蘇科版初中八年級數(shù)學上冊3-3勾股定理的簡單應(yīng)用課件

第3章勾股定理3.3勾股定理的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1勾股定理的應(yīng)用1.(2023江蘇南通海安月考)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,

一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,

頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜

靠在右墻時,頂端距離地面2米,則小巷的寬度為

()AA.2.2米

B.2.3米

C.2.4米

D.2.5米解析如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25.

在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2米,A'B2=AB2,∴BD2=A'B2-A'D2=2.25.∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故選A.2.如圖①,一棵大樹在一次強臺風中于離地面6m處折斷倒

下,樹頂落在離樹根8m處,圖②是這棵大樹折斷的示意圖,則

這棵大樹在折斷之前的高是

m.16解析根據(jù)勾股定理,得AB2=62+82=100,∴AB=10m,∴AC+AB=6+10=16(m).故答案為16.知識點2勾股定理的逆定理的應(yīng)用3.如圖,學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD,測

得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且∠ABC=90°,這塊

菜地的面積是

()A.48m2

B.114m2

C.122m2

D.158m2B解析連接AC(圖略).∵∠ABC=90°,AB=9,BC=12,∴AC2=AB2

+BC2=92+122=225.∴AC=15,∵CD=8,AD=17,∴AC2+CD2=152

+82=289,AD2=172=289,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角

形,∴∠ACD=90°,∴四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△

ACD的面積=

AB·BC+

AC·CD=

×9×12+

×15×8=54+60=114(m2),∴這塊菜地的面積為114m2.故選B.4.(情境題·國防教育)如圖,南北方向的領(lǐng)海線PQ以東為我國

領(lǐng)海區(qū)域,以西為公海.某日22點30分,我邊防反偷渡巡邏艇A

發(fā)現(xiàn)其正西方向有一可疑船只C正向我國的領(lǐng)?？拷?便立

即通知正處于PQ上的巡邏艇B注意其動向.經(jīng)觀測,發(fā)現(xiàn)巡邏

艇A與可疑船只C之間的距離為10海里,A,B兩艇之間的距離

為6海里,巡邏艇B與可疑船只C之間的距離為8海里.若該可

疑船只的航行速度為12.8海里/小時,則它最早在何時進入我

國的領(lǐng)海區(qū)域?解析∵AC=10,AB=6,BC=8,∴AC2=100,AB2=36,BC2=64,AC2=AB2+BC2,∴△ABC是直角三角形.∵PQ⊥AC,∴S△ABC=

AB·BC=

AC·BD,即6×8=10BD,解得BD=4.8.∵PQ⊥AC,BC=8,BD=4.8,∴CD=6.4.∵該可疑船只的速度為12.8海里/小時,∴從C到D所需的時間為

=0.5小時=30分鐘.答:該可疑船只最早在23點進入我國領(lǐng)海區(qū)域.5.(情境題·現(xiàn)實生活)(2024江蘇南通海安月考,5,★☆☆)如圖,有一架秋千,當它靜止時,踏板離地0.5米,將它往前推3米時,踏板離地1.5米,此時秋千的繩索是拉直的,則秋千的長度是

()

A.3米

B.4米

C.5米

D.6米C能力提升全練解析設(shè)OA=OB=x米.∵BC=DE=3米,DC=1.5米,∴CA=DC-AD=1.5-0.5=1(米),∴OC=OA-AC=(x-1)米.在Rt△OCB中,OC=(x-1)米,OB=x米,BC=3米,根據(jù)勾股定理,得x2=(x-1)2+32,解得x=5,則秋千的長度是5米.故選C.6.(情境題·數(shù)學文化)(2021江蘇宿遷中考,15,★★☆)《九章

算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈,葭生其

中央,出水一尺.引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”

題意:有一個池塘,其底面是邊長為10尺的正方形,一棵蘆葦

AC生長在它的中央,高出水面部分BC為1尺,如果把該蘆葦沿

與水池邊垂直的方向拉向岸邊,那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到

岸邊的C'處(如圖),水深和蘆葦長各多少尺?則該問題的水深

是

尺.12解析如圖:

設(shè)AC'=x尺,則AB=(x-1)尺.∵C'E=10尺,∴C'B=5尺.在Rt△AC'B中,由勾股定理,得BC'2+AB2=AC'2,即52+(x-1)2=x2,解得x=13.∴AB=12尺,即水深為12尺.故答案為12.7.(梯子滑動模型)(2023江蘇泰州期中,23,★★☆)如圖,一架2.

5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO為2.4m.(1)如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m至點C處,那么梯子的底

端B也外移0.4m嗎?請通過計算說明.(2)點P為AB的中點,小明將一根繩子的一端固定在點P處,拉

直后將另一端固定在點O處.你覺得這樣能防止梯子頂端下

滑嗎?簡要說明理由.7.(梯子滑動模型)(2023江蘇泰州期中,23,★★☆)如圖,一架2.

5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO為2.4m.(1)如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m至點C處,那么梯子的底

端B也外移0.4m嗎?請通過計算說明.(2)點P為AB的中點,小明將一根繩子的一端固定在點P處,拉

直后將另一端固定在點O處.你覺得這樣能防止梯子頂端下

滑嗎?簡要說明理由.解析(1)在Rt△AOB中,OB2=AB2-AO2=2.52-2.42=0.49,∴OB=

0.7m.∵AO=2.4m,AC=0.4m,∴CO=2m.在Rt△DOC中,DO2

=CD2-CO2=2.52-22=2.25,∴DO=1.5m,∴BD=DO-BO=1.5-0.7=

0.8m,故梯子的底端B外移了0.8m.(2)不能防止梯子下滑.理由:直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半,梯子頂端若下滑,繩子的長度不變,并不拉伸,不

能防止梯子下滑.8.(運算能力)沿海城市A接到臺風警報,在該市正南方向130

km的B處有一臺風中心,沿BC方向以15km/h的速度移動,已

知城市A到BC的距離AD=50km,那么臺風中心經(jīng)過多長時間

從B點移到D點?如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都有

受到臺風破壞的危險,正在D點休閑的游人在接到臺風警報

后的幾小時內(nèi)撤離才可遠離危險?(游人撤離的速度大于臺

風中心移動的速度)素養(yǎng)探究全練解析在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理,得AD2+BD2=AB2,∴BD2=AB2-AD2=1302-502=14400=1202,∴BD=120km,則臺風中心經(jīng)過120÷15=8小時從B點移動到D點.如圖,∵距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都有受到臺風破壞的危

險,∴人們要在臺風中心到達E點之前撤離,∵BE=BD-DE=120-30=90(km),∴游人在90÷15=6小時內(nèi)撤離才可遠離危險.方法指引利用勾股定理解決圖形折疊問題的一般思路:微專題

用勾股定理解決長方形中的折疊問題1.運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角;2.在圖形中找

到一個直角三角形,然后設(shè)圖形中某一線段的長為x,將此直

角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來;3.利用勾

股定理列方程求出x;4.進行相關(guān)計算解決問題.1.如圖,將長方形ABCD沿著AE折疊,點D落在BC邊上的點F

處,已知AB=8,BC=10,則EC的長為

()

A.4

B.3C.5

D.2B解析∵四邊形ABCD是長方形,∴AD=BC=10,AB=CD=8,∴∠B=∠BCD=90°.由翻折可知AD=AF=10,DE=EF,在Rt△ABF中,BF2=AF2-AB2=102-82=36,∴BF=6,∴CF=BC-BF=10-6=4.設(shè)EC=x,則DE=EF=8-x.在Rt△EFC中,EF2=CE2+CF2,∴(8-x)2=x2+42,∴x=3,∴EC=3.故選B.2.如圖,把長方形紙片ABCD折疊,使頂點A與頂點C重合在一

起,EF為折痕.若AB=9,BC=3,則以折痕EF為邊的正方形的面

積為

()

A.11

B.10

C.9

D.16B解析如圖,過E作EG⊥AB于G,

∵四邊形ABCD是長方形,∴AD=BC,∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°.根據(jù)折疊的性質(zhì)得HC=AD,∠H=∠D,∠A=∠HCF,∴HC=

BC,∠H=∠B.∵∠HCE+∠ECF=90°,∠BCF+∠ECF=90°,∴∠HCE=∠BCF.在△EHC和△FBC中,

∴△EHC≌△FBC(ASA),∴BF=HE=DE.設(shè)BF=EH=DE=AG=x,則AF=CF=9-x.在Rt△BCF中,BF2+BC2=CF2,得x2+32=(9-x)2.解得x=4,即DE=EH=BF=AG=4,∴GF=AB-AG-BF=9-4-4=1,∴EF2=EG2+GF2=32+12=10.∴以折痕EF為邊的正方形的面積

為10.故選B.3.如圖,沿長方形ABCD的對角線B