六年級(jí)奧數(shù)題及答案

六年級(jí)奧數(shù)題及答案：圖形（高等難度）

1、如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E為的AD中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于G、H,0E垂

直AD于E,交AF于0,已知AH=5cm,HF=3cm,求AG.

2陰影面積：（高等難度）

如右圖，在以AB為直徑的半圓上取一點(diǎn)C,分別以AC和BC為直徑在AABC

外作半圓AEC和BFC.當(dāng)C點(diǎn)在什么位置時(shí)，圖中兩個(gè)彎月型（陰影部分）AEC

和BFC的面積和最大。

3、巧克力豆：（高等難度）

甲、乙、丙三人各有巧克力豆若干粒，要求互相贈(zèng)送.先由甲給乙、丙，甲

給乙、丙的豆數(shù)依次等于乙、丙原來各人所有豆數(shù).依同辦法，再由乙給甲、丙,

所給豆數(shù)依次等于甲、丙各人現(xiàn)有的豆數(shù).最后由丙給甲、乙，所給的豆數(shù)依次

等于甲、乙各人現(xiàn)有的豆數(shù).互贈(zèng)后每人恰好各有豆32粒，問原來三人各有豆多

少粒？

4、得獎(jiǎng)人數(shù)：（高等難度）

六年級(jí)舉行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有若干名同學(xué)得獎(jiǎng)，其中得一等獎(jiǎng)的同學(xué)比余

下的得獎(jiǎng)人數(shù)的五分之一少三名，得二等獎(jiǎng)的占領(lǐng)獎(jiǎng)人數(shù)的三分之一，得三等獎(jiǎng)

的人數(shù)比二等獎(jiǎng)的人數(shù)同學(xué)多21名，問得獎(jiǎng)人數(shù)是多少？

糧食問題：（高等難度）

5、甲倉有糧80噸，乙倉有糧120噸，如果把乙倉的一部分糧調(diào)入甲倉，使

乙倉存糧是甲倉的60%,需要從乙倉調(diào)入甲倉多少噸糧食？

6、分蘋果：（高等難度）

有一堆蘋果平均分給幼兒園大、小班小朋友，每人可得6個(gè)，如果只分給大

班每人可得10個(gè)，問只分給小班時(shí)，每人可得幾個(gè)？、

7,巧算：（中等難度）

+L?17?

1155x(--—+―-—++

計(jì)算*2x3x43x4x5+8x9x109x10x11

8、四位數(shù)：（中等難度）

某個(gè)四位數(shù)有如下特點(diǎn)：①這個(gè)數(shù)加1之后是15的倍數(shù)；②這個(gè)數(shù)減去3

是38的倍數(shù)；③把這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)左右倒過來所得的數(shù)與原數(shù)之和能被10

整除，求這個(gè)四位數(shù).

9跑步

狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米,

馬開始追它。問：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追上它？、

10排隊(duì)

有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有（）、

11路程

A,B,C三地的距離（單位：千米）如左下圖所示?，F(xiàn)有一輛載重量4噸的

汽車要完成下列任務(wù)：從A地運(yùn)12噸煤到B地，從B地運(yùn)8噸鋼材到C地，從

C地運(yùn)16噸糧食到A地。怎樣安排才能使汽車空駛里程最短？、

12、時(shí)間

李叔叔下午要到工廠上3點(diǎn)的班，他估計(jì)快到上班的時(shí)間了，就到屋里去看

鐘，可是鐘停在了12點(diǎn)10分。他趕快給鐘上足發(fā)條，匆忙中忘了對(duì)表就上班去

了，到工廠一看離上班時(shí)間還有10分鐘。夜里11點(diǎn)下班，李叔叔回到家一看，

鐘才9點(diǎn)鐘。如果李叔叔上、下班路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多長(zhǎng)時(shí)

間？

13、時(shí)間

在3點(diǎn)與4點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)刻位于一條直線上?

14分?jǐn)?shù)和

1,+1-+1-+1—+1—41--1+—=

3610152128----------

15整除三位數(shù)

從0、3、5、7這四個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)數(shù)，排成能同時(shí)被2、3、5整除的三

位數(shù)，這樣的三位數(shù)有多少？、

16、抽取數(shù)字

從3、5、8,11、14、17、20、23、26、29、32這11個(gè)數(shù)中，任意取出7

個(gè)數(shù)，其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們的差是15,為什么？

17、如圖，^ABC中BD=2AD,CE=2EB,AF=2FC,那么aABC的面積是陰影部

分面積的（）倍。

18、火車速度

一列火車從甲地開往乙地，如果將車速提高，可以比原計(jì)劃提前1小時(shí)到

達(dá)；如果先以原速度行駛240千米后，再將速度提高，則可提前40分鐘到達(dá).求

甲、乙兩地之間的距離及火車原來的速度。

19、分?jǐn)?shù)方程

已知----二1一=—9，則x等于多少?

1+313

2+—

天十—

4

20求未知數(shù)

設(shè)五位數(shù)通不被72整數(shù)，求數(shù)字x與」。

21競(jìng)賽班選拔考試，共有名同學(xué)參加。小明說："至少有10名同學(xué)來

自同一個(gè)學(xué)校。"如果他的說法是正確的，那么最多有多少所學(xué)校參加了這次選

拔考試？

22、面積

如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15四

邊形BFG0的面積為.

23、濃度

A、B兩杯食鹽水各有40克，濃度比是3：2.在B中加入60克水，然后

倒入A中克.再在A、B中加入水，使它們均為100克，這時(shí)濃度比為

7：3。

24、求數(shù)

是否存在自然數(shù)n,使得r?+n+2能被3整除？

25、玩骰子

小明和小紅玩擲骰子的游戲，共有兩枚骰子，一起擲出。若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)

和為7,則小明勝；若點(diǎn)數(shù)和為8,則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性

大。

26、求數(shù)

如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)為21,那么他們中最大的一個(gè)數(shù)可能是幾？

27、求和

將1至9這九個(gè)自然數(shù)分別填入下圖中九個(gè)小三角形中，要求靠近三角形每

條邊上五個(gè)數(shù)的和相等，并且盡可能地大。這五個(gè)數(shù)的和是（）

28、求差

有2個(gè)3位數(shù)，它們的和是999,如果把較大的數(shù)放在較小數(shù)的左邊，所成

的數(shù)正好等于把較小數(shù)放在較大數(shù)左邊所成數(shù)的6倍，那么這2數(shù)相差多少呢？

答案

1、

由于ABHDF,利用相似三角形性質(zhì)可以得到命:￡>尸=團(tuán):所=5:3,又因?yàn)镋為㈤中

點(diǎn)，那么有0E:尸。=1:2,

所以:0E=5:：=10:3,利用相似三角形性質(zhì)可以得到月G:G。=4B:OE=10:3,

而j<?=ljF=yX(5-?-3)=4(cm),所以4G=4x4=者(cm).

2、陰影面積答案：

兩彎月形面積二

JC1+[TX2clx'52+lxA3x5C=lxAC^BC

88822

本題即ACXBC何時(shí)有最大值.因?yàn)閐C2+SC2=AB，,當(dāng)=3C?時(shí),

AC2XBC2=(AC2xBC2)有最大值，此時(shí)ACXBC有最大值，即AC=3C時(shí)，陰影面

積最大.

oB

3、巧克力豆答案:

甲乙丙

最后?323232

丙未給甲和乙時(shí)：161664

乙未給甲和丙時(shí)：85632

甲未給乙和丙時(shí)：522816

答：甲、乙、丙原有巧克力豆各為52粒、28粒、16粒.

4、得獎(jiǎng)人數(shù)答案：

解答：設(shè)獲獎(jiǎng)人數(shù)為x,則

X=（jx+21）+[|（1x+21）-3]

所以x=lll（人）

5、糧食問題答案：

①甲倉有糧：（80+120）4-（1+60%）=125（噸）.

②從乙倉調(diào)入甲倉糧食：125-80=45（噸）.

6,分蘋果答案：

一（皆）=15（個(gè)）.

t>1U

7、、巧算答案：

本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式：

5__7-17______19

2x3x「3x4x5,-8x9x10*9x10x11這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的

地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的

差或和的情況.所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式.

法一：

觀察可知5=2+3,7=3+4,……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的

和，所以

8x9x109x|0xll

9+10

9x10x11

￡__L，__L]

8-7O+9-nJ

式?ll55x者,651.

（法二）

上面的方法是最直觀的轉(zhuǎn)化方法，但不是唯一的轉(zhuǎn)化方法.由于分子成等差

數(shù)列，而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a+nd,其中為公差d.如果能把分子變成這樣的

形式，再將a與nd分開，每一項(xiàng)都變成兩個(gè)分?jǐn)?shù)，接下來就可以裂項(xiàng)了.

5,7A17Al9

2x3x43x4x58x9x109x10x11

1+2x21+3x21+8x21+9x2

2x3x43x4x58x9x109x10x11

142x2，1入3x2,1,8x2,1上9x2

"————+，+——+,,?…+————+，+,??’

2x3x42x3x43x4x53x4x58x9x108x9x109x10x119x10x11

(1111\(2222、

12x3x43x4x58x9x109x10x1"\3x44x59x10lOxllJ

i(iiiiii、iiiin

212x33x43x44x59x10lOxllJ134451011J

12220311422055

31

所以原式=115”￡=651.

（法三）

本題不對(duì)分子進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是可以進(jìn)行計(jì)算的:

5717

—^―+“”一■一+…+—^――十—一.，一一一

2x3x43x4x58x9x109x10x11

1171191

+-X------------------+…+--x+—x

212x33x4213x44x52Bx99x10,29x1010x11

51111191

—X—+—―+—+?,，+——X

22x33x44x59x10210x11

=5+11_1931,

1231022055

所以原式=1155x^651.

（法四）對(duì)于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項(xiàng)歸納.先找每一項(xiàng)的通項(xiàng)公式:

2n+l

0=2,3〉9)

如果將分子2〃+1分成2”和1,就是上面的法二；如果將分子分成〃和1，就是上面的法

8、四位數(shù)答案：

設(shè)所求的四線為痂.因?yàn)樵摂?shù)加1之后是15的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，

所以d=4或d=9.

因?yàn)樵摂?shù)減去3是38的倍數(shù)，可見原數(shù)是奇數(shù)，因此d#4,只能是d=9.

因?yàn)閍bcd+dcba是10的倍數(shù)，所以a+d

=10,進(jìn)而知a=l,這時(shí)所求的

四位數(shù)是說.

這表明m=27、37、47；32、42、52.（因?yàn)?8m的尾數(shù)為6）

又因?yàn)?8m+3=15k-l（m、k是正整數(shù)）所以38m+4=15k.

由于38m的個(gè)位數(shù)是6,所以5|（38m+4）,

因此38m+4=15k等價(jià)于3|（38m4-4）,即3除m余1,因此可知m=37,m=5

2.

所求的四位數(shù)是1409,1979.

9、解答：根據(jù)"馬跑4步的距離狗跑7步"，可以設(shè)馬每步長(zhǎng)為7x米，則狗每步

長(zhǎng)為4x米。

根據(jù)"狗跑5步的時(shí)間馬跑3步"，可知同一時(shí)間馬跑3X7x米=21x米，則

狗跑5X4x=20x米。

可以得出馬與狗的速度比是21x：20x=21：20

根據(jù)"現(xiàn)在狗已跑出30米"，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差

的份數(shù)是21-20=1,現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是304-（21-20）X21=

630米

10、解答：根據(jù)乘法原理，分兩步：

第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5X4X3X2X1=120種不

同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)

際排法只有120+5=24種。

第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對(duì)夫妻均有2種排

法，總共又2X2X2X2X2=32種

綜合兩步，就有24X32=768種。

11、解答：

如右上圖所示，將各段需運(yùn)輸?shù)拇螖?shù)（括號(hào)內(nèi)的數(shù)）及運(yùn)輸走向（箭頭指向）

標(biāo)在圖上。由于C到A的次數(shù)最多，所以應(yīng)從C開始。按C-A-BfC,兩次循

環(huán)后，B地的鋼材運(yùn)完，C地還有8噸糧食待運(yùn)，A地還有4噸煤待運(yùn)。再從C

運(yùn)4噸糧食到A,然后空駛回C地，再從C運(yùn)4噸糧食到A,最后從A運(yùn)4噸煤

到人這樣的安排只空駛了7千米，空駛里程最短。

12、解答：這道題看起來很"亂"，但我們透過鐘面顯示的時(shí)刻，計(jì)算出實(shí)際經(jīng)過

的時(shí)間，問題就清楚了。鐘從12點(diǎn)10分到9點(diǎn)共經(jīng)過8時(shí)50分，這期間李叔

叔上了8時(shí)的班，再減去早到的10分鐘，李叔叔上、下班路上共用8時(shí)50分一

8時(shí)一10分=40（分）。李叔叔到工廠時(shí)是2點(diǎn)50分，上班路上用了20分鐘，

所以出發(fā)時(shí)間是2點(diǎn)30分。因?yàn)槌霭l(fā)時(shí)鐘停在12點(diǎn)10分，所以鐘停了2時(shí)20

分。

13、3點(diǎn)時(shí)分針指向12,時(shí)針指向3（見右圖），分針在時(shí)針后面5X3=15

（格）。時(shí)針與分針在一條直線上，可分為時(shí)針與分針重合、時(shí)針與分針成180°

角兩種情況（見下圖）：

（1）時(shí)針與分針重合.從3點(diǎn)開始，分

針要比時(shí)針多走15格，需，

15+

（T-61（分）.此時(shí)是3點(diǎn)162分.

141111P

（2）時(shí)針與分針成180°角。從3點(diǎn)開

始,分針要比時(shí)針多走15+30。

=45（?）,145-（1-1）-491（分）.此喉3點(diǎn)49年

所求時(shí)刻是3點(diǎn)16言分或3點(diǎn)491分。

1111P

14、解答：觀察分母，如果分母都乘以2,恰好得到我們利用裂項(xiàng)方法計(jì)算所需

的數(shù)

_（1111111）

1.1x22x33x44x55x66x77x8j

.f,111111111111n

k2233445566778j

7

4

15、解答：能同時(shí)被2與5整除，則這個(gè)三位數(shù)的末位數(shù)肯定是0；能被3整除

則這個(gè)三位數(shù)各個(gè)位上的數(shù)能被3整除，也就是在3、5、7中選兩個(gè)數(shù)字，使它

們相加能被3整除，不難得出只有5和7相加能被3整除，所以這樣的三位數(shù)只

有兩個(gè)：570與750o

16、解答：所有的數(shù)字分成以下幾組：以0,5},{23,8},{26,11},{29,14},

{32,17}把這5對(duì)數(shù)和⑶看做6個(gè)抽屜，從最不利情況考慮，從每個(gè)抽屜里各

取出個(gè)數(shù)，這時(shí)取出的6個(gè)數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)之差是15的，只要再任取一個(gè)數(shù)，

由抽屜原理可知：在前面5個(gè)抽屜里必定有一個(gè)抽屜里的兩個(gè)數(shù)都被取出，而這

5個(gè)抽屜中每個(gè)抽屜里的兩個(gè)數(shù)之差都是15。所以，任意取出的7個(gè)數(shù)中一定有

兩個(gè)數(shù)之差是15。

17、

解答：如圖，連接〃.，

根據(jù)燕尾定理，

S".￡”=BD:AD=2:1,

—,=—=1:2…

所以，=124,?

29

鼠=---S&=-5\,

那么，“1+2+44”74.,

同理可知MCG和MBH的面積也都等于

2

枷°面積的亍，所以陰影三角形的面積等

i-2X3=l

于等1BC面積的77,所以A4BC的

面積是陰影三角形面積的7倍.，

18、火車速度（六年級(jí)奧數(shù)題及答案）

解答：根據(jù)題意可知車速提高后與原來速度

比為（1+20%）:1=6:5,由于所行路程相同，

所以所用時(shí)間比為5：6,所差時(shí)間是1小時(shí)，

即1份是1小時(shí)，所以原來行完全程需要6

小時(shí)，同理可求出行完240千米后所用時(shí)間

=3-

為40x5=200（分鐘）3（時(shí)），所以行2如

6-3-=-

千米所用時(shí)間為33（時(shí)），火車速度

240--=90

為3（千米冊(cè)），,

甲、乙兩地間的距離為：90x6=540（千米）..

19、解答:

根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)，可以得到

14

—二—二一,

2+19

~~f

x+-x+-

44

911

同理：2H---

14~T~4,

x+-x+一

44

20、

解答：因?yàn)?2=8x9,所以通藥能被8與

9同時(shí)整除.二個(gè)數(shù)被8整除,則這個(gè)數(shù)的后

三位能被8基除，也即而能被8瞬，不

難求出」=2;4數(shù)被9整除，則這個(gè)數(shù)

各個(gè)位上的數(shù)相加能被9整除，所以

x+6+7+9+2=x+24能被9瞬，所以

x=3

21、解答：這是一道已知蘋果和"至少"，求抽屜的題，1123個(gè)蘋果，1123?

9=124……7,所以最多來了124個(gè)學(xué)校。

22、解答：四邊形EFG0的面積=三角形AFC+三角形BDF-白色部分的面積三角

形AFC+三角形BDF=長(zhǎng)方形面積的一半即60,白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積

減去陰影部分的面積，即120-70=50

所以四邊形的面積：60-50=10

23、解答：A、B濃度比是3:2,又因?yàn)辂}水重量相等，所以A、B鹽的重量比是

3：2,設(shè)A杯中鹽的重量是6份，則B杯中鹽的重量是4份，又知再在A、B中加

入水，使它們均為100克，這時(shí)濃度比為7:3,所以B杯中鹽的重量要有1份倒

入A杯，即B杯中要有四分之一的鹽倒入A杯中，所以倒入A杯中鹽水重量為

100X(1：4)=25(克)

24解答：枚舉法通常是對(duì)有限種情況進(jìn)行枚舉，但是本題討論的對(duì)象是所有自

然數(shù)，自然數(shù)有無限多個(gè)，那么能否用枚舉法呢？我們將自然數(shù)按照除以3的余

數(shù)分類，有整除、余1和余2三類，這樣只要按類一一枚舉就可以了。

當(dāng)n能被3整除時(shí)，因?yàn)閚都能被3整除，所以

(n~+n+2)+3余2；

當(dāng)n除以3余1時(shí)，因?yàn)閚除以3都余1,所以

(n'+n+2)+3余1；

當(dāng)n除以3余2時(shí)，因?yàn)殇X;3余1,n+3余2,所以

(rr+n+2)4-3余2。

因?yàn)樗械淖匀粩?shù)都在這三類之中，所以對(duì)所有的自然數(shù)n,(n?+n+2)都

不能被3整除。

25、解答：將兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和分別為7與8的各種情況都列舉出來，就可得

到問題的結(jié)論。用a+b表示第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為a,第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)是b的

情況。

出現(xiàn)7的情況共有6種，它們是：

1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1。

出現(xiàn)8的情況共有5種，它們是：

2+6,3+5,4+4,5+3,6+2。

所以，小明獲勝的可能性大。

26、解答：找出21以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，然后再加上一個(gè)比較大的質(zhì)數(shù)算平均值2,

3,5,7,11,13,17,19一共是8個(gè)，和為77,那么77+x=9x21,x=112不是

質(zhì)數(shù)所以考慮去掉1個(gè)數(shù)，設(shè)去掉的是a,那個(gè)較大的數(shù)是x,則

77-a+x=21x8,x=91+a要是質(zhì)數(shù)，不可能（因?yàn)槭紫缺仨氁玫狡鏀?shù)，那么a只

能是2,但是91+2=93不是質(zhì)數(shù)）所以考慮去掉2個(gè)數(shù)，設(shè)去掉的是a,b,較大的

數(shù)是x,則77-a-b+x=21x7,x=70+a+b,x必須是奇數(shù)，所以a,b中必須有2,不妨

令a=2,則72+b要是質(zhì)數(shù)，那么符合條件的最大的是72+17=89

27、解答：靠近三角形邊上一共有3條邊，每條的和為S,那么3條邊的和為3s

同時(shí)，這三條邊相加的時(shí)候，除了2排第1、3和3排第3個(gè)。其余6個(gè)小

三角都被加了2次。所以，3s=1+2+…+9+6個(gè)小三角形的和。所以3s=45+6個(gè)小

三角形的和要使S大，那么就是6個(gè)小三角形的和大，于是另外3個(gè)格子里就填

1,2,3,而這6個(gè)分別是4,5,6,7,8,9,這樣，S就=28

其中一種填法可以是：上面9；中間順次1,4,3.下面順次法6,以是7.

28、解答：abc+def=999,abcdef=6defabc,根據(jù)位值原

理，1000abc+def=6000def+6abe

化簡(jiǎn)得994abc=5999def,兩邊同時(shí)除以7得142abe=857def,所以abc=857,

def=142

所以857-142=715

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)串講名師輔導(dǎo)第1課《工程問題》練習(xí)題附答案

六年級(jí)奧數(shù)：第一講工程問題

第一講工程問題

工程問題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工

作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成

的工作量）.

這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時(shí)間=工作總量，

工作總量+工作時(shí)間=工作效率，

工作總量+工作效率=工作時(shí)間.

為敘述方便，把這三個(gè)量簡(jiǎn)稱工量、工時(shí)和工效.

例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲

丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？

分析設(shè)這項(xiàng)工程為1個(gè)單位，則甲、乙合作的工效為點(diǎn),乙、丙合

作的工效為5,甲、丙合作的工效為2.因此甲、乙、丙三隊(duì)合作的工

效的兩倍為白+白+《,所以甲、乙、丙三隊(duì)合作的工效為\

+2=》.因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1+志=10（天）.

解'1+得+1+5+2]

=1-[：+2]=1+'=10（天）

答：甲、乙、丙三隊(duì)合作需10天完成.

說明：我們通常把工量“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位.這樣，工效就用工

時(shí)的倒數(shù)來表示.如例1中甲乙兩隊(duì)合作的工時(shí)為12天，那么工效就為《，

它表示甲乙兩隊(duì)一天完成全部工程的卷.

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天

后，因事外出，由徒弟接著做3天.共完成任務(wù)的白.如果每人單獨(dú)做這批零

件各需幾天？

分析設(shè)一批零件為單位“1”.其中6天完成任務(wù)，用!表示師徒的工效

0

和.要求每人單獨(dú)做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做

5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天.

解：師傅工效：（Ux3）+2=3；

1U01U

徒弟工效：95二5；

師傅單獨(dú)做需幾天：1+,=10（天）；

徒弟單獨(dú)做需幾天：1+（=15（天）.

答：如果單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天.

例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天.若甲先做若干天

后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？

分析解答工程問題時(shí)，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目

的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。

解：設(shè)甲做了x天.那么，

甲完成工作量Jx,乙做的天數(shù)10-X,

乙完成工作量（10-x）X-,

因此—x+(10-x)X-=1?

129

兩邊同乘36,得到：3x+40-4x=36,

答：甲做了4天.

例4一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成.甲先做8小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完

成？

分析設(shè)一件工作為單位“1”.甲做6小時(shí)，乙再做12小時(shí)完成或者甲先

做8小時(shí)，乙再做6小時(shí)都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

甲做6小時(shí)乙做12小時(shí)

甲做8小時(shí)乙做6小時(shí)

由圖不難看出甲2小時(shí)工作量=乙6小時(shí)工作量，.??甲1小時(shí)工作量=乙3小

時(shí)工作量.可用代換方法求解問題.

解：若由乙單獨(dú)做共需幾小時(shí)：

6X3+12=30（小時(shí)）.

若由甲單獨(dú)做需幾小時(shí):

8+6*3=10（小時(shí)）.

甲先做3小時(shí)后乙接著做還需幾小時(shí)：

（10-3）X3=21（小時(shí)）.

答：乙還需21小時(shí)完成.

例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程

的;.如果想提前6天完工，還需增加多少人？

分析由18人修12天完成了全部工程的;，可通過18X12求出用一天

完成g工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過18X12求出用一人完成g工作量

共需要的總天數(shù).所以由（18X12）求出1人1天完成全部工程的幾分

之幾（即一人的工效）.

解：①1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）：

9（18X12）=焉

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：

><（30-12-6）］

212

=___T*_________

3648

=36（人）.

③需增加幾人：

36-18=181人）.

答：還要增加18人.

例6蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5

小時(shí).排光一池水，單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，

排水，進(jìn)水，排水…的順序輪流各開1小時(shí).問：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

分析與解答①在解答“水管注水”問題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)出

水管的情況.若進(jìn)水管、出水管同時(shí)開放，則積滿水的時(shí)間=1+（進(jìn)水管工

效-出水管工效），

排空水的時(shí)間=1+（出水管工效一進(jìn)水管工效）.

②這道應(yīng)用題是分析推理與計(jì)算相結(jié)合的題目.根據(jù)已知條件推出水池

中的水每2小時(shí)減1少1水池2中有半池水即；1經(jīng)過6小時(shí)后還剩

121一，

g-百X（6+2）=石.如果按進(jìn)水，排水的順序進(jìn)行，則又應(yīng)進(jìn)水1小時(shí)，

11?13

這時(shí)水池內(nèi)共有水而+|=-.如果按每小時(shí)可的流速排出需要經(jīng)過記一

1a9

可=記（小時(shí)），共用的時(shí)間為6+1+記=7.9（小時(shí)）=7小時(shí)54分剛

好排完.

例7一件工作，甲5小時(shí)先完成了《，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一

半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？

分析這道題是工程問題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題.解題時(shí)先要分別求出

甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1”（總工作量）的幾分

之幾？

解:甲工作效率：^+5=/,

乙工作效率：a—J）xJ+6=[,

余下部分甲、乙合作需要幾小時(shí)：

（1-》X（1-.+一+5）=31（小時(shí)）

答：還需要3；小時(shí)才能完成任務(wù).

例8甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多,如果

二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

分析求這批樹一共多少棵，必須找出與36棵所對(duì)應(yīng)的甲、乙工效

差.已知甲比乙所用的時(shí)間多提可以求出甲與乙所用的時(shí)間比為4：3.

當(dāng)工作總量一定的情況下，工效與工時(shí)成反比例，甲與乙的工時(shí)比為《：1

=4：3,所以甲與乙的工效比是3：4.這個(gè)間接條件一旦揭示出來，問題就得

到解決了.

解：設(shè)乙所用時(shí)間為“1”，甲的時(shí)間是乙的1+；=1：（倍），則甲與

乙的時(shí)間比是4:3.

工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例，所以甲與乙的工效比是時(shí)

間比的皮比，為3：4.

共植樹多少棵：36-=252（棵）.

答：這批樹一共252棵.

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的!沒有完成.已知甲每天比乙多加工3個(gè)

零件，求這批零件共多少個(gè)？

分析欲求這批零件共多少個(gè)，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做

多少個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天，有了這個(gè)結(jié)論

后，只需算出3個(gè)零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可.由條件知甲做16

3

天，乙做12天共完成工程的熱也即相當(dāng)于甲乙二人合做12天，另外加上

甲又做4天共完成這批零件的點(diǎn)又知道甲乙二人合做24天可以完成，因此

甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解.

解：甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾？

-7X12=7.

242

甲1天能完成全工程的幾分之幾？

乙1天可完成全工程的幾分之幾？

11_1

24-40-60

這批零件共多少個(gè)？

3+(4060)，=3--120=360(,個(gè)人)

答：這批零件共360個(gè).

六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第二講比和比例

第二講比和比例

在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān).

在解答這類應(yīng)用題時(shí)，我們需要對(duì)題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷.

成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量.一種量（記作X）變化時(shí)另一

種量（記作y）也隨著變化.與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不變的量（記為k）.

在判斷變量x與提否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住這個(gè)不變量k.如

果不變量k是變量y與x的商，即在x變化時(shí)y與x的商不變：—=k,那么y與x成

正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時(shí)，y與x的積不變：xy=k,那么y與x

成反比例.如果這兩個(gè)關(guān)系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例.

下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始.

例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？

①速度一定，路程與時(shí)間.

②路程一定，速度與時(shí)間.

③路程一定，己走的路程與未走的路程.

④總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間.

⑤總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積.

⑥整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商.

⑦同時(shí)同地，竿高和影長(zhǎng).

⑧半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積.

⑨兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù).

?圓的半徑和面積.

（11）長(zhǎng)方體體積一定，底面積和高.

（12）正方形的邊長(zhǎng)和它的面積.

(13)乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià).

(14)房間面積一定，每塊地板轉(zhuǎn)的面積與用鑄的塊數(shù).

(15)汽車行駛時(shí)每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量.

分析以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變

化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個(gè)

相關(guān)的變量x、y用?=k或用時(shí)=竦表示，其中k是定量.如果不能寫出這兩

種磐式，或只能寫1加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例.例如①

器=速度，速度一定，路程與時(shí)間成正比例.④制造每個(gè)零件用的時(shí)間X

零件數(shù)=總時(shí)間，總時(shí)間一定，制造每個(gè)零件用的時(shí)間與要制造的零件總數(shù)成

反比例.③路程一定，己走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例.

解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)

成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)

不成比例的有：③、?、(12),(13).

例2一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長(zhǎng)的比依

次是L2：3,某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是4：5：6,已知他上坡的速

度是每小時(shí)3千米，問此人走完全程用了多少時(shí)間？

分析要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)己知條件先求出此人走

上坡路用了多少時(shí)間，必須知道走上坡路的速度(題中每小時(shí)行3千米)和上

坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1：2:

3,就可以求出上坡路的路程.

解：上坡路的路程：

60X^7==1。(千米)?

走上坡路用的時(shí)間：

10+3=3；(小時(shí)).

上坡路所用時(shí)間與全程所用時(shí)間比:

4_4

4+5+6-15

走完全程所用時(shí)間:

_4_=_1_0x_1_5=_2_5嗎（小時(shí)）.

15342

答:此人走完全程共用12（小時(shí).

例3一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2：3,現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金36

克，錄新合嚏內(nèi)銅和絳的比？

分析要求新合金內(nèi)銅和鋅的比，必須分別求出新合金內(nèi)銅和鋅各自的重

量.應(yīng)該注意到銅和鋅的比是2：3時(shí)，合金的重量不是36克，而是（36-6）

克.銅的重量始終沒有變.

解：銅和鋅的比是2：3時(shí)，合金重量：

36-6=30（克）.

銅的重量：

2

30X2+3=I2（克）.

新合金中鋅的重量：

36-12=24（克）.

新合金內(nèi)銅和鋅的比：

12:24=1：2.

答：新合金內(nèi)銅和鋅的比是1：2.

例4師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，徒弟加工一

個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？

分析師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，每分鐘可加工（個(gè)零件，徒弟加工

一個(gè)零件用9分鐘，每分鐘可加工零件9個(gè)，師徒兩人效率的比是J：

由于兩人的工作時(shí)間是一定的，根據(jù)冉褰=工作時(shí)間（一定），

-L作效率

工作量與工作效率成正比例.

解法1：設(shè)師傅加工x個(gè)，徒弟加工（168-x）個(gè).

1

x:

168-x-T

9

x_9

168-x=5

5x=168X9-9x,

14X=168X9,

x=108.

168-x=168-108=60（個(gè)）.

答：師傅加工108個(gè)，徒弟加工60個(gè).

解法2：由于師、徒兩人工作效率的比是，那么他們工作量的

比也是;：因此師傅工作量是徒弟工作量的;+9=1*（倍），徒弟

的工作量為1倍量.

168+（g+g+1）

4

=168-2y

=60（個(gè)）,（徒弟）.

60X《+》=108（個(gè)），（師傅）.

解法3：師傅每分鐘加工2個(gè)，徒弟每分鐘加工（個(gè)，用相遇問題思考方

法可求出兩人各用了多少分鐘.然后用師、徒每分鐘各自的效率，分別乘以

540就是各自加工零件的個(gè)數(shù).

168-（：1+91）=168+124=540（分鐘）.

3X540=108（個(gè)），（師傅）

：X540=60（個(gè)），（徒弟）.

例5洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺(tái)，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效

率提高25%,完成計(jì)劃還要多少天？

分析這是一道比例應(yīng)用題，工效和工時(shí)是變量，不變量是計(jì)劃生產(chǎn)5天后

剩下的臺(tái)數(shù).從工效看，有原來的效率1600+20=80臺(tái)/天，又有提高后的效

率80X（1+25%）=100臺(tái)/天.從時(shí)間看，有原來計(jì)劃的天數(shù)，要求效率提

高后還需要的天數(shù).

根據(jù)工效和工時(shí)成反比例的關(guān)系，得：

提高后的效率X所需天數(shù)=剩下的臺(tái)數(shù).

解法1：設(shè)完成計(jì)劃還需x天.

1600-20X（1+25%）Xx=1600-1600-20X5

80X1.25Xx=1600-400

100x=1200

x=12.

答：完成計(jì)劃還需12天.

解法2：此題還可以轉(zhuǎn)化成正比例.根據(jù)實(shí)際效率是原來效率的1+25

%=1；倍，把原來效率看成“1”，實(shí)際和原來效率的比是1；：1=5：4,因

為工效和工時(shí)成反比例，所以實(shí)際與原來所需時(shí)間的比是4：5,如果設(shè)實(shí)際還

需要x天，原來計(jì)劃的天數(shù)是20-5=15天，根據(jù)實(shí)際與原來時(shí)間的比等于實(shí)際

天數(shù)與原來天數(shù)的比，可以用正比例解答.設(shè)完成計(jì)劃還需x天.

4_x

5=20-5,

5x=60,

x=12.

例6一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比是14：5,如果長(zhǎng)減少13厘米，寬增加13厘

米，則面積增加182平方厘米，那么原長(zhǎng)方形面積是多少平方厘米？

畫出圖便于解題:

解法1：BC的長(zhǎng):182-13=14（厘米），

BD的長(zhǎng):14+13=27（厘米），

從圖中看出AB長(zhǎng)就是原長(zhǎng)方形的寬，AD與AB的比是14：5,

AB與BD的比是5：（14-5）=5：9,

Q

AB的長(zhǎng)是27+5=15（厘米），

AD的長(zhǎng)是15+42（厘米），

原長(zhǎng)方形面積是42X15=630（平方厘米）.

答：原長(zhǎng)方形面積是630平方厘米.

解法2：設(shè)原長(zhǎng)方形長(zhǎng)為14x,寬為5x.由圖分析得方程

（14x-13）X13-5xX13=182,

9x=*+13,

9x=27,

x=3.

則原長(zhǎng)方形面積

（14X3）X（5X3）=630（平方厘米）.

例4、例5、例6是綜合性較強(qiáng)的題，介紹了幾種不同解法.要求大家從不

同角度、綜合、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多角度去思考解答應(yīng)用題，從而提高自己

思維判斷能力.

六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）

第三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題(一)

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)之

一.一方面它是在整數(shù)應(yīng)用題基礎(chǔ)上的繼續(xù)和深化；另一方面，它有其本身的

特點(diǎn)和解題規(guī)律.因此，在這類問題中，數(shù)量之間以及“量”、"率”之間的

相依關(guān)系與整數(shù)應(yīng)用題比較，就顯得較為復(fù)雜，這就給正確地選擇解題方法，

正確解答帶來一定困難.

為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法必須做好以下幾方面工作.

①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力.解答整數(shù)應(yīng)用題的基礎(chǔ)知識(shí)，如概念、性

質(zhì)、法則、公式等仍廣泛用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.

②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用.

③學(xué)會(huì)畫線段示意圖.線段示意圖能直現(xiàn)地揭示“量”與“百分率”之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隙蔽條件.它可以幫助我們?cè)趶?fù)雜的條件

與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理.

④學(xué)會(huì)多角度,多側(cè)面思考問題的方法.分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題

之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法.因

此，在解題過程中，要善于掌握對(duì)應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，在尋找正

確的解題方法同時(shí)，不斷地開拓解題思路.

例1(1)本月用水量比上月節(jié)約7%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①上月用水量與單位“1”的關(guān)系.

②本月節(jié)約用水量與上月用水量的7%的關(guān)系.

③本月用水量與上月用水量的(1-7%)的關(guān)系.

(2)藍(lán)墨水比紅墨水多20%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①紅墨水與單位“1”的關(guān)系.

②藍(lán)墨水比紅墨水多出的量與紅墨水的20%的關(guān)系.

③藍(lán)墨水與紅墨水的(1+20%)的關(guān)系.

（3）己看的頁數(shù)比未看的頁數(shù)多15%,可以聯(lián)想哪些關(guān)系？

①未看的或數(shù)與單位“1”的關(guān)系.

②己看的與未看的貫數(shù)的差與未看正數(shù)的15%的關(guān)系.

③己看的頁數(shù)與未看的頁數(shù)的（1+15%）的關(guān)系.

例2小華看一本書，每天看15頁，4天后還剩全書的芻殳看，這本故事書

是多少頁？

分析每天看15頁，4天看了15X4=60史.解題的關(guān)鍵是要找出

這6。頁相當(dāng)于全書頁數(shù)的幾分之幾，還剩下全書的皇殳看，己經(jīng)看了的是

全書的1-1=京60貫與全書的1■直接對(duì)應(yīng)，全書的貫數(shù)就可以順利求出.

解：①看了多少更？

15X4=60（頁）.

②看了全書的幾分之幾？

,_3_2

15-5-

③這本書有多少頁？

2—

60+5=150（頁）.

3

綜合算式：15X4+

2

=60+5=150（更）

答：這本故事書是150瓦.

例3小華看一本故事書，第一天看了全書的:還多21瓦，第二天看

O

了全書的?少6瓦，還剩下172頁，這本故事書一共有多少五？

0

分析要想求這本書共有多少頁，需要找條件里的多21頁，少6或，剩下

172頁所對(duì)應(yīng)的百分率.也就是說，要從這三個(gè)量里找出一個(gè)能明確占全書的

幾分乏幾雨量.

畫線段圖：

1/821頁1/6

AA_________________人

/_________VX,一、、

IIII1I

'~7"'

頁

、?―6/

172頁

解：（172-6+21）+（1-

oo

=187+三

24