【作業(yè)設(shè)計】高三數(shù)學總復習微-拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)作業(yè)設(shè)計

高三數(shù)學總復習微專題一拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)作業(yè)設(shè)計

在直線與拋物線的位置關(guān)系中，高考考查的重點內(nèi)容是直線與拋物

線的相交問題，而直線與拋物線的相交問題中，過拋物線焦點的直線與

拋物線的關(guān)系尤其重要，直線過拋物線V=2px(p>o)焦點/與拋物線

相交于兩點，則弦AB稱為拋物線的焦點弦。有關(guān)拋物線的焦點弦

問題是高考考查的熱點內(nèi)容，拋物線焦點弦有很多重要性質(zhì)，熟練掌握

設(shè)計意圖這些性質(zhì)對解決焦點弦問題有很大益處，通過對這些性質(zhì)的應用，可以

很大程度上提高學生的解題能力與技巧，達到事半功倍的效果。

我設(shè)計這份拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)作業(yè)，試圖通過有效的練習作

業(yè)，讓學生理清知識脈絡(luò)，熟練應用拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)解決焦點弦

問題，避免直線與拋物線的繁瑣計算，讓學生提高解題的效率，增強解

題的信心，提高對數(shù)學學習的興趣，讓學生的復習備考更有針對性，讓

我們的教學更具實效性。

1.理解和掌握拋物線的定義，并用于解決焦點弦的相關(guān)問題；

2.理解數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想與方法；

3.經(jīng)歷分析、探求、類比、歸納猜想論證的數(shù)學探究過程，發(fā)揮數(shù)學創(chuàng)

作業(yè)目標

新的能力；

4.體驗用聯(lián)系的辨證的觀點分析、判斷和解決數(shù)學問題。

5.活用數(shù)學結(jié)論，提升數(shù)學解題能力、技巧。

1.拋物線定義：y~=2〃x(p>0)

2.通徑：\H,H2\=2p

3.焦點弦的定義：

知識梳理

直線過拋物線V=2px(p>0)焦點/與拋物線相交于A,8兩點，則弦

A3稱為拋物線的焦點弦。

4.若傾斜角為a(aH0)的直線/經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，且

與拋物線相交于4(冷乂),3(%2，%)((>%)兩點(A點在二軸上方),則

(1)焦半徑|AFkx,+2=-P—，忸F|=x,+旦=—R—o

21-COS6Z~21+cosa

⑵焦點弦長|4目二%+工2+〃=二口一，且[京+J后=2°

sina\AF\\BF\p

(3)S&OAB=-^—(0為坐標原點)。

2sina

上述結(jié)論源于教材，是教材例題、習題的深化，是破解直線與拋物線相

交有關(guān)問題的利器。

一、焦點弦長=%+%+〃的應用；

二、焦點弦長|AB|=3—的應用；

sina

三、焦半徑|4同=—R—,忸用=―2—的應用；

作業(yè)類型1-COS6Z1+COSa

四、SAOAB=的應用；

2sina

五、拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)綜合應用；

六、拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)開放性作業(yè)。

作業(yè)展示

類型一焦點弦長=%+赴+p的應用

2

1.過拋物線y=4x的焦點斜率為2的直線/與拋物線相交于A(xl,yl),B(x2,y2)兩點，求線

段的長。

2

2.過拋物線y=2px(p>0)的焦點斜率為2的直線與拋物線相交于A(X1,),B(x2,y2)兩點，

且線段A8=8,則實數(shù)〃=o

2

3.過拋物線y=2Px(p>0)焦點的直線/與拋物線相交于A(X],y)B(x2,y2)兩點，問何時

最短？并求此時的長。

4.如圖，過拋物線丁=20%(/?〉0)的焦點廠的直線交拋物線于點A,B,交其準線/于點C,

若尸是AC的中點，且|AF|=4,則線段A8的長為()

MF

A.5B.6C.-D.—

類型二焦點弦長|AB|=3—的應用

sin~a

5.已知拋物線C：y2=16x,傾斜角為工的直線/過焦點Z7交拋物線于A,B兩點、,則恒耳=

6

________O

6.斜率為仍的直線過拋物線C：V=4x的焦點，且與C交于A,B兩點、,則=________c

7.過拋物線V=4x的焦點廠的直線/與拋物線交于A,B兩點，若則等于

（）

9

A.4B，2C.5D.6

類型三焦半徑|AF|=-P—，忸F|=—R—的應用

l-cos(71+cosa

8.拋物線C：產(chǎn)=以的焦點為尸，直線/過點/且交拋物線于A,8（點A在x軸下方）兩點

若詼=3兩，則直線/的斜率攵=________o

9.過拋物線V=8x的焦點/的直線/與拋物線交于A,B兩點、,若（AF|=2|BF|,則4叫=

O

10.過拋物線y2=4x的焦點廠的直線交拋物線于46兩點，且Hn=3|8f],則直線的斜

率為（）

A.72B.小C.-V2D.一小

11.設(shè)拋物線￡：y2=6x的弦4?過焦點￡\AF\=3\BF\,過A,8分別作E的準線的垂線，

垂足分別是A',B',則四邊形AA'8'B的面積等于（）

A.4^3B.8小C.16小0.3273

2

類型四見“2sina應用

12.已知拋物線C：y2=16x,傾斜角為三的直線/過焦點/交拋物線于A,B兩點、,。為坐

6

標原點，則XNBO的面積為______o

13.設(shè)/為拋物線C：f=3x的焦點，過尸且傾斜角為30。的直線交。于A,B兩點、,0為

坐標原點，則△0A3的面積為（）

A空B幽C奐D?

a.48J32

類型五拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)綜合應用

14.已知拋物線y1=4x的焦點為F,過點尸和拋物線上一點M（2,2夜）的直線/交拋物線于

另一點N,則加口:忻閘等于（）

A.1：2B.1：3C.1：^2D.1:小

15.拋物線C：的焦點為尸，直線/過點/，其斜率心0,且交拋物線于A,B（點A在

x軸下方）兩點，拋物線的準線為m,A4i，〃z于4,83i_L加于歷，下列結(jié)論正確的是（）

A.右BF—3FA?則k—\f3|F8|—1

C.若女=1,則［AB|=2D.ZAiFBi=90°

16.已知拋物線C：V=2pxS>0）的焦點為尸，直線/的斜率為/且經(jīng)過點F,直線/與拋物

線。交于A,B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點。，若|AR=8,則以下結(jié)

論正確的是（）

A.p=4B.DF=M

C.\BD\=2\BF\D.|BF|=4

3

17.（2019?全國I卷）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F,斜率為邑的直線/與。的交點為A,

B,與龍軸的交點為P。

（1）若|AA+|BF|=4,求直線/的方程；

（2）若辦=3而，求網(wǎng)目。

類型六拋物線焦點弦相關(guān)性質(zhì)開放性作業(yè)

【結(jié)論的探索】

18.過拋物線C:=2px(p>0)焦點廠的動直線/,交拋物線于A,8兩點，拋物線的準線與

x軸交于點K,連接AK,BK,

(1)求證:sin?=tan/7

(2)求證:x軸平分

【結(jié)論的應用】

19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為產(chǎn)，準線/交x軸于點K,過尸作傾斜角為a的

直線與C交于A,B兩點，若NAK8=6(r,則sina=。

20.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為產(chǎn)，準線/交x軸于點K,過尸作傾斜角為a的

直線與C交于A,B兩點，若NAK8=90°,則sina=。

21.已知直線機：y=*》-日■與拋物線C:y?=4x交于兩點，準線/交x軸于點K,則

tanZAKB=。

1.直線與拋物線相交問題和直線與橢圓、雙曲線相交問題類似，一般要

用到根與系數(shù)的關(guān)系，這是常規(guī)解法；

2.直線與拋物線相交問題，重點關(guān)注直線是否過拋物線的焦點。如果直

線過拋物線焦點，我們就可以規(guī)避直線與拋物線的繁瑣計算，靈活應用

作業(yè)點評

焦點弦相關(guān)性質(zhì)解決焦點弦問題，提高解題效率：

3.本作業(yè)設(shè)計的拋物線都是開口向右的拋物線，所以相關(guān)的焦點弦性質(zhì)

只適用開口向右的拋物線，開口向左、向上、向下的拋物線焦點弦相關(guān)

性質(zhì)表達式不同，需要學生課后自行推導，這點必須對學生講清楚，以

免誤用；

4.通過高考真題的演練，讓學生體會靈活應用焦點弦相關(guān)性質(zhì)解決問題

的高效快捷，提高實戰(zhàn)能力；

5.通過開放性作業(yè)的設(shè)計，引導學生用運動變化的觀點來研究問題，以

訓練學生的的發(fā)散思維，學會多角度思考問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和

探索的數(shù)學精神以及嚴謹治學的科學態(tài)度。

備注作業(yè)答案

【類型一】

1.42.p=y3.當/_Lx時，為拋物線通徑最短，此時M=2p

4.C【解析】

it

如圖，設(shè)/與x軸交于點M,過點A作交/于點。，由拋物線的定義知，\AD\=\AF\

=4,由尸是AC的中點，知H￡>|=2|MF|=2p,所以2P=4,解得p=2,所以拋物線的方程

為/=4xo

設(shè)24（%],兇）,6（%2，%），則|4刊=%+~!=玉+1=4,所以蒼=3,又無「工2=￡-=1，所以/=g，

所以|=%+*2+〃=3+：+2=與。

【類型二】

5.646.—

3

7.3【解析】

不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖，設(shè)A,B在準線上的射影分別為。，C,作BEJ_A。于點

E,

設(shè)|8尸|=機，直線/的傾斜角為仇

則|AF|=2〃z,\AB\=3m,

由拋物線的定義知

\AD\=\AF\=2m,

\BC\=\BF\=m,

所以cose=22=4，所以sin2（9=1.

由y2=4x,知2P=4,

故利用弦長公式得

【類型三】

8.V39.910.BD

11.C【解析】

設(shè)直線A8的傾斜角為a,

不妨令A在x軸上方，得

|AF|=T”—=1-，—=7V^■—,

1-cosa1—cosa1+cosa1+cosa

33

由|AF|=3|BF|，得二^=3X不嬴，

解得cosa=2,

兀

因為ae[0,Ji）,所以a=1,

3

由拋物線的定義，得AM=|AF|=-------=6,

1—COS2

3

|8夕|=|8F|=-------=2,

1+cos

所以|4B1=(|AF|+|BF|)sina=8sin1=473,

于是四邊形A45B的面積S=g(|A4|+|B81HAb|=gx(6+2)X4小=16小。

【類型四】

12.6413.D

【類型五】

14.A【解析】

*1,0),忻M|=J(2一1)2+(2e一0『=3,由向+向J，得+向=|，即四|弓

所以|N同：忻M|=g:3=l:2。

15.ABD【解析】

對于A,設(shè)直線A8的傾斜角為a,由8月=3百得一巳一=3—U—,即cosa=1，

l-cos<z1+cosa2

\-0<a<7rf:.a=—,/./:=tan—=V3,A正確。

33

11?

由焦半徑公式，易知兩+市瓦=萬=1，B正確。

7T

設(shè)直線AB的傾斜角為仇?."=],.??。=不

=si,g=8，故C錯誤。

易知/BBiF=/B\FB,ZAAiF=ZA\FA,

：.AB\FB-\-ZAiM=1x180°=90°,從而NAFBi=180°—90°=90°,D正確。

16.ABC【解析】

法一，如圖，分別過點A,8作拋物線C的準線的垂線，垂足分別為點E,M,連接EF.設(shè)

拋物線C的準線交光軸于點P,則|P/H=p,由直線/的斜率為小，可得其傾斜角為60?！?1七〃九

軸，.?.NEAF=60。.由拋物線的定義可知，\AE\=\AF\,貝為等邊三角形，/.ZPEF

=30°,Z.\AF\=\EF\=2\PF\=2p=S,得p=4,A正確。

法二，由直線/的斜率為小，可得其傾斜角為60。，代入|AF|=―巳一得8=—J7,

111-cosa1-cos60°

即〃=4。

V|AE|=2|PF|,PF//AE,；.尸為的中點,則布=成，B正確。

又NZME=60°,/.ZADE=30°,

\BD\=2\BM\=2\BF\，C正確。

[18

由C選項知|8用=司。月=胡4月=§,D錯誤.故選ABC。

17.【解析】

設(shè)直線/的方程為4（%,%）,8（孫％）。

⑴由題設(shè)得用，0），故|AF|+忸川=%+々+，

又|AF|+|BFl=4,所以％+%2=g。

由f2可得9『+