高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：3 2 1 第2課時(shí) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(人教A版)

第2課時(shí)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用第三章

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單問題.2.雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)雙曲線是我們在平時(shí)生活中經(jīng)常見到的圖形，這節(jié)課研究雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、雙曲線定義的應(yīng)用二、雙曲線方程的設(shè)法三、雙曲線的實(shí)際生活應(yīng)用內(nèi)容索引一、雙曲線定義的應(yīng)用√解析設(shè)點(diǎn)C(1,4)，點(diǎn)B在圓上，則|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，由點(diǎn)P在雙曲線右支上，點(diǎn)A為雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)A′為雙曲線右焦點(diǎn)，所以由雙曲線定義知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.反思感悟求解與雙曲線有關(guān)的長度和最值問題，都可以通過相應(yīng)的雙曲線的定義去解決.√√解析設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義及P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，即圖形中點(diǎn)P在P′處取得最小值，二、雙曲線方程的設(shè)法解如圖所示，不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，則MF1⊥MF2，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，

①又m2＋n2＝(2c)2＝80，

②由①②得m·n＝8，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴λ＝5或λ＝30(舍去).三、雙曲線的實(shí)際生活應(yīng)用例3

神舟“九號(hào)飛船”返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P為航天員著陸點(diǎn).某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4秒后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.解設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船.如圖所示，以直線AB為x

軸，線段AB的垂直平分線為y

軸建立直角坐標(biāo)系，∵|PB|＝|PC|，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，且a＝2，c＝3，反思感悟利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問題(注意實(shí)際意義).跟蹤訓(xùn)練3

如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)D到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km，則曲線PQ的軌跡方程是______________；現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是________km.解析如圖所示，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則|DA|－|DB|＝2，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，當(dāng)A，M，C共線時(shí)等號(hào)成立.1.知識(shí)清單：(1)雙曲線定義的應(yīng)用.(2)雙曲線方程的求法.(3)雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用中，建模容易出錯(cuò).課堂小結(jié)隨堂演練1.如圖，雙曲線C：

的左焦點(diǎn)為F1，雙曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對稱，則|P2F1|－|P1F1|的值是A.3 B.4 C.6 D.8√1234解析如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，連接P2F2，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對稱，根據(jù)雙曲線的對稱性，可得|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.2.相距4k千米的A，B兩地，聽到炮彈爆炸的時(shí)間相差2秒，若聲速每秒k千米，則炮彈爆炸點(diǎn)P的軌跡可能是A.雙曲線的一支 B.雙曲線C.橢圓 D.拋物線√1234解析由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)雙曲線上，則炮彈爆炸點(diǎn)P的軌跡可能是雙曲線.解析設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，123491234設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，則M(4,0)，由雙曲線的定義可得|PF|－|PM|＝4，則|PF|＝4＋|PM|，1234當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.因此，|PF|＋|PA|的最小值為9.課時(shí)對點(diǎn)練√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析方法一由題意得橢圓的焦點(diǎn)為(0,3)，(0，－3)，所以雙曲線的焦點(diǎn)為(0,3)，(0，－3)，12345678910111213141516解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由題意，根據(jù)雙曲線的定義及|AF1|＝2|AF2|＝4，可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，因?yàn)椤螰1AF2＝90°，所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，即(2c)2＝20，即c2＝5，又b2＋a2＝c2，則b2＝c2－a2＝4，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，∴c＝5，|F1F2|＝10，12345678910111213141516∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，由雙曲線的定義可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.4.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－

，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則此雙曲線的方程是√12345678910111213141516解析由已知條件，得焦點(diǎn)在x軸上，∵線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，由①②解得a2＝1，b2＝4，12345678910111213141516√12345678910111213141516∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.則(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.123456789101112131415166.已知點(diǎn)P在曲線C1：

的右支上，點(diǎn)Q在曲線C2：(x＋5)2＋y2＝1上，點(diǎn)R在曲線C3：(x－5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是A.6 B.8 C.10 D.12√12345678910111213141516而這兩個(gè)焦點(diǎn)恰好是兩圓(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圓心，且兩圓的半徑分別是r2＝1，r3＝1，所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值為(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10.12345678910111213141516?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，123456789101112131415168.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝_____.12345678910111213141516又|PF1|＝2|PF2|，12345678910111213141516則c2＝16＋9＝25，∴c＝5.12345678910111213141516依題意知b2＝25－a2，化簡得4a4－129a2＋125＝0，12345678910111213141516∴a2＝1，b2＝24，10.2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，為了援救災(zāi)民，某部隊(duì)在如圖所示的P處空降了一批救災(zāi)藥品，要把這批藥品沿道路PA，PB送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去，12345678910111213141516若PA＝100km，PB＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，試在災(zāi)民區(qū)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送藥較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路PB送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程.解矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA和PB送藥一樣遠(yuǎn)近，依題意知，界線是第三類點(diǎn)的軌跡，設(shè)M為界線上的任一點(diǎn)，則|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，∴界線是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支的一部分，如圖，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，12345678910111213141516|PF1|·|PF2|＝2.則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△PF1F2為直角三角形，∠F1PF2＝90°，12.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知雙曲線C：

的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線射向C上的點(diǎn)P(8，y0)后，被C反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是√12345678910111213141516|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，解析如圖所示，設(shè)圓心為C，雙曲線右焦點(diǎn)為A′(3,0)，且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，當(dāng)且僅當(dāng)A′，B，C三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).12345678910111213141516√14.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場，如圖所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝

，tan∠PFE＝－2，試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出分別以E，F(xiàn)為左、右焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程為____________.12345678910111213141516解析以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，12345678910111213141516焦點(diǎn)為E(－c，0)，F(xiàn)(c，0).設(shè)∠PFx＝α，則tanα＝tan(π－∠EFP)＝2，和y＝2(x－c). ②在△EFP中，|EF|＝2c，EF上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，12345678910111213141516∴c＝3，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4).又b2＝c2－a2＝4，出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓C：

(m>0，n>0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為_________.15.光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射.已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲