2022-2023學年江蘇省南通市如東某中學高三（上）段考數(shù)學試卷（12月份）（附答案詳解）

2022-2023學年江蘇省南通市如東高級中學高三(上)段考數(shù)學

試卷(12月份)

1.若集合M={x|y=，4x-x2},N=[x\22-x>2},則MnN=()

A.{x|0<%<1}B.{x|0<x<1}C.{x|l<%<4}D.{x\x<1}

2.已知Z=罟-i2022,則在復平面內，其共挽復數(shù)￡所對應的點位于()

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.山西大同的遼金時代建筑華嚴寺的大雄寶殿共有9間，左右對稱分布，最中間的是明間，

寬度最大，然后向兩邊均依次是次間、次間、梢間、盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊

均按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為8：7.若設明間的寬度為小則該

大殿9間的總寬度為()

A.(g)4aB.15a—14混KC.14a[l-(g)4]D.15a-14aq尸

4.已知函數(shù)/(x)=sin7T(ox-V5COS"3X(3>0)在(0,1)內恰有3個最值點和4個零點，則實

數(shù)3的取值范圍是()

A.(需]B.[招)C.先學D.(H,?]

5.已知函數(shù)/(%)=ln(，X2+1一%)+1,正實數(shù)。滿足f(2a)+/(b-4)=2,則?+

T港的最小值為()

2ab+b

A.1B.2C.4D.黑

o

4s25

6.已知(％-l)+2x=劭+。式%+1)+a2(x+I)d---Fa5(x+l),則改=()

A.-2B.2C.4D.12

7,過雙崎—岸1(。>0/>0)上的任意一點尸，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸

1

而

而

若>

近線于點M,-4~則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.畔,+8)B.(1，凈C.[粵,+8)D.(1,粵]

8.已知f(x)及其導函數(shù)/'(X)的定義域均為R,若/(I-2x)為奇函數(shù),/(2x-1)為偶函數(shù).設

f(0)=1,則⑥="'(2k)=()

9.2021年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某單位為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，

組織了學黨史、強信念、跟黨走系列活動，對本單位200名黨員同志進行黨史測試并進行評

分，將得到的分數(shù)分成6組：[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100],得到如圖所示

的頻率分布直方圖.下列說法正確的是（）

B.得分在[95,100]的人數(shù)為4人

C.200名黨員員工測試分數(shù)的眾數(shù)約為87.5

D.據(jù)此可以估計200名黨員員工測試分數(shù)的中位數(shù)為85

10.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為小b、c,則下列說法正確的是（）

A.若A>8,貝!IsinA>sinB

B.若△ABC為鈍角三角形，則a2+b2>c2

C.若4=30。，b=4,a=3,則△ABC有兩解

D.若三角形ABC為斜三角形，則tam4+tanB+tanC=tanZtanBtanC

11.甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A,B,C,。四所山區(qū)學校參加支教活動,

要求每所學校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所學校支教，則下列結論正確的

是（）

A.不同的安排方法共有240種

B.甲志愿者被安排到4學校的概率是:

C.若A學校安排兩名志愿者，則不同的安排方法共有120種

D.在甲志愿者被安排到A學校支教的前提下，A學校有兩名志愿者的概率是|

12.已知拋物線/=2y,點t6過用作拋物線的兩條切線AM,MB,其

中A,8為切點，且A在第一象限，直線A8與y軸交于點P,則下列結論正確的有（）

A.點尸的坐標為(0,1)B.OA1OB

C.△M48的面積的最大值為3gD.靄的取值范圍是[2,2+V3]

13.已知角a的頂點與坐標原點。重合，角的始邊與x軸非負半軸重合，點P是a的終邊與

單位圓的交點.若赤在x軸上的投影向量的坐標為?,()),則cos2a=.

14.已知數(shù)列S｝滿足斯?限1?即+2=1，a1=2,a2=則聞｝的前〃項積的最大值

為.

15.在平面直角坐標系X。)，中，圓。：x2+y2=3,7(2,m),若圓O上存在以例為中點的

弦AB,且AB=2MT,則實數(shù)膽的取值范圍是.

-1

16.已知函數(shù)/(%)=mx,g(x)=31nx+2e(-<%<e3),若/(%)與g(x)的圖像上分別存在點

M,N,使得M,N關于直線y=e對稱，則實數(shù)機的取值范圍是.

17.在①當=品，②.*=空，③2s=-y/3BA■就三個條件中任選一個補充在下

cost2a+csmo—sinea+c

面的橫線上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且,若a=2,c=4,AB邊上的中垂

線交AC于。點，求BO的長.

18.等差數(shù)列｛即｝的前"項和為右,且S4=4S2,a2n=2an+1.數(shù)列｛%｝的前"項和為與，

且加+竽=L

(1)求數(shù)列｛即｝,｛bn｝的通項公式；

acos口①為奇數(shù)

(2)數(shù)列｛“｝滿足”=｛n求￡您1。

bn，n為偶數(shù),

19.如圖1,已知△4DE為等邊三角形，四邊形A8CZ)為平行四邊形，BC=1,BD=2,BA=

圖1圖2

(1)證明：PA1BD-,

(2)在(1)的條件下求二面角4-PB-C的余弦值.

20.有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個球的袋中(3個白球和2個

黑球)輪流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2個黑球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出

的球重新放回袋中，準備下一次游戲.

(1)分別求先摸球者3輪獲勝和5輪獲勝的概率；

(2)小李和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游

戲輸者在下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得

分之和為X,求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

21.已知Fi，F(xiàn)2分別為橢圓。:^+，=19>。>0)的左、右焦點，橢圓上任意一點P到焦

點距離的最小值與最大值之比為g,過&且垂直于長軸的橢圓C的弦長為3.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過a的直線與橢圓C相交的交點A、B與右焦點尸2所圍成的三角形的內切圓面積是否存在

最大值？若存在，試求出最大值；若不存在，說明理由.

22.已知函數(shù)/'(%)=-(a+l)x+Inx,a>0.

(1)討論函數(shù)/'(x)的單調性；

(2)當a=1時，設g(x)=/(%)+(3-m)x-(%+l)lnx,(mG/?),函數(shù)g(x)有兩個極值點%1、

%2(%1<%2)?

①求m的取值范圍；

②若3%i>%2?求%1+%2的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意知”={x|0WxW4},N={x|x<1},所以MnN={x[0Wx<1}.

故選：B.

根據(jù)集合的定義，先對集合進行化簡，再利用交運算即可求解.

本題考查交集的定義，屬于基礎題.

2.【答案】D

2

【解析】解：因為》4=1,則12。22=?4*5。5+2=12=一1,貝收=77筆=+1=年+1=1+?,

所以z=l—i,

故復數(shù)W所對應的點(L-1)位于第四象限.

故選：D.

利用復數(shù)的運算化簡復數(shù)z,可得其共輒復數(shù)W,利用復數(shù)的幾何意義可得出結論.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意，設明間的寬度。為等比數(shù)列的首項，從明間向右共5間，寬度成等比數(shù)列,

公比為《，

O

同理從明間向左共5間，寬度成等比數(shù)列，公比為看,

則由%=也里可得S5=空字1=8a-7a弓)4,

1-81飛

所以總寬度為2s5—a=2[8a-7a(g)4]-a=15a-14a($汽

故選：D.

由題意把9間的寬度轉化為兩個等比數(shù)列的和，應用等比數(shù)列前〃項和公式計算即可.

本題主要考查等比數(shù)列的前〃項和公式，考查運算求解能力，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：/(%)=sinna)x—\/3cosna)x=2sin(7ra)x—》

因為％W(0,1),所以7T3V—9CO7T-

又因為函數(shù)/'(x)=sinna)x-y/3cosna)x(a)>0)在(0,1)內恰有3個最值點和4個零點，

由正弦函數(shù)的圖像得：3兀<3兀一上?，解得：

JZ5o

所以實數(shù)3的取值范圍是(半，知

故選：A.

由第4個正零點小于1,第4個正最值點大于等于1可解.

本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：???/?(x)=ln(yE—x)+l,且函數(shù)定義域為R,

???/(x)+/(—x)=ln(Vx2+1—x)+1+ln(Vx2+1+%)+1=2,

故函數(shù)f(x)關于(0,1)對稱，

又/(X)=五2：11,(高T_1)=_號7<0

???/?(X)在R上嚴格遞減，/(2a)+/(b-4)=2,

2a+b—4=0,即2Q+b=4.,

...生+_J=竺+看竺+總22心=2,當且僅當也=看即￡1=祟匕號時等號

a2ab+oab(2a+b)a4byja4ba4b99

成立，

故選：B.

根據(jù)/(x)=ln(Vx2+1-x)+1,可得/(x)+/(—x)=2,則/(x)關于(0,1)對稱，利用導數(shù)可得

/(%)單調遞減，利用基本不等式，即可得出答案.

本題考查函數(shù)的性質和基本不等式的應用，考查轉化思想和整體思想，考查邏輯推理能力和運算

能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：令％+1=3則x=t—1,

4545at:5

故(x—I)+2x=(t—2)+2(t—I)=劭+i+a2t?+…+a5t,

(t-2>中產(chǎn)的系數(shù)為盤(-2)2=24,(t-中產(chǎn)的系數(shù)為盤(_i)3=一io,

所以a?=24-20=4,

故選：C.

令X+1=3直接根據(jù)二項式定理求解即可.

本題主要考查了二項展開式的應用，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：雙曲線圣―，=19>0*>0)的漸近線方程：bx±ay=0,即丫=±5,

設點P(Xo,y0),可得y-yo=±g(X-殉)，

分別聯(lián)立兩組直線方程可得M(絲祭&竺磬),N(粵產(chǎn)，-絲展力),

麗.而=^±4b‘^一^44a=z^，

"^-^=1---b2x^-a2y^=a2b2,

二加.而=學，由題意學豈

4444，

故選：B.

設點P(xo，yo)，分別聯(lián)立兩組直線方程，求得〃、N的坐標，然后利用向量的數(shù)量積，推出離心

率的范圍即可.

本題考查向量的數(shù)量積的求法與應用，直線與雙曲線的位置關系的應用，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：因為/(1一2乃為奇函數(shù)，

所以f(1+2x)=-/(l-2x),BP/(1+x)=-f(l-x),

兩邊同時求導，則有/'(1+x)=/'(l-x),

所以f'Q)的圖象關于直線x=1對稱.

因為/(2x—1)為偶函數(shù)，

所以f(一2x-1)=f(2x-1),即/(-1-x)=/(-I+%),

兩邊同時求導，則有一/'(一1—X)=/'(—1+X),

所以函數(shù)1(x)的圖象關于點(—1,0)對稱，

所以，f(x)=f'(2-x)=-4),f'(_x+8)=-f'[x+4)=/(x),

所以，函數(shù)尸(x)為周期函數(shù)，且周期為8,

則有((0)=/(2)=f(8)=f(10)=1(16)=1,f(4)=f(6)=f(12)=尸(14)=-1,

所以由="'(2k)=f(2)+f(4)+…+((12)+八14)+/"'(16)=0.

故選：B.

根據(jù)/(I-2x)為奇函數(shù)，得到/'(1+x)=-/(I-x),兩邊同時求導得到/''(>)的圖象關于直線x=

1對稱，同理由f(2x—1)為偶函數(shù)，得到函數(shù)((x)的圖象關于點(-1,0)對稱，兩者聯(lián)立得到f'(x)

為周期函數(shù)，且周期為8求解.

本題主要考查了抽象函數(shù)的應用，考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題.

對于A,結合頻率分布直方圖的性質，即可求解，對于8,結合頻率與頻數(shù)的關系，即可求解,

對于C,結合眾數(shù)的定義，即可求解，對于O,結合中位數(shù)的公式，即可求解.

【解答】

解：對于4由頻率分布直方圖的性質可得，

(0.02+0.025+0.03+0.035+a+0.05)x5=1,解得a=0.04,故A正確，

對于8,得分在［95,100］的人數(shù)為0.02x5x200=20,故B錯誤，

對于C,200黨員員工測試分數(shù)的眾數(shù)約為電羅=87.5,故C正確，

對于D,???(0.025+0.035+0.04)x5=0.5,

.??估計200名黨員員工測試分數(shù)的中位數(shù)為85,故￡>正確.

故選：ACD.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于A：在△4BC中，若4>B,則a>b,

由正弦定理可得2Rsin4>2RsinB,即sinA>sinB,故A正確;

對于若△ABC為鈍角三角形，假設。為鈍角，

由余弦定理得COSC="V0,即Q2+b2<c2,故8錯誤;

2ab

對于CbsinA=4sin30°=2,則bsinAVaVb,如圖所示：

??.△Z8C有兩解，故C正確;

tanS+tanC

對于D：vtan(B+C)=1—tanfitanC，

???tanB+tanC=tan(B+C)(l—tan^tanC)

在^ABC中，tan(B+C)=tan(/r—A)=—tan4,

???tanfi+tanC=tanAtanBtanC-tan4即tan/+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故D正確,

故選：ACD.

利用正弦定理、余弦定理，逐一分析選項，即可得出答案.

本題考查正弦定理和余弦定理的應用，考查轉化思想和分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算

能力，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A,B,C,。四所山區(qū)學校參加支教活

動，

則共有鬣?花=240種安排方法，故A正確；

甲志愿者被安排到A學校，

若4學校只有一個人，則有以-Aj=36種安排方法，

若A學校只有2個人，則有用=24種安排方法，

所以甲志愿者被安排到A學校有36+24=60種安排方法，

所以甲志愿者被安排到A學校的概率是端=；,故B正確；

若4學校安排兩名志愿者，則不同的安排方法共有幽=60種，故C錯誤；

甲志愿者被安排到A學校有60種安排方法，

在甲志愿者被安排到4學校支教的前提下，A學校有兩名志愿者的安排方法有24種，

所以在甲志愿者被安排到A學校支教的前提下，A學校有兩名志愿者的概率是等=葭故。正確.

故選：ABD.

先將5人分成4組，然后排入4所學校即可判斷A；

分A學校只有一個人和A學校只有2個人,兩種情況討論，求出甲志愿者被安排到A學校的排法，

再根據(jù)古典概型即可判斷8;

先將A學校的兩名志愿者排好，再將剩下的3名志愿者安排到其他3所學校即可判斷C；

求出甲志愿者被安排到A學校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A學校支教的前提下，A

學校有兩名志愿者的排法，根據(jù)條件概率進行計算，從而可判斷D

本題主要考查排列、組合與簡單的計數(shù)原理，古典概型概率公式，考查運算求解能力，屬于中檔

題.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

求得y=的導數(shù)，可得A處的切線的斜率和方程，同理可得B處的切線的方程，由兩點確定

一條直線，可得AB的方程，令x=0,可判斷4由直線A8的方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用

韋達定理和向量數(shù)量積的坐標表示，化簡可判斷8；求得M到直線A8的距離和|4B|,由三角形

的面積公式和函數(shù)的單調性，可判斷C；由弦長公式和韋達定理，結合f的范圍，解不等式可判

斷D.

本題考查拋物線的方程和性質，以及直線和拋物線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于

中檔題.

【解答】

解：x2=2y即y=的導數(shù)為y，=x,

設8(%2，先)，則好=2%，話=2y?，

可得A處的切線的方程為y-y1=%i(x-%力，即為%1%=y+%，

同理可得B處的切線的方程為=y+，

又切線MA,MB都過M(￡,-1),可得%i￡=-l+yi，x2t=-1+y2,

由兩點確定一條直線，可得A3的方程為%t=y-1,

可得P(O,1),故A正確;

X=

聯(lián)立，~,可得/—2tx—2=0,即有％1+%223%不=一2

一y—1

由+為、2—-2+-——2+1=—1豐0,

即OA不垂直于08,故B錯誤；

由t€[1,1])M到直線AB的距離為&=華坦，\AB\=VTTt7-V4t2+8,

2乒

所以△M4B的面積S=^d-\AB\=(t2+2)gJ2在t6g1]遞增，可得5的最大值為38，故C

正確；

由力+必=23%1%2=-2,消去X],x2＞可得=與察~€G,1],

解得me[2,2+K],故。正確.

故選：ACD.

13.【答案】々

【解析】解：題意可知：cosa=5

所以cos2a=2cos2a—1=^—1=-L

yy

故答案為：-g.

根據(jù)投影向量的坐標和任意角的三角函數(shù)可得：cosa=%再利用二倍角的余弦公式即可求解.

本題主要考查了三角函數(shù)的定義及二倍角公式，屬于基礎題.

14.【答案】2

aaaa

【解析】解：@九?CLn+l'n+2=1，,,,n+l'n+2*n+3=L

兩式相除得皿=1,即冊=冊+3,故數(shù)列｛冊｝的周期r=3,

an

-

■■的=2,a2=|?。3=-1,

設｛斯｝的前〃項積為7；,

.?.當n=3k,kGN*時，Tn=1,

當n=3/c+l,ZcCN*時，Tn=1x2=2,

當n=3k+2,ZcCN*時，7；=1x2x(-j)=-1,

??.7；的最大值為2,

故答案為：2.

由遞推公式可得數(shù)列周期T=3,分類討論n=3k,n=3k+1,n=3k+2,k6N*,即可得出

答案.

本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項和周期數(shù)列，考查轉化思想和分類討論思想，考查邏輯推

理能力和運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】［一企，或］

【解析】解：在平面直角坐標系xOy中，圓。：/+y2=3,也

7(2,m),

M為AB的中點，且AB=2MT,??.△TAB為直角三角形，

—廠本『

若Al,TB為切線,則2。78=45。，----1--<Ay--------?.

在RtAOTB中，Z.OTB=45°,AOBT=90°,\0B\=V3,:.

|OT|=V6,/

二過T到向圓引的兩條切線的夾角不小于90。，滿足題意，

則圓心(0,0)到點T(2,m)的距離不大于遙，

即|。7|=&2+標<76,

解得：mG［-72,72］.

故答案為：［-V2.V2］.

根據(jù)條件把問題轉化為圓C上存在A8兩點，使41rB=90。，即過T到向圓引的兩條切線的夾角

不小于90。，即圓心(0,0)到點7(2,m)的距離不大于乃，進而得到答案.

本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題.

16.【答案】［一；,30

【解析】解：因為/(X)與g(W的圖像上分別存在點M,N,使得“，N關于直線y=e對稱，

令M(x,mx),N(x,31nx+2e),

則mx+3黑+2e=即-mx=31nx+2e在上有解，

即一mx=31nx在［，,”］上有解，即一m=^^在g”］上有解，

設九(%)=乎，x€［i,e3］,則“(%)=3(1；產(chǎn),

當:<%<e時，^(%)>0,故九(%)在&,e)為增函數(shù)，

當eCxV/時，//(%)<0,故九(%)在(e,?3)為減函數(shù)，

而八(e)=；,/i(3=-3e,/i(e3)=^,

故h(x)在E，e3］上的值域為［一3鄉(xiāng)|］,

故—tn€［―3e,1］,即ni€［―1,3e］.

故答案為：［一=,3也

設點M(x,znx),/V(x,31nx+2e),可得出-m=2絲，構造函數(shù)/i(x)=豈皆，可得知直線y=-m與

函數(shù)y=/i(x)在區(qū)間［；,e3］上的圖象有交點，進而可知，實數(shù)-租的取值范圍是函數(shù)y=h(x)在區(qū)

間E，e3］上的值域，利用導數(shù)求解即可.

本題主要考查函數(shù)與方程根的關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：選取條件①：?.?筆=總，

cost2Q+C

???在△48C中由正弦定理得=一x即2sin4cosB4-sinCcosB=-sin8cosC,

cost2sirL4+sinc

???2sin4cosB=—sinBcosC—sinCcosB=—sin(8+C)=-sin>l,

又A,BG(O,TT),AsinA>0,

??.cosB=解得B=y,

在^ABC中由余弦定理得/=a2+c2-2accosB=28,解得b=2-77,

)b2+c2-a228+16-45V7

???cos"==五誨=N'

設AB邊上的中垂線垂足為點O,如圖所示：

B

V。。垂直平分AB,OA=OB,

又。。=OD,.-.AD=BD,

在RtAA。。中，OA=2,

MD=%=3=塔,即BO=增;

C0Si45V755

14

選取條件②：???.產(chǎn)沖,

sinB-sinCa+c

???在4ABC中由正弦定理得工匕=空，即小+。。=廬一c2

b—ca+c

???=。2+。2+QC=。2+Q2_2aCCOSB,

***COSB=~2f又B€(0,7T),則B——,

則〃=@2+。2_2accosB=28,:.b=2近，

.b2+c2-a228+16-45V7

；?*==及爾F'

設A8邊上的中垂線垂足為點O,如圖所示：

又0D=OD,AD=BD,

在中，OA=2,

.A。一必一2__也即80—也

-AU-cos4一我一5'即"〃一5.

14

選取條件③，,：2S=-y/3BA-BC=-V3|BA\-\BC\cosB=-V3accosBacsinB,

:,tanB=—y[3,

又Be(0,7T),則8=手

則匕2=a2+c2-2accosB=28,解得b=2夕,

222

Ab+c-a28+16-45V7

=2^2^4=

設AB邊上的中垂線垂足為點O,如圖所示：

又。。=0D,???AD=BD,

在Rt△40D中，0A=2,

顓=邁=可,即BD=弁.

14

【解析】分別選取條件①，利用正弦定理化邊為角，結合三角形內角的關系及兩角和的正弦公式

求得角B,利用余弦定理求得幼從cosA,證明=求出AC,即可得出答案；選取條件②，

利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求得角B,利用余弦定理求得邊b,cosA,證明4。=BD,

求出4D,即可得出答案；

選取條件③,利用向量數(shù)量積的定義及三角形的面積公式求得角B,利用余弦定理求得邊b,cosA,

證明4D=B。，求出4。，即可得出答案.

本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查轉化思想和數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和

運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）設等差數(shù)列｛斯｝的公差為力且S4=4S2,a2n=2an+l,

『a1+6d=4(2%+d)

id]+(2n-l)d=2al+2(n-l)d+1解得a1=1，d=2.

:,an=2n—l,nGN*,

又〃+^^=1，則〃=1=1-^T，

當n=1時，瓦=7\=1—竽=0,

當nN2時，bn=Tn-+^=2~不符合bi=0.

（0,n=1

（2）由（1）得冊=2n—l,n￡N*,。,

（5二T，九三乙

E言1G=C]+C2+C3+C4+C5+。6+…+C,+…+C2,=—Q]+⑦—Q3+萬4—Q5+生—…一

a2n-l+82/1=一（。1+。3+@5-------a2n-l）+（⑦+力4+生H---------b02n）=一〔1+（1"]九+（/+

2?41,2幾-2、_C2I-I/0I2J41,2九一2、

/+聲+…+^TT）=-2n+（/+聲+聲+…+^n），

令7n/+尹尹…+第①,

則也=*+,+/+…+

22

由①-②得*Tn=產(chǎn)一豁=?葬，

4

_4,13n+l、412n+4

?,工=式〕收）=廠^^，

故￡"=-2/+”、器.

【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d,利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列方程組即可求

得首項和公差；由7；與%的關系，即可得出答案；

（0,n—1

（2）由（1）得a.=2n-l,ne/V*.b==“、利用錯位相減法和分組求和法，即可得出答

n>n—￡

案.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查轉化思想和方程思想，考查作差法和錯位相減法，考

查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）證明：如圖，設PD的中點為尸，連接4F.

???△4DP為等邊三角形,

???AF1PD.

又平面PADJL平面PB。，^PAD^W\PBD=PD,

AF1平面PBD.

vBDu平面PBD,

BD1AF.

???AD=BC=1,BD=2,BA=V5,

.-.AD2+BD2=AB2,：.BD1AD.

又4。OAF=A,BD_1_平面PAD.

又PAu平面PAD,：.PA1BD.

(2)由(1)知8。1平面PAD,則平面PAD1平面ABO.

設AO中點為O，連接尸O，則POLAD.

又平面PAC1平面ABD,平面PA。Cl平面ABD=AD,:.PO_L平面4BD

設A8中點為O',連接00'.

00'//BD,???00'1AD,

故以點。為坐標原點，00',OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,

則混,0,0),B(+，2,0),C(*,2,0),P(0,0，S，

"PA=(1?0,-y),PB=(-1,2,-y),PC=(-|,2,-y).

設平面PAB的法向量為記=(x,y,z),

fjn-AP=1x-vz=0

由｛_22,則可取沅=Q低百,2),

(沅-PB=--x+2y——z=0

設平面P8C的法向量為五=(a,b,c),

n-PB=-[a+2b-=c=0

:，則可取記=(0,一8,一4),

(n-PC=--a+2b—=

，一m-n-1111

.-.05^,71)=—=?=-==-->

二面角4-PB-C的余弦值為一和

【解析】⑴先由平面P4D1平面PB￡>，證明BDJ.4F,再由勾股定理證明BD14。，最后由判定

定理以及性質證明P4LBD；

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法得出二面角4-PB-C的余弦值.

本題考查線面垂直，面面垂直的判定及其性質，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查邏

輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)設“3輪獲勝”為事件A,“5輪獲勝”為事件B,

2311

XX=

3輪:白黑黑：5X5X3=5-413-一

10

故先摸球者3輪獲勝的概率為P(4)=專+今=*,

若進行5輪，前四個球的情況為：黑白白白:|x|x|xl=±1白黑白白:那x那=也

32211

-

-X-.白白白黑:|xixlx|=±.

白白黑白:54W

故先摸球者5輪獲勝的概率為P(B)==x4=備

3-2-

(2)由(1)得先摸球者獲勝的概率為4+^+|=|,

X的所有可能取值為：0,1,2,3,

P(X=。)=a=急

233223323333232

-X-X-+-X-X-=a==-X-X-+-X-X-+-X-X-

P(X=5555552)555555555

57

125)

2212

P(X=3)=|x—X——-----,

55125

故X的分布列為:

X0123

P8485712

125125125125

故以X)=ox言+1X粽+2X馨+3'粽=黑

【解析】(1)由題意分兩種情況即可求解;

(2)依題意分別求出X=0,1,2,3時的概率，列分布列，即可求期望值.

本題主要考查離散型隨機變量分布列的求解，以及期望公式的應用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)P到焦點的最大值和最小值分別為：a+c,a-c,

由題意可得==9，①

Q+C3

過&且垂直于長軸的橢圓C的弦長為。=3②，

又呼=爐+C?③,

由①②③可得小=4,b2=3,c=1,

所以橢圓c的標準方程為：3+4=1；

(2)由(1)可得左焦點&(一1,0),

假設存在這樣的直線A8,由于直線AB的斜率不為0,設直線AB的方程為：x=my-l,

設a(%1力),8(%2，兆)，

X=my—1

x2y2整理可得：(4+3m2)y2-6my-9=0,

IT+T=1

可得：4>0,%+丫2=鼻,%、2=一冷蕨,

所以1%—丫2|=〃%+丫2)2-4月丫2==嗎富，

令、1+而=t>1,

22

可得：m=t-1,所以；：詈z2=J匚=

4+3m3r+l3t+1

t>1時，f(t)=一、單調遞減，所以t=1時，f(t)最大值為:，

3t+]，

所以|%-丫21的最大值為：12X*=3,

所以SAW?=T|FiF2|1%—y2|W”L3=3,

設仆ABF2的內切圓的半徑為r,

因為△ABF2的周長為4a=4x2=8,

SAABFZ=1-4a-r=4r,

所以4rs3,,?的最大值為這時內切圓的半徑最大.

旦S內切圓=談《探

即存在這樣的內切圓的面積的最大值為弱.

16

【解析】本題考查求橢圓的方程，直線與橢圓的綜合，三角形內切圓的半徑的求法，屬于中檔題.

(1)P到焦點距離的最小值與最大值之比為軟]■得a,c?的關系，過&且垂直于長軸的橢圓C的弦長

為3.可得m人的關系，再由“，b,。之間的關系求出a,h,c的值，進而求出橢圓的方程.

(2)設直線A8的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出A3的縱坐標之差的絕對

值的表達式，令函數(shù)/?)=工?21),由函數(shù)的單調性求出AABF?的面積的最大值，可得三角

3t+y

形內切圓的半徑的最大值，進而求出內切圓的最大值.

22.【答案】解：(1)函數(shù)/'(%)=1ax2一(Q+l)x+Inx的定義域為(0,+oo),/'(%)=QX-(Q+1)+

-1二_-(a--x---l)-(-x---l-).

XX

111

①當0VaV1時，->1,由/'(%)>0,可得0V%V1或%>由/'(%)<0,可得1<%<-,

此時函數(shù)/(乃的增區(qū)間為(0,1)、(/+8),減區(qū)間為(1,；)；

2

②當a=1時，f(x)=寧->0且/'(x)不恒為零，此時函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+8)；

1-11

③當Q>1時，O