2017-2018學(xué)年山東省濟南市南山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2017-2018學(xué)年山東省濟南市南山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.COS60。的值為（）

1根小小

A.-B.—C.—D.—

2223

【答案】A

【解析】

試題分析：8$60。=1.故選A.

2

考點：特殊角的三角函數(shù)值.

2.已知反比例函數(shù)y=X的圖象經(jīng)過點（2,-2）,則k的值為

X

1

A.4B.—C,-4D.-2

2

【答案】C

【解析】

,反比例函數(shù)丫=與的圖象經(jīng)過點（2,-2）,

x

k=xy=2x（-2）=-4。故選C。

3.如圖是將正方體切去一個角后形成的幾何體，則該幾何體的左視圖為（）

【答案】C

【解析】

看到的棱用實線體現(xiàn).故選C.

4.一個不透明的布袋中，放有3個白球，5個紅球，它們除顏色外完全相同，從中隨機摸取1個，摸到紅球

的概率是（）

5131

A.~B.—C.—D.~

8583

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得：一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的3個白球和5個紅球,

從中隨機摸出一個，則摸到紅球的概率是二一=3故選A.

3+58

考點：概率公式.

【而視頻T

5.關(guān)于x的一元二次方程（m-l）x2-2xT=0W兩個實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.m>0B.ni>0C.，定0且〃?￥1D.〃?>0且，存1

【答案】C

【解析】

解：???關(guān)于x的一元二次方程（m-l）x2-2xT=0有兩個實數(shù)根，，b-+；W：>0，解得：機卻且小1.故

選C.

3

6.已知在中，NC=90°,sinJ=-,則tan4的值為（）

5

4453

A.—B.—C.—?D.—

3544

【答案】A

【解析】

試題解析：??.在RSABC中，NC=90。，

ab

sinA=-,tanB二一和a2+b2=c2.

ca

3

sinA=-,設(shè)a=3x,則c=5x,結(jié)合a2+b2=c2得b=4x.

5

b4x4

tanB=-=—=

a3x3

故選A.

考點：1.銳角三角函數(shù)的定義；2.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.

7.如圖，△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形

不相似的是()

【答案】c

【解析】

試題解析：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確.

D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

故選C.

點睛：相似三角形的判定：兩組角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.

兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個三角形相似.

三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

8.拋物線y=x2-4x+3的圖象向右平移2個單位長度后所得新的拋物線的頂點坐標為()

A.(4,-1)B.(0,-3)C.(-2,-3)D.(-2,-1)

【答案】A

【解析】

解：：拋物線y=N-4x+3可化為：y=(x-2)2-1,.?.其頂點坐標為(2,-I),.,.向右平移2個單位得

到新拋物線的解析式，所得拋物線的頂點坐標是(4,-1).故選A.

點睛：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵.

9.如圖，AB、AC是。O的兩條切線，B、C是切點，若/A=70。，則NBOC的度數(shù)為()

B

A.130°B.120°C.110°D.100°

【答案】C

【解析】

,：AB.AC是。。的兩條切線，B、C是切點，

：.ZB=ZC=90°,ZBOC=1800-ZA=110°.

故選C.

3

10.如圖，點A(a,1)、B(-1,b)都在雙曲線y=—(x<0)上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四

x

A.y="x"B.y="x+l"C.y="x+2"D.y=x+3

【答案】C

【解析】

試題分析：先把A點坐標和B點坐標代入反比例函數(shù)進行中可確定點A的坐標為(-3,1)、B點坐標為(-

1,3),再作A點關(guān)于x軸的對稱點C,B點關(guān)于y軸的對稱點D,根據(jù)對稱的性質(zhì)得到C點坐標為(-3,

-1),D點坐標為(1,3),CD分別交x軸、y軸于P點、Q點，根據(jù)兩點之間線段最短得此時四邊形PABQ

的周長最小，然后利用待定系數(shù)法確定PQ的解析式.連結(jié)CD分別交x軸、y軸于P點、Q點，此時四邊形

PABQ的周長最小，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

把C(-3,-1),D(1,3)分別代入1,解得「二；，所以直線CD的解析式為y=x+2.故選C.

11.如圖,00的半徑為的點A的坐標為的,2由）,直線AB為。。的切線，B為切點.則B點的坐標為（）

49

(-^5,1)c.(--

255

【答案】D

【解析】

【分析】

過B作BE_Lx軸于E,過A作ADJ_x軸于D,求出/AOD=60。，根據(jù)HL證RsABO空RsADO,求出

ZAOB=60°,求出NBOE=60。,求出NEBO=30。,根據(jù)OB=2,求出OE、BE即可.

【詳解】過B作BELx軸于E,過A作ADJ_x軸于D,

；A(2,2物,

.?.OD=2=OB.AD=2而,

在RtAAOD中.tan/AOD=^^

OD

二NAOD=60°,

?；AD_Lx軸，AB切O于B,

二ZADO=ZABO=90°,

在RtAABO和RtAADO中

OA=OA

OB=OD

ABO^RtAADO,

AZAOD=ZAOB=60°,

...NBOE=60。,

Z.NEBO=30°,

；.OE=1,

由勾股定理得：BE=/,

同

故答案選D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練

的掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì).

12.如圖，直線y=x與拋物線y=x2-x-3交于A、B兩點，點P是拋物線上的一個動點，過點P作直線PQ_Lx

軸，交直線y=x于點Q,設(shè)點P的橫坐標為m,則線段PQ的長度隨m的增大而減小時m的取值范圍是（)

A.m<-1或m>-B.m<-1或』<m<3C.m<-1或m>3D.m<-1或l<m<3

22

【答案】D

【解析】

【分析】

聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點A、B的坐標，再求出拋物線的對稱軸，然后根據(jù)圖象，點A左邊的x的取值

和對稱軸右邊到點B的x的取值都是所要求的取值范圍.

所以,A(T,-1),B(3,3),

—11

拋物線的對稱軸為直線X=-----=-,

2x12

當T<x<3時,PQ=X-(X2-X-3)=-X?+2X+3=-(X-1)2+4,

當x<-l或x>3B;t,PQ=x2-x-3-x=x2-2x-3=(x-1)2-4,

線段PQ的長度隨m的增大而減小時m的取值范圍是m<-l或l<m<3.

故答案選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)與不等式組.

二、填空題(本大題共6個小題.每小題4分，共24分.把答案填在答題卡的橫線上.)

13.關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一個根是0,則k的值是.

【答案】0

【解析】

分析：由于方程的一個根是0,把產(chǎn)。代入方程，求出火的值.因為方程是關(guān)于x的二次方程，所以未知數(shù)

的二次項系數(shù)不能是0.

詳解：由于關(guān)于x的一元二次方程(k-1)/+6*+公-h0的一個根是o,把40代入方程，得：

：0，解得：h=l,的=0.

當上1時，由于二次項系數(shù)k-1=0,方程(&-1)/+6%+r-仁0不是關(guān)于x的二次方程，故&W1.

所以k的值是0.

故答案為：0.

點睛：本題考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定義.解決本題的關(guān)鍵是解一元二次方程

確定A的值，過程中容易忽略一元二次方程的二次項系數(shù)不等于0這個條件.

14.如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后,點D,C分別落在。，。的位置.若NEFB=65。,則N4E。的

度數(shù)為_________.

E

【答案】50°

【解析】

試題解析：8G

:.NEFB=/FED=65。,

由折疊的性質(zhì)知，^DEF=ZFEDf=65",

：.AAED,=180°-2/7=2廬50°.

【點睛】此題考查了翻折變換的知識，本題利用了：1、折疊的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平

角的概念求解.

15.如圖，在平行四邊形ABCD,E為AD的中點，△DEF的面積為1,則△BCF的面積為.

【答案】4

【解析】

解：由平行四邊形的性質(zhì)可知：ADIIBC,BC=2DE,

△DEF-△BCF,且相似比為1：2,

???面積比為1：4,

△DEF的面積為1,

???△BCF的面積為4.

故答案為：4.

16.如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG、PC.若

ZABC=ZBEF=60。，則叫的值為____.

解：如圖,

延長GP交DC于點H.

P是線段DF的中點,

FP=DP,

由題意可知DC"GF,

ZGFP=ZHDP,

在AGFP和^HDP中

'/GPF=NHPD

-PF=DP，

ZGFP=ZHDP

AGFP合AHDP(ASA),

r.GP=HP,GF=HD,

V四邊形ABCD是菱形，

CD=CB,

CG=CH,

…CHG是等腰三角形，

PG±PC,(三線合一)

又ZABC=ZBEF=60°,

ZGCP=60°,

史=5小60°=返；

CG2

故答案為：返.

2

17.如圖所示，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-1,3)、B(-2,-2)、C(4,-2),則△ABC外接圓

半徑的長度為.

y,

x

【答案】713

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的外心是三邊中垂線的交點，由B、C的坐標可知，圓心M必在直線x=l上；由圖知：AC的垂

直平分線正好經(jīng)過(1,0),由此可得到M(1,0)；連接MB,過M作MDLBC于D,由勾股定理即可求

得M的半徑長.

【詳解】設(shè)AABC的外心為M;

VB(-2,-2),C(4-2),

M必在直線x=l上，

由圖知：AC的垂直平分線過(1,0),

故M(l,0)；

過M作MDLBC于D,連接MB,

RtAMBD中，MD=2,BD=3,

2

由勾股定理得：MB=A(^MD+

即4ABC的外接圓半徑為拒.

故答案為：驅(qū)

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心與坐標與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

練的掌握三角形的外接圓與外心與坐標與圖形性質(zhì).

18.如圖，反比例函數(shù)yf的圖象經(jīng)過點(-1,-2啦)，點A是該圖象第一象限分支上的動點，連結(jié)AO并

X

延長交另一分支于點B,以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC,頂點C在第四象限，AC與x軸交于點D,

【解析】

試題解析：連接。C,分別過點4c作x、y軸的平行線交于￡點，CE交x軸于。點，如圖:

由反比例的性質(zhì)可知，AB兩點關(guān)于中心O對稱，即04=08,

又???△AC8為等腰直角三角形，

：.COLAB,且0C=0A

設(shè)直線AB的解析式為y=flx(a>0),則0c的解析式為y=--x.

a

設(shè)點A(肛的i),點C(an-n)9

,?*0A=OC,即m?+(am)2=(an)2+n2,

解得n=±m(xù)t

???A在第一象限，C在第三象限，

.\n=m>0y

B|JC(ani-ni).

VAEIIxtt,CEIIy軸,

???4CDF=Z.CAEZCFD=匕CEA=90°,

:?△CDFs/\CAE,

.CF_CD

?五一五’

?AD

乂???一=也rAC=AD+CD

CD'9

bCF_CD_1

CECAy12.+1

'?,點A(m,aM點C(am-m),

???點點

.CF_O-(-m)_1_1

CEam-(-m)a+1亞+1'

即a=板.

;反比例函數(shù)產(chǎn)質(zhì)的圖象經(jīng)過點(-1,-2例，

.*.-2^=—,解得k=2卷

-1

反比例函數(shù)的解析式為y=生,

X

又,點A("M〃)在反比例函數(shù)的圖象上，且a=揚，

解得m=啦或m=-啦(舍去).

m

將2=揚m=m代入點C(M,F)中，可得：點C的坐標為(2,-物.

故答案為：(2,-啦).

三、解答題(本大題共9個小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

19.解方程：2x2+3=7x.

【答案】xi=-,X2=3.

2

【解析】

【分析】

移項后得到2X2-7X+3=0,然后分解因式得到(2x-l)(x-3)=0,即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解

即可.

【詳解】丫2x?+3=7x,

2x2-7x+3=0,

/.(2x-1)(x-3)=0,

2x-1=0或x-3=0,

【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)因式分解法解一元二次方程.

20.如圖，在。0中，0CJ_AB于點C,AB=4,0C=l,求。0的半徑.

【答案】而

【解析】

【分析】

連接OA,先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再在RtAAOC中利用勾股定理求出OA的長即可.

【詳解】連接0A,

OCJLAB于點C,AB=4,

AC=BC=2,

在RtAAOC中：

?1,OC=1,AC=2

22

由勾股定理得：A0=5/AC2+0C2=^2+1=V5-

【點睛】本題考查了勾股定理與垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理與垂徑定理.

k

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點A,與反比例函數(shù)y=-(Q0)在

X

第一象限內(nèi)的圖象交于點B,且點B的橫坐標為1.過點A作AC_Ly軸交反比例函數(shù)y2(kxO)的圖象于點

X

C,連接BC.

(1)求反比例函數(shù)的表達式.

(2)求4ABC的面積.

【解析】

試題分析：（1）先由一次函數(shù)y=3x+2的圖象過點B,且點B的橫坐標為1,將x=l代入y=3x+2,求出y的

值，得到點B的坐標，再將B點坐標代入y=±利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達式；

X

（2）先由一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點A,求出點A的坐標為（0,2）,再將y=2代入y=±求出x

X

的值，那么AC=2.過B作BD_LAC于D,則BD=yB-yc=5-2=3,然后根據(jù)SAABC^ACBD,將數(shù)值代入計算即可

22

求解.

試題解析：（1）?「一次函數(shù)y=3x+2的圖象過點B,且點B的橫坐標為1,

y=3xl+2=5,

二點B的坐標為（1,5）.

?.?點B在反比例函數(shù)y="的圖象上，

X

：k=lx5=5,

反比例函數(shù)的表達式為y=-；

X

（2）一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點A,

當x=0時，y=2,

點A的坐標為（0,2）,

AC_Ly軸，

.??點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，是2,

?.?點C在反比例函數(shù)y2的圖象上，

X

/.當y=2時，2=3解得x=-,

x2

5

/.AC=-.

2

過B作BDJLAC于D,貝ljBD=yB-yc=5-2=3,

11515

=

?SAABC=_ACBD=-x—x3—.

2224

考點：1.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，3.反比例函數(shù)圖象上點

的坐標特征，

.1111

22.設(shè)方程x2-2x-3=0的兩個根為Xi、X2,令111=—+—,n=----,若點P的橫坐標和縱坐標為Xi、X2>m、n

X[x2X]x2

這四個數(shù)中任意兩個數(shù)，則點P落在第二象限的概率是多少？

3

【答案】一.

16

【解析】

試題分析：先求出方程的解及m、n的值，再求點P落在第二象限的概率即可.

試題解析：解方程x?-2x-3=0得：

X1=-1,X2=3

21

m=—，n=——

33

共有16種情況，第二象限的有三種，

點P落在第二象限的概率是3.

16

考點：1.解一元二次方程；2.概率公式.

23.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF±AM,垂足為F,交AD的延長線于點

E,交DC于點N.

(1)求證：△ABMsaEFA；

(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)4.9

【解析】

試題分析：(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=AD,ZB=90",ADIIBC,得出NAMB=NEAF,再由NB=NAFE,即

可得出結(jié)論；

(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM-△EFA得出比例式，求出AE,即可得出DE的長.

試題解析：(1).?.四邊形ABCD是正方形，

AB=AD,ZB=90",ADIIBC,

ZAMB=ZEAF,

又EF±AM,

ZAFE=90",

ZB=ZAFE,

△ABM”△EFA；

(2)??,2B=90°,AB=12,BM=5,

AM=^122+52=13,AD=12,

F是AM的中點，

1

/.AF=-AM=6.5,

2

△ABM-△EFA,

BMAM

/.——=——,

AFAE

口「513

即一=—，

6.5AE

AE=16.9,

/.DE=AE-AD=4.9.

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì).

QN視頻門

24.已知：如圖，在△ABC中，AC=BC,以BC為直徑的。0與邊AB相交于點D,DE±AC,垂足為點E.

(1)求證：點D是AB的中點；

(2)求證：DE是。。的切線；

(3)若。0的直徑為18,cosB=-,求DE的長.

3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4位

【解析】

【分析】

（1）連接CD,由BC為直徑可知CDLAB,又BC=AC,由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結(jié)論；

（2）連接0D,則OD為aABC的中位線，OD〃AC,已知DELAC,可證DE_LOC,證明結(jié)論；

（3）連接CD,在RsBCD中，已知BC=18,cosB=-,求得BD=6,則AD=BD=6,在RtAADE中，已知

3

AD=6,cosA=cosB=",可求AE,利用勾股定理求DE.

3

???BC是。。的直徑，

CD±AB,又丫AC=BC,

AD=BD,

二點D是AB的中點;

（2）證明：連接0D,

?1,BD=DA,BO=OC,

口0是4ABC的中位線,

DOIIAC,

又；DE±AC,

DE±DO,即DE是00的切線;

(3)?/AC=BC,

/.ZB=ZA,

coszB=cosZA=—.

3

COSZB=—=—,BC=18,

BC3

BD=6>

AD=6,

C°SZA=W=f

/.AE=2,

在RtAAED中，DE={AD2_AEJ4g.

【點睛】本題考查了勾股定理、圓周角定理與切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理、圓

周角定理與切線的判定與性質(zhì).

25.(1)如圖1,△ABC中，NC=90。,ZABC=30°,AC=m,延長CB至點D,使BD=AB.

①求ND的度數(shù);

②求tan75°的值.

（2）如圖2,點M的坐標為（2,0）,直線MN與y軸的正半軸交于點N,ZOMN=75°.求直線MN的函數(shù)表

達式.

【答案】⑴①15。，②2+自（2）y=（-2-由）x+4+2由.

【解析】

【分析】

（1）在直角三角形中利用角和邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)及邊長即可；

（2）分別求得點M和N的坐標，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可.

【詳解】（1）①BD=AB,

，ZD=NBAD,

ZABC=ZD+ZBAD=2ZD=30",

ZD=15",

②?；ZC=90。，

ZCAD=90。-ZD=90。-15°=75°,

-.,ZABC=30°,AC=m,

BD=AB=2m,BC="\/^m,

CD=CB+BD=(2+5/3)m，

tanZCAD=2+^/3，

tan75°=2+-\/3；

(2)?.,點M的坐標為(2,0),ZOMN=75°,ZMON=90°,

ON=OM?tanZOMN=OM?tan750=2x(2+?)=4+25/3,

J.點N的坐標為(0,4+273).

設(shè)直線MN的函數(shù)表達式為y=kx+b,

(2k+b=0

b=4+2V3,

'k=-2-?

解得：,

b=4+2V3

J,直線MN的函數(shù)表達式為y=(-2-?)x+4+2?.

【點睛】本題考查了解直角三角形與求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解直角三角形與根據(jù)待

定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

26.如圖，點B的坐標是(4,4),作BA_Lx軸于點A,作BC_Ly軸于點C,反比例函數(shù)y」(k>0)的圖象

經(jīng)過BC的中點E,與AB交于點F,分別連接0E、CF,0E與CF交于點M,連接AM.

(1)求反比例函數(shù)的函數(shù)解析式及點F的坐標；

(2)你認為線段0E與CF有何位置關(guān)系？請說明你的理由.

(3)求證：AM=A0.

Q

【答案】（1）y=-,點F的坐標是（4,2）；（2）線段0E與CF的位置關(guān)系是OEJ_CF,理由見解析；（3）見

x

解析.

【解析】

【分析】

（1）求出E的坐標，求出反比例函數(shù)的解析式，把x=4代入即可求出F的坐標；

（2）iiEAOCE^ACBF,推出NCOE=/BCF,求出ZECF+NCEO=90。即可；

（3）過M作MNLOC于N,證△CMO和△ECO相似，求出CM、0M,根據(jù)三角形的面積公式求出MN,

根據(jù)勾股定理求出ON,得出M的坐標，根據(jù)勾股定理求出AM的值即可.

【詳解】（1）解：1?正方形ABCO,B（4,4）,E為BC中點,

OA=AB=BC=OC=4,CE=BE=2,F的橫坐標是4,

??.E的坐標是（2,4）,

把E的坐標代入y=K得：k=8,

X

8

?.y=一,

x

?「F在雙曲線上，

???把F的橫坐標是4代入得:y=2,

F（4,2）,

答：反比例函數(shù)的函數(shù)解析式是y=3■，點F的坐標是（4,2）.

X

（2）線段0E與CF的位置關(guān)系是OE±CF,

理由是：「E的坐標是（2,4）,點F的坐標是（4,2）,

/.AF=4-2=2=CE,

...正方形OABC,

/.OC=BC,ZB=ZBCO=90°,

在4OCE和^CBF中

'OC=BC

?ZB=Z0CE-

CE=BF

AOCE邕ACBF,

，ZCOE=ZBCF,

---ZBCO=90°,

ZCOE+ZCEO=90",

ZBCF+ZCEO=90",

ZCME=180°-90°=90°,

即OE±CF.

(3)證明：?■?0C=4,CE=2,由勾股定理得:0E=2遙,

過.M作MN±OC于N,

OE±CF,

ZCMO=ZOCE=90°,

ZCOE=ZCOE,

△CMO-AECO,

.OC_CM_OM

"而一麗衣’

即冬空磔

2V524

解得：CM=^S,OM=^&,