2024新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算對點(diǎn)練新人教B版選擇性必修第一冊

1．1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算學(xué)問點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念1.下列命題中，假命題是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．兩個相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等答案D解析共線的單位向量是相等向量或相反向量．故選D.2．下列命題正確的有()①若a＝b，b＝c，則a＝c；②空間向量a，b相等的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b；))③|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件；④eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合．A．1個B．2個C．3個D．4個答案B解析①正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，故a＝c；②不正確．由a∥b，知a與b的方向相同或相反；③正確．a(chǎn)＝b?|a|＝|b|，但|a|＝|b|a＝b；④明顯不正確．故選B.3．下列關(guān)于單位向量與零向量的敘述正確的是()A．零向量是沒有方向的向量，兩個單位向量的模相等B．零向量的方向是隨意的，全部單位向量都相等C．零向量的長度為0，單位向量不肯定是相等向量D．零向量只有一個方向，模相等的單位向量的方向不肯定相同答案C解析零向量的方向是隨意的，且長度為0.兩個單位向量的模相等，但方向不肯定相同，故選C.學(xué)問點(diǎn)二空間向量的加減運(yùn)算4.已知空間中隨意四個點(diǎn)A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(BA,\s\up6(→))答案D解析eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).故選D.5．設(shè)A，B，C是空間隨意三點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))答案B解析B中向量的和應(yīng)當(dāng)是零向量，而不是數(shù)0，故選B.6．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b＋c B．c－a－bC．a(chǎn)－b－c D．b－a＋c答案B解析如圖所示，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b－a＋c.故選B.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的共有()①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案D解析依據(jù)空間向量的加法法則及正方體的性質(zhì)，逐一推斷可知①②③④都是符合題意的．故選D.8．(多選)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→)) D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))答案AB解析選項(xiàng)A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；選項(xiàng)B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；選項(xiàng)C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；選項(xiàng)D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.學(xué)問點(diǎn)三空間向量的線性運(yùn)算9.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，則()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)答案D解析因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).故選D.10．已知空間四面體ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a－5b＋8c，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.答案3a－eq\f(5,2)b＋3c解析連接BE，EF，∵eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5a－5b＋8c＋a－2c)＝eq\f(1,2)(6a－5b＋6c)＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.學(xué)問點(diǎn)四空間向量的數(shù)量積11.已知空間向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a等于()A．12 B．8＋eq\r(13)C．4 D．13答案D解析(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos120°＝2×4－2×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13.故選D.12.如圖，正四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比較大小答案C解析依據(jù)題意，得eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos120°<0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).故選C.13．已知a，b是空間向量，|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b與a垂直，則a在b方向上的投影的數(shù)量為()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)答案D解析∵a－b與a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，∴|a|cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，即a在b方向上的投影的數(shù)量為eq\f(\r(2),2).故選D.14．已知a，b均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|＝()A.eq\r(7) B.eq\r(10)C.eq\r(13) D．4答案C解析|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝eq\r(13).故選C.一、選擇題1．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間隨意一點(diǎn)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形答案A解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．故選A.2．已知a，b是空間向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則a在b方向上的投影的數(shù)量為()A．4 B.eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12) D．－3答案B解析設(shè)a與b的夾角為θ，則a在b方向上的投影的數(shù)量為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(12,5).3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B的中點(diǎn)，且eq\o(DF,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．α＝eq\f(1,2)，β＝－1B．α＝－eq\f(1,2)，β＝1C．α＝1，β＝－eq\f(1,2)D．α＝－1，β＝eq\f(1,2)答案A解析依據(jù)向量加法的多邊形法則以及已知可得，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴α＝eq\f(1,2)，β＝－1.故選A.4．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2) D．0答案D解析eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉，因?yàn)椤磂q\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.故選D.5．(多選)在四面體P－ABC中，以下說法正確的有()A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q為△ABC的重心，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若正四面體P－ABC各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1答案ABC解析對于A，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故A正確；對于B，若Q為△ABC的重心，則eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，故B正確；對于C，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故C正確；對于D，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|.∵|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))2－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))＋2\o(PB,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\r(22＋22＋22－2×2×2×\f(1,2)－2×2×2×\f(1,2)＋2×2×2×\f(1,2))＝2eq\r(2)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，故D錯誤．故選ABC.二、填空題6．給出下列四個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若空間向量a，b滿意|a|＞|b|且a，b同向，則a＞b；③不相等的兩個空間向量的模必不相等；④對于任何空間向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為________．答案④解析對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯誤；對于②，向量是不能比較大小的，故②錯誤；對于③，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故③錯誤；只有④正確．7.已知M，N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且MP＝2PN，設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up6(→))＝b，Oeq\o(C,\s\up6(→))＝c，則Oeq\o(P,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c解析∵M(jìn)P＝2PN，∴Meq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(N,\s\up6(→))，即Oeq\o(P,\s\up6(→))－Oeq\o(M,\s\up6(→))＝2(Oeq\o(N,\s\up6(→))－Oeq\o(P,\s\up6(→)))，3Oeq\o(P,\s\up6(→))＝Oeq\o(M,\s\up6(→))＋2Oeq\o(N,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b＋c，∴Oeq\o(P,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.8．已知空間四邊形OABC，若各邊及對角線長都相等，且E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，則向量eq\o(OE,\s\up6(→))與eq\o(BF,\s\up6(→))的夾角的余弦值為__________．答案－eq\f(2,3)解析如圖，不妨設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2)，∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－b，且|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2).∴eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2).∴cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|))＝－eq\f(2,3).三、解答題9．在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，(1)化簡eq\o(A1F1,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量；(2)化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解(1)在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，e