn)換為其他規(guī)則圖形面積的和差關(guān)系來求解.162020·黑龍江·勃利縣大四站鎮(zhèn)中學(xué)九年級期中）拋物線y=x2+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-3，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P是y軸左側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，S四邊形OBDC=2S△BPD.【答案】【答案】(1)y=x2+4x?1或m=?2或m=四邊形OBDC=2S△BPD；【分析】（1）將x=0代入y=x-1求出B的坐標(biāo)，將x=-3代入y=x-1求出A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；（2）由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m可以表示出P、D的坐標(biāo)，由此表示出S四邊形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可.(1)∵y=x2+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點(diǎn)，∴拋物線的解析式為：y=x2+4x?1；(2)∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)是m（m＜0∴P（m，m2+4m-1D（m，m-1）∴PD=1-4m-m2-1+m=-3m-m2，m3=-解得：m1=0（舍去m2=-2，∴BEm3=-PD=m2+4m-1+1-m=3m+m2，解得：m=0或∴m=?或m=?2或m=四邊形OBDC=2S△BPD；【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，四邊形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.172021·遼寧·盤錦市雙臺(tái)區(qū)第一中學(xué)九年級期中）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像與x正半軸相交于點(diǎn)B，負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，其中A點(diǎn)坐標(biāo)是1，0B點(diǎn)坐標(biāo)是(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)E，線段BC把△CPD分割成兩個(gè)三角形的面積比為1∶2，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)H在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，當(dāng)以B、C、H、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】【答案】(1)y=?x2+2x+3(2)P點(diǎn)坐標(biāo)(,)或(2,3)(3)F點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,0)、(5,0)、(7?2,0、?2?7,0)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,?x2+2x+3)，0＜x＜3，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合B點(diǎn)坐標(biāo)求出直線BC的解析式，則設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,?x+3)，0＜x＜3，即可求出PE、DE，根據(jù)PE⊥x軸，即有S△PCE=×PE×xP，S△DCE=×DE×xP，進(jìn)而有根據(jù)線段BC把△CPD分割成兩個(gè)三角形的面積比為1:2，分類討論即可求解；（3）設(shè)H點(diǎn)(x,?x2+2x+3)，F(xiàn)點(diǎn)(t,0)，分三種情況討論：第一種情況：當(dāng)BC為對角線時(shí)，另一條對角線為HF；第二種情況：當(dāng)BH為對角線時(shí)，另一條對角線為CF；第三種情況：當(dāng)BF為對角線時(shí)，另一條對角線為CH，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：平行四邊形的對角線相互平分，則采用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組即可求解.(1)∵拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)，,∴拋物線解析式為y=?x2+2x+3；(2)∵P點(diǎn)在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,?x2+2x+3)，0＜x＜3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，B(3,0)，∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，,∴直線BC的解析式為y=?x+3，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,?x+3)，0＜x＜3，根據(jù)題意可知P點(diǎn)在E點(diǎn)上方，∵PE⊥x軸，DE?x+3∵PE⊥x軸，∴S△PCE=×PE×xP，S△DCE=×DE×xP，∵線段BC把△CPD分割成兩個(gè)三角形的面積比為1:2，即分類討論：第一種情況時(shí)，∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)(,)；第二種情況：=時(shí)，∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)(2,3)；,,∵H點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)H點(diǎn)(x,?x2+2x+3)，F(xiàn)點(diǎn)(t,0)，即分類討論：第一種情況：當(dāng)BC為對角線時(shí)，另一條對角線為HF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：BC、HF相互平分，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有解得：，即此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)；第二種情況：當(dāng)BH為對角線時(shí)，另一條對角線為CF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：BH、CF相互平分，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有解得：，即此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)；第三種情況：當(dāng)BF為對角線時(shí)，另一條對角線為CH，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：BF、CH相互平分，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有即此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為7?2,0、?2?7,0；綜上：F點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,0)、(5,0)、(7?2,0、?2?7,0).【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解拋物線解【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解拋物線解析式、三角形面積、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行四邊形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答本題的關(guān)鍵.182021·云南·劍川縣馬登鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(?1,0)、B(4,5)兩點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F.(1)求拋物線的解析式；(2)求線段EF的最大值；(3)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，在拋物線上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得SΔACP=SΔABC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=x2?2x?3(2)(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1?6,2)或(1+6,2)或(1?2,?2)或(1+2,?2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）先設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再表示出EF的長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可確定EF的最大值；（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出三角形ABC的面積，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，用含點(diǎn)P的坐標(biāo)的式表示出三角形ACP的面積，列出關(guān)于方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).解：把A(?1,0)、B(4,5)代入y=x2+bx+c，得：解得：{，∴拋物線的解析式為y=x2?2x?3；解：設(shè)F(x,x2?2x?3)(?1<x<4)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)A(?1,0)、B(4,5)，得：{5{5解得解得：，∴直線AB的解析式為y=x+1，EF∥y軸，∴E(x,x+1)∴EF=x+1?(x2?2x?3)=?x2+3x+4=則當(dāng)x=3時(shí)，EF取得最大值為25；答：存在，∴C(3,0)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1?6,2)或(1+6,2)或(1?2,?2)或(1+2,?2).【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是要會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，會(huì)根據(jù)解析式確定拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對于動(dòng)點(diǎn)問題，一般是先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程，然后解方程.192021·山西陽泉·九年級期中）綜合與探究：如圖，拋物線y=ax2+bx?6與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，OA=2，OB=4，直線l是拋物線的對稱軸，在直線l右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接AD，BD，BC，CD.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D在x軸的下方，當(dāng)△BCD的面積是時(shí)，求△ABD的面積；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=x2?x?6(2)(3)存在，N(?1,?或N1?14,或N1+14,【分析】（1）根據(jù)OA=2，OB=4確定點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式列方程組解出（2）如圖1，過D作DG⊥x軸于G，交BC于H，利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式，設(shè)D（x，x2?x?6則H（x，x?6表示DH的長，根據(jù)△BCD的面積是，列方程可得x的值，因?yàn)镈在對稱軸的右側(cè)，所以x=1不符合題意，舍去，利用三角形面積公式可得結(jié)論；（3）分兩種情況：N在x軸的上方和下方，根據(jù)y=±確定N的坐標(biāo)，并正確畫圖.∴A(?2,0)，B4,0.將A(?2,0，B4,0)代入y=ax2+bx?6，得解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為x?6.如圖1，過D作DG⊥x軸于G，交BC于H，設(shè)BC的解析式為：y=kx+n，則解得∴BC的解析式為x?6，設(shè)D（x，x2?x?6則H（x，x?6∵△BCD的面積是，解得：x=1或3，∵點(diǎn)D在直線l右側(cè)的拋物線上，∴△ABD的面積=AB?DG=×6×=；分兩種情況：①如圖2，N在x軸的上方時(shí)，四邊形MNBD是平行四邊形，∴N的縱坐標(biāo)為，或②如圖3，點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，四邊形BDNM是平行四邊形，此時(shí)M與O重合，拋物線上點(diǎn)D關(guān)于對稱軸X=1的對稱點(diǎn)為?1,?綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N(?1,?或N1?14,或N1+14,.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決平行四邊形的問題，并結(jié)合方程思想解決問題.202022·山東菏澤·九年級期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知拋物線的對稱軸是直線x=﹣1，OA＝OC＝2．P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E.(1)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，且PE=OD，求△PBE的面積.【答案】(1)y=x2+x﹣2(2)【分析】（1）由OA＝OC＝2，得A（2，0C（02然后由待定系數(shù)法即可求拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可；x﹣2得出B設(shè)直線BC為y＝kx﹣2，用待定系數(shù)法求出得直線BC的解析式，設(shè)P（m，1m2+1m﹣2m＜0，則可用含m的代數(shù)式表示出E、D的坐42標(biāo)與線段PE和OD的長度，根據(jù)PE=建立方程求出m的值，則可求出PE和BD的長度，最后計(jì)算△PBE的面積即可.(1)根據(jù)題意得解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+x﹣2；(2)解：設(shè)y=x﹣2=0，8解得x=2或-4，設(shè)直線BC為y＝kx﹣2，將B(﹣4，0）代入得：y=﹣4k﹣2，∴直線BC為y=?x﹣2，設(shè)P（m，1m2+1m﹣2m＜0，則E（m，?1m﹣2D（m，02∴PE=(?1m﹣2）﹣（1m2+1m﹣2）=?1m2﹣m，OD=﹣m，解得m＝0（舍去）或m=﹣3，×∴△PBE的面積為1×28【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)的特征、兩點(diǎn)間的距離公式，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度.212022·寧夏吳忠·九年級期中）已知△AOB的三邊OA=42，OB=6，AB=25，以頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作PN∥x軸，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)M與N重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并確定t的取值范圍；(2)求MN的長度(用含t的代數(shù)式表示)；(3)設(shè)△AMN的面積為S，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值.【答案】(1)A(4，4)，0≤t≤4(3)St2?6t+12(0≤t≤4)，S最大=12；S最【分析】（1）過點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C，交MN于點(diǎn)D，設(shè)OC=x，則BC=6-x，由勾股定理可得OA2?OC2=AB2?BC2，從而得到x=4．進(jìn)而得到AC=4．即可求解；（2）根據(jù)題意可得OP=t，則CD=t，再由△AMN∽△AOB．即可求解；根據(jù)S=MN×AD，可得到S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.解：過點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C，交MN于點(diǎn)D，設(shè)OC=x，則BC=6-x，∵AC2=OA2?OC2，AC2=AB2?BC2，∴OA2?OC2=AB2?BC2，∴(42)2-x2=(25)2-(6-x)2 解得：x=4.∴AC=OA2?OC2=4.解：根據(jù)題意得OP=t，則CD=t，∴AD=4-t∴△AMN∽△AOB.32t)(4-t)=t2?6t+32t)(4-t)=t2?6t+12=(t?4)2，0≤∵二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線t=4，開口向上，∴S隨著t的增大而減小.當(dāng)t=4時(shí)，S有最小值，S最小=0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.222022·浙江·浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，拋物線y=﹣x2＋2x＋3與y軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)與y軸相較于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.(1)直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接BC，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；①用含m的代數(shù)式表示PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)四邊形PEDF為平行四邊形？②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式.【答案】(1)A（-1，0B（3，0C（0，3）(2)①當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形②S=-m2+m（0≤m≤3）【分析】（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo).（2）①PF的長就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值.②可將三角形BCF分成兩部分來求：一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可求出三角形PFB的面積．然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式.解：令y=0，則0=-x2+2x+3，解得：x=-1或3，∵拋物線y=-x2+2x+3與x相交于AB（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)∴A（-1，0B（3，0令x=0，則y=3，∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，解：①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，把B（3，0C（0，3）分別代入，得,∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3.當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，在y=-x2+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4，當(dāng)x=m時(shí)，y=-m2+2m+3，∴F（m，-m2+2m+3∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，∵PF∥DE，∴當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形.因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形.②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0O（0，0可得OB=OM+MB=3.∵∵S=S△EPF+S△CPF，=PF?OB，∴S=×3（-m2+3m）=-m2+m（0≤m≤3）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的基礎(chǔ)，其中用到的知識(shí)點(diǎn)有平行四邊形的判定和性質(zhì)、解一元二次方程、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，三角形面積公式的運(yùn)用.232022·全國·九年級期中）如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，4).(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長度的最大值；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】【答案】(1)y=﹣x2＋2x＋3(2)(3)存在，(1，4)或(2，3)【分析】(1)由二次函數(shù)頂點(diǎn)C(1，4)，拋物線經(jīng)過B(3，0)，用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2＋2x＋3；(2)在y=﹣x2＋2x＋3中，可得D(0，3)，用待定系數(shù)法得直線BD解析式為y=﹣x＋3，設(shè),PM=﹣根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即得：當(dāng)m＝3時(shí)，PM取最大值，最大值為9；(3)過Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，設(shè)Q(xx2＋2x＋3)，則G(xx＋3)，可得QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，又OB＝OD，△BDQ中BD邊上的高為2時(shí)，可知QG＝2，即得﹣x2＋3x＝2，可解得點(diǎn)Q為(1，4)或(2，3).解：由二次函數(shù)頂點(diǎn)C(1，4)，設(shè)y＝a(x﹣1)2＋4，將B(3，0)代入得：4a＋4＝0，∴a=﹣1，∴y=﹣(x﹣1)2＋4=﹣x2＋2x＋3，答：二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2＋2x＋3；解：在y=﹣x2＋2x＋3中，令x＝0得y＝3，設(shè)直線BD解析式為y＝kx＋3，將B(3，0)代入得：解得k=﹣1，∴直線BD解析式為y=﹣x＋3，設(shè)P(mm＋3)，則M(mm2＋2m＋3)，∴PM=﹣m2＋2m＋3＋m﹣3=﹣m2＋3m=﹣(m﹣)2+,∴當(dāng)m＝時(shí)，PM取最大值，最大值為；解：存在點(diǎn)Q，使△BDQ中BD邊上的高為2，理由如下：過Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，如圖：設(shè)Q(xx2＋2x＋3)，則G(xx＋3)，∴QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，∴∠BGE＝45°=∠QGH，∴△∴△QGH是等腰直角三角形，當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為2時(shí)，即QH＝HG＝2，∵點(diǎn)Q在第一象限，QG＝|﹣x2＋3x|，解得x＝1或x＝2，綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，坐標(biāo)為(1，4)或(2，3).【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).242021·廣東云浮·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－3交x軸于點(diǎn)A1，0B（3，0過點(diǎn)B的直線交拋物線于點(diǎn)C.(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)B，C重合求△PBC面積的最大值；同時(shí)成立？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)當(dāng)m＝時(shí)，S△PBC的最大值為【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可求得a、b，從而可求得拋物線的函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)P作PD//y軸，交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，作CF⊥PD于點(diǎn)F，連接PB，PC，則有S△PBC=S△PEB+S△PEC，設(shè)P(m,m2?2m?3)，則可得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可分別求得PD、DE，從而求得PE，解由二次函數(shù)與一次函數(shù)組成的方程組，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得△PBC的面積關(guān)于m的函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可；（3）設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3N（n，n﹣2畫出圖形，根據(jù)全等得出線段相等，列出方程，從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo).∴該拋物線表達(dá)式為y=x2?2x?3.（2）過點(diǎn)P作PD//y軸，交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，作CF⊥PD于點(diǎn)F，連接PB，PC，==，∴S△PBC=S△PEB+S△PEC=PE.BD+31其中PE.CF=33）∵5<0，∴這個(gè)二次函數(shù)有最大值，且當(dāng)m=4時(shí)，S△PBC的最大值為125.4124122,圖2，設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3N（n，n﹣2作MG⊥y軸于點(diǎn)點(diǎn)G，NH⊥x軸于H，∴∠OGM=∠OHN＝90°,∵OM＝O∴∴∠MOG=∠NOH，在△OGM與△OHN中，匕O90。，∴△OGM≌△OHN：，124,,如圖3，設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3N（124,作MG⊥x軸于點(diǎn)G，NH⊥x軸于H，∴∠OGM=∠OHN∠NOH，∵OM＝ON，在△OGM與△OHN中，90°,∴△OGM≌△OHN 題意舍去∴N3同理可得?n解得： 不合題意舍去n2＝綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N1（3，0N2,，N3(,，