第九章　排列、組合、二項式定理與概率-課件

大一輪復(fù)習講義第九章

排列、組合、二項式定理與概率§9.1基本計數(shù)原理、排列與組合考試要求1.通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合

數(shù)公式.3.能解決簡單的實際問題.主干梳理基礎(chǔ)落實題型突破核心探究課時精練內(nèi)容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基礎(chǔ)落實11.基本計數(shù)原理知識梳理分類加法計數(shù)原理完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__________

種不同的方法分步乘法計數(shù)原理完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝

種不同的方法m1＋m2＋m1×m2×…×mn…＋mn名稱定義排列從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象按照

排成一列組合并成一組2.排列與組合的概念一定的順序

排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有

的個數(shù)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有

的個數(shù)公式性質(zhì)＝

，0?。絖__3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列組合n！11.在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？微思考提示

如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理.2.排列問題和組合問題的區(qū)別是什么？提示元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無關(guān)的為組合.題組一思考辨析基礎(chǔ)自測1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(

)(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)(4)若組合數(shù)公式

，則x＝m成立.(

)√××√(5)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況.也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了.(

)√題組二教材改編2.已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標，縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是A.12 B.8 C.6 D.4解析分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6，故選C.√3.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人一本，√210題組三易錯自糾5.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A.24 B.18 C.12 D.6√解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù).6.某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為____.30TIXINGTUPOHEXINTANJIU2題型突破核心探究題型一

基本計數(shù)原理及應(yīng)用自主演練1.滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為A.14 B.13 C.12 D.10√解析方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的情況應(yīng)分類討論.①當a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程一定有解.此時b的取值有4個，故此時有4個有序數(shù)對.②當a≠0時，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0時，(a，b)共有3×4＝12(個)實數(shù)對，故a≠0時滿足條件的實數(shù)對有12－3＝9(個)，所以答案應(yīng)為4＋9＝13.2.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A.24 B.18 C.12 D.9解析從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.√3.現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是A.120 B.140C.240 D.260√解析由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種).故選D.4.(2021·山東省博興縣第三中學(xué)月考)若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重數(shù)”.例如：232,114等，則不超過200的“單重數(shù)”中，從小到大排列第22個“單重數(shù)”是A.166 B.171C.181 D.188√解析由題意可得：不超過200的數(shù)，兩個數(shù)字一樣同為0時，有100,200，共2個，兩個數(shù)字一樣同為1時，有110,101,112,121,113,131，一直到191,119，共18個，兩個數(shù)字一樣同為2時，有122，共1個，同理，兩個數(shù)字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時各1個，綜上，不超過200的“單重數(shù)”共有2＋18＋8＝28(個)，其中最大的是200，較小的依次為199,191,188,181,177,171，故第22個“單重數(shù)”為171.思維升華利用基本計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標準是什么.(4)分類要做到不重不漏.題型二

排列問題與組合問題師生共研例1

(1)(2020·惠州調(diào)研)七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A.3600 B.1440 C.4820 D.4800√(2)(2020·新高考全國Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有A.120種

B.90種

C.60種

D.30種√(3)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____種.(用數(shù)字填寫答案)16(1)解排列、組合問題要遵循的兩個原則①按元素(位置)的性質(zhì)進行分類.②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置).(2)兩類含有附加條件的組合問題的方法①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.思維升華②“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，用直接法分類復(fù)雜時，可用間接法求解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有√(2)(2020·安徽省五校聯(lián)盟質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上任選3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為A.15 B.30 C.35

D.42√解析甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，故選B.(3)(2021·合肥模擬)某校有4個社團向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有3名同學(xué)，每人只選報1個社團，恰有2個社團沒有同學(xué)選報的報法有____種(用數(shù)字作答).36由分步乘法計數(shù)原理得共有12×3＝36(種)報法.題型三

排列、組合的綜合問題多維探究命題點1相鄰與相間問題例2

(1)北京APEC峰會期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有A.12種

B.24種

C.48種

D.96種√剩下1位男性領(lǐng)導(dǎo)人記作B,2位女性分別記作甲、乙；則女領(lǐng)導(dǎo)人甲必須在A，B之間，此時共有6×2＝12(種)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，∴共有12×4＝48(種)不同排法.(2)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A.72 B.120 C.144 D.168√解析安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法.命題點2分組、分配問題例3數(shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有√并在各組中選出1名組長，有34種選法，第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法.(1)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.(2)對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點①處理分配問題要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆時要注意是否均勻.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有____種.36將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，(2)將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少1本的不同分法共有______種.(用數(shù)字作答)1560解析把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2類.第一類，采用“3,1,1,1”的分法，即有1組3本，其余3組每組1本.第二類，采用“2,2,1,1”的分法，即有2組每組2本，其余2組每組1本.所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種).KESHIJINGLIAN3課時精練1.從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為A.3 B.4 C.6 D.812345678910111213141516基礎(chǔ)保分練解析以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8；以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9；把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個).√123456789101112131415162.(2021·西安模擬)將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個不同的社區(qū)服務(wù)，不同的分配方案有A.12種

B.9種C.8種

D.6種√解析每名防控新冠疫情志愿者都有兩種不同的分配方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的分配方案總數(shù)為23＝8種.123456789101112131415163.(2020·保定質(zhì)檢)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有A.4種

B.6種

C.10種

D.16種√解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式.123456789101112131415164.“中國夢”的英文翻譯為“ChinaDream”，其中China又可以簡寫為CN，從“CNDream”中取6個不同的字母排成一排，含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有A.360種

B.480種

C.600種

D.720種√解析從其他5個字母中任取4個，123456789101112131415165.(2020·昆明質(zhì)檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法√解析紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，123456789101112131415166.(多選)下列等式正確的有√√√12345678910111213141516解析A是組合數(shù)公式；B是組合數(shù)性質(zhì)；123456789101112131415167.(多選)已知x∈N*，則

的值為A.3 B.4C.7 D.11√√√因為x∈N*，所以x＝2或x＝3或x＝4.所以所求值為4或7或11.123456789101112131415168.(多選)(2021·蘇州質(zhì)檢)現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結(jié)論正確的是A.若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，則共有24種放法B.若4個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，且恰有兩個空盒的放法

共有18種C.若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，且恰有一個空盒的放法

共有144種D.若編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，沒有一個空盒但小

球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種√√√12345678910111213141516解析若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，共有44＝256(種)放法，故A錯誤；若4個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，且恰有兩個空盒，則一個盒子放3個小球，另一個盒子放1個小球或兩個盒子均放2個小球，若4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，且恰有一個空盒，則兩個盒子中各放1個小球，另一個盒子中放2個小球，12345678910111213141516若編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同，若(2,1,4,3)代表編號為1,2,3,4的盒子放入的小球編號分別為2,1,4,3，列出所有符合要求的情況：(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)共9種放法，故D正確.故選BCD.123456789101112131415169.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有____種(用數(shù)字作答).11解析把g，o，o，d,4個字母排一列，可分兩步進行，1234567891011121314151610.某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車輛均多于4輛.現(xiàn)從這個公司中抽調(diào)10輛車，并且每個車隊至少抽調(diào)1輛，那么共有_____種不同的抽調(diào)方法.8412345678910111213141516解析方法一在每個車隊抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車.方法二由于每個車隊的車輛均多于4輛，只需將10個份額分成7份.可看作將10個小球排成一排，在相互之間的9個空當中插入6個隔板，1234567891011121314151611.(2020·梅州期末)某省高考實行3＋3模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、化學(xué)、政治、歷史、生物、地理六選三，今年高一的小明與小芳進行選科，假若他們對六科沒有偏好，則他們至少有兩科相同的選法有_____種.200解析根據(jù)題意，分2種情況討論：則兩人至少有兩科相同的選法有20＋180＝200(種).1234567891011121314151612.(2020·全國Ⅱ)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有____種.36由分步乘法計數(shù)原理可得不同的安排方法共有6×6＝36(種).12345678910111213141516技能提升練13.(2020·新高考全國Ⅱ)3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個村，每個村至少1人，則不同的分配方