高中數(shù)學(xué)講義100微專題084古典概型

1-微專題84古典概型一、基礎(chǔ)學(xué)問：1、基本領(lǐng)件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)不行再分的結(jié)果稱為一個(gè)基本領(lǐng)件。例如：在扔骰子的試驗(yàn)中，向上的點(diǎn)數(shù)1點(diǎn)，2點(diǎn)，……，6點(diǎn)分別構(gòu)成一個(gè)基本領(lǐng)件2、基本領(lǐng)件空間：一次試驗(yàn)，將全部基本領(lǐng)件組成一個(gè)集合，稱這個(gè)集合為該試驗(yàn)的基本領(lǐng)件空間，用表示。3、基本領(lǐng)件特點(diǎn)：設(shè)一次試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件為（1）基本領(lǐng)件兩兩互斥（2）此項(xiàng)試驗(yàn)所產(chǎn)生的事務(wù)必由基本領(lǐng)件構(gòu)成，例如在扔骰子的試驗(yàn)中，設(shè)為“出現(xiàn)點(diǎn)”，事務(wù)為“點(diǎn)數(shù)大于3”，則事務(wù)（3）全部基本領(lǐng)件的并事務(wù)為必定事務(wù)由加法公式可得：因?yàn)?，所?、等可能事務(wù)：假如一項(xiàng)試驗(yàn)由個(gè)基本領(lǐng)件組成，而且每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么每一個(gè)基本領(lǐng)件互為等可能事務(wù)。5、等可能事務(wù)的概率：假如一項(xiàng)試驗(yàn)由個(gè)基本領(lǐng)件組成，且基本領(lǐng)件為等可能事務(wù)，則基本領(lǐng)件的概率為證明：設(shè)基本領(lǐng)件為，可知所以可得6、古典概型的適用條件：（1）試驗(yàn)的全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限多個(gè)（2）每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等當(dāng)滿意這兩個(gè)條件時(shí)，事務(wù)發(fā)生的概率就可以用事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)占基本領(lǐng)件空間的總數(shù)的比例進(jìn)行表示，即7、運(yùn)用古典概型解題的步驟：①確定基本領(lǐng)件，一般要選擇試驗(yàn)中不行再分的結(jié)果作為基本領(lǐng)件，一般來說，試驗(yàn)中的詳細(xì)結(jié)果可作為基本領(lǐng)件，例如扔骰子，就以每個(gè)詳細(xì)點(diǎn)數(shù)作為基本領(lǐng)件；在排隊(duì)時(shí)就以每種排隊(duì)狀況作為基本領(lǐng)件等，以保證基本領(lǐng)件為等可能事務(wù)②可通過計(jì)數(shù)原理（排列，組合）進(jìn)行計(jì)算③要保證中所含的基本領(lǐng)件，均在之中，即事務(wù)應(yīng)在所包含的基本領(lǐng)件中選擇符合條件的二、典型例題：例1：從這6個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)取三個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的和的概率為________思路：事務(wù)為“6個(gè)自然數(shù)中取三個(gè)”，所以，事務(wù)為“一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的和”，不妨設(shè)，則可依據(jù)的取值進(jìn)行分類探討，列舉出可能的狀況：，所以。進(jìn)而計(jì)算出答案：例2：從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則直線不經(jīng)過第三象限的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“的全部組合”，則，設(shè)事務(wù)為“直線不經(jīng)過第三象限”，則要求，所以，從而答案：A例3：袋中共有7個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球。若從袋中任取三個(gè)球，則所取3個(gè)球中至少有兩個(gè)紅球的概率是（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“袋中任取三球”，則，設(shè)事務(wù)為“至少兩個(gè)紅球”，所以，從而答案：B例4：設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.思路：設(shè)事務(wù)為“從所給數(shù)中任取一個(gè)”，則，所求事務(wù)為事務(wù)，要計(jì)算所包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，則須要確定的關(guān)系，從恒成立的不等式入手，恒成立，只需，而，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，得到關(guān)系后即可選出符合條件的：共8個(gè)，當(dāng)時(shí)，，所以符合條件，綜上可得，所以答案：A例5：某人射擊10次擊中目標(biāo)3次，則其中恰有兩次連續(xù)命中目標(biāo)的概率為（）A.B.C.D.思路：考慮設(shè)為“10次射擊隨意擊中三次”，則，設(shè)事務(wù)為“恰有兩次連續(xù)命中”，則將命中分為兩次連續(xù)和一次單獨(dú)的，因?yàn)檫B續(xù)與單獨(dú)的命中不相鄰，聯(lián)想到插空法，所以（剩下七個(gè)位置出現(xiàn)八個(gè)空，插入連續(xù)與單獨(dú)的，共有種，然后要區(qū)分連續(xù)與單獨(dú)的依次，所以為），從而答案：A例6：已知甲袋裝有6個(gè)球，1個(gè)球標(biāo)0,2個(gè)球標(biāo)1，3個(gè)球標(biāo)2；乙袋裝有7個(gè)球，4個(gè)球標(biāo)0,1個(gè)球標(biāo)1,2個(gè)球標(biāo)2，現(xiàn)從甲袋中取一個(gè)球，乙袋中取兩個(gè)球，則取出的三個(gè)球上標(biāo)有的數(shù)碼乘積為4的概率是____________思路：設(shè)為“兩個(gè)袋中取出三個(gè)球”，則，事務(wù)為“三個(gè)球標(biāo)記數(shù)碼乘積為4”，因?yàn)?，所以三個(gè)球中有兩個(gè)2號球，1個(gè)1號球，可依據(jù)1號球的來源分類探討，當(dāng)1號球在甲袋時(shí)，有種，當(dāng)1號球在乙袋時(shí)，則乙袋一個(gè)1號球，一個(gè)二號球，共有有種，即種。則答案：例7：四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中任取4個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)”，則，設(shè)事務(wù)為“4個(gè)點(diǎn)不共面”，若正面找尋不共面的狀況較為困難，所以考慮問題的對立面，即為“4個(gè)點(diǎn)共面”，由圖可得四點(diǎn)共面有以下幾種狀況：（1）四個(gè)點(diǎn)在四面體的面上，則面上6個(gè)點(diǎn)中隨意4個(gè)點(diǎn)均共面，則；（2）由平行線所產(chǎn)生的共面（非已知面），則有3對，即；（3）由一條棱上的三點(diǎn)與對棱的中點(diǎn)，即，所以共面的狀況，所以，所以答案：D例8：袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一個(gè)球，抽取后不放回，若每顆球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則甲，乙，丙三人所得之球顏色互異的概率是（）A.B.C.D.思路：事務(wù)為“不放回地抽取3個(gè)球”，則，基本領(lǐng)件為甲，乙，丙拿球的各種狀況，且將這些球均視為不同元素。設(shè)所求事務(wù)“甲，乙，丙三人所得之球顏色互異”為事務(wù)，則先要從白球黑球紅球中各取一個(gè)（），再分給三個(gè)人（三個(gè)元素全排列），所以，從而答案：D例9：甲乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若或，就稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)在隨意找兩人玩這個(gè)嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“甲想乙猜的全部狀況”，則，設(shè)事務(wù)為“甲乙‘心有靈犀’”，可對甲想的數(shù)進(jìn)行分類探討：當(dāng)時(shí)，可取的值為或；當(dāng)時(shí)，，所以事務(wù)包含的基本領(lǐng)件數(shù)，所以答案：C例10：將1,2,3,4四個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入右方的方格中，每個(gè)方格中恰填一數(shù)字，但數(shù)字可重復(fù)運(yùn)用，試問時(shí)間“A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，且C方格的數(shù)字大于D方格的數(shù)字”的概率為（）A.B.C.