高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：習(xí)題課 圓錐曲線的綜合問(wèn)題(人教A版)

習(xí)題課圓錐曲線的綜合問(wèn)題課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)圓錐曲線方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.能根據(jù)圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)解決綜合問(wèn)題.通過(guò)研究圓錐曲線的綜合問(wèn)題，進(jìn)一步提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓錐曲線的有關(guān)內(nèi)容，主要包括橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.高考對(duì)于圓錐曲線的要求比較高，綜合性比較強(qiáng)，今天我們對(duì)圓錐曲線中的綜合問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，學(xué)會(huì)利用圓錐曲線的基本知識(shí)解決綜合問(wèn)題.1.定點(diǎn)、定值問(wèn)題對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開(kāi)神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口.2.最值、范圍問(wèn)題解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值.3.探索性問(wèn)題

存在探索型問(wèn)題作為探索性問(wèn)題之一，具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富等命題要求，方便考查分析、比較、猜測(cè)、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛(ài).拓展深化[微判斷]×√1.方程2x2－5x＋2＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.(

)2.已知方程mx2＋ny2＝1，則當(dāng)m＞n>0時(shí)，該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.(

)

提示該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.√[微訓(xùn)練]解析因?yàn)閍＝5，c＝4，所以最大距離為a＋c＝9，最小距離為a－c＝1.答案

DA.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1∴y＝x＋3與x軸上半部分且位于y軸右側(cè)的雙曲線有1個(gè)交點(diǎn).答案3[微思考]1.圓錐曲線中的弦長(zhǎng)公式是什么？2.如何判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系？提示直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程(注意在雙曲線與拋物線中，要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論)，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0等價(jià)于直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)；Δ＝0等價(jià)于直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；Δ<0等價(jià)于直線與圓錐曲線無(wú)交點(diǎn).2.如何判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系？提示直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程(注意在雙曲線與拋物線中，要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論)，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0等價(jià)于直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)；Δ＝0等價(jià)于直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；Δ<0等價(jià)于直線與圓錐曲線無(wú)交點(diǎn).題型一范圍與最值問(wèn)題(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a，k表示)；(2)若任意以點(diǎn)A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.解(1)由題意設(shè)直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AM，(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1＞0，k2＞0，k1≠k2.由于k1≠k2，k1＞0，k2＞0，規(guī)律方法涉及直線與圓錐曲線問(wèn)題，需要用方程思想解決，必要時(shí)需分類(lèi)討論，諸如位置關(guān)系判定則需聯(lián)立方程組.“化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題常用此法.規(guī)律方法涉及直線與圓錐曲線問(wèn)題，需要用方程思想解決，必要時(shí)需分類(lèi)討論，諸如位置關(guān)系判定則需聯(lián)立方程組.“化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題常用此法.答案9題型二定點(diǎn)與定值問(wèn)題證明∵M(jìn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，∴λ2＋μ2＝1，現(xiàn)在需要證明λ2＋μ2為定值1.∴a2＝3b2，∴橢圓方程為x2＋3y2＝3b2，又直線方程為y＝x－c.∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值.規(guī)律方法解析幾何中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題需要合理選擇參數(shù)(坐標(biāo)、斜率等)表示動(dòng)態(tài)幾何對(duì)象和幾何量，探究、證明動(dòng)態(tài)圖形中的不變性質(zhì)(定點(diǎn)、定值等)，體會(huì)“設(shè)而不求”“整體代換”在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.(1)解設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，(2)證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為x＝t(y－m)，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0.①③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由題意mt<0，∴mt＝－1，滿足②，得l方程為x＝ty＋1，故直線l過(guò)定點(diǎn)(1，0).∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②題型三探索性問(wèn)題角度1常數(shù)存在型問(wèn)題【例3－1】直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y＝2x對(duì)稱(chēng)？請(qǐng)說(shuō)明理由.解假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y＝2x對(duì)稱(chēng)，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在直線y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，即(2－a)(x1＋x2)＝2.③故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a.角度2點(diǎn)存在型問(wèn)題解(1)由題意知圓心在直線y＝－x上，設(shè)圓心的坐標(biāo)是(－p，p)(p>0)，則圓的方程為(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0，0)在圓上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.∴橢圓右焦點(diǎn)為F(4，0).假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|＝|OF|，規(guī)律方法(1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.解設(shè)直線l：y＝kx＋m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只需AP⊥MN即可.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1<k<1，且k≠0.故當(dāng)k∈(－1，0)∪(0，1)時(shí)，存在滿足條件的直線l.一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).2.解決與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題的三種方法 (1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題. (2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解. (3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意圓錐曲線的范圍.3.定值問(wèn)題的兩大解法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān)；(2)引進(jìn)變量，構(gòu)造函數(shù)，把要證明為定值的量表示為變量的函數(shù)，將函數(shù)化簡(jiǎn)，消掉變量得到定值.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.直線y＝x＋1被橢圓x2＋2y2＝4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(

)即3x2＋4x－2＝0，答案B答案C答案A得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.∵線段AB的中點(diǎn)為(－1，1)，解得p＝2或p＝－6(舍去).答案2備用工具&資料得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.[微訓(xùn)練]解析因?yàn)閍＝5，c＝4，所以最大距離為a＋c＝9，最小距離為a－c＝1.答案

DA.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1[微思考]1.圓錐曲線中的弦長(zhǎng)公式是什么？拓展深化[微判斷]×√1.方程2x2－5x＋2＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.(

)2.已知方程mx2＋ny2＝1，則當(dāng)m＞n>0時(shí)，該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.(

)

提示該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.√2