2024年中考數(shù)學真題分類匯編（全國）（第一期）專題23 圓的有關(guān)位置關(guān)系（36題）（解析版）

專題23圓的有關(guān)位置關(guān)系（36題）一、單選題1．（2024·福建·中考真題）如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，為的中點，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．2．（2024·上海·中考真題）在中，，，，點在內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓含在圓內(nèi)，即，在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運動，如圖所示：當?shù)轿恢脮r，圓與圓圓心距離最大，為，，圓與圓相交，故選：B．3．（2024·河南·中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形的外接圓，點D是的中點，連接，．以點D為圓心，的長為半徑在內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過D作于E，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出，利用弧、弦的關(guān)系證明，利用三線合一性質(zhì)求出，，在中，利用正弦定義求出，最后利用扇形面積公式求解即可．【詳解】解∶過D作于E，∵是邊長為的等邊三角形的外接圓，∴，，，∴，∵點D是的中點，∴，∴，∴，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直角三角形等知識，靈活應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，，是的切線，切點為A，D，點B，C在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，由得，由切線長定理得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，即，∴，∵，是的切線，根據(jù)切線長定理得，∴，∴，∴．故選：C．二、填空題5．（2024·浙江·中考真題）如圖，是的直徑，與相切，A為切點，連接．已知，則的度數(shù)為

【答案】/40度【分析】本題考查切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵與相切，∴，又∵，∴，故答案為：．6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點在四邊形內(nèi)部，過點作的切線交的延長線于點，連接．若，，則的度數(shù)為．【答案】/105度【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，連接，利用等邊對等角得出，，利用切線的性質(zhì)可求出，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶連接，∵，，∴，，∵是切線，∴，即，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：．7．（2024·天津·中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為的網(wǎng)格中，點，，均在格點上．

（1）線段的長為；（2）點在水平網(wǎng)格線上，過點，，作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點作切線，分別與，的延長線相交于點，，中，點在邊上，點在邊上，點在邊上．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，，，使的周長最短，并簡要說明點，，的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】圖見解析，說明見解析【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理即可求解；（2）作點關(guān)于、的對稱點、，連接、，分別與、相交于點、，的周長等于的長，等腰三角形的腰長為，當?shù)闹底钚r，的值最小，此時是切點，由此作圖即可．【詳解】（1）由勾股定理可知，，故答案為：（2）如圖，根據(jù)題意，切點為；連接并延長，與網(wǎng)格線相交于點；取圓與網(wǎng)格線的交點和格點，連接并延長，與網(wǎng)格線相交于點；連接，分別與，相交于點，，則點，，即為所求．

8．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點A是上的定點，于點B，點C、D分別是、上的動點，且滿足，連接交線段于點E，于點H，則當最大時，的值為．【答案】【分析】證明，得出，根據(jù)，得出，說明點H在以為直徑的圓上運動，取線段的中點O，以點O為圓心，為半徑畫圓，則點在上運動，說明當與相切時最大，得出，根據(jù)，利用，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵兩條平行線、，點A是上的定點，于點B，∴點B為定點，的長度為定值，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴點H在以為直徑的圓上運動，如圖，取線段的中點O，以點O為圓心，為半徑畫圓，則點在上運動，∴當與相切時最大，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是確定點H的運動軌跡．9．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為【答案】【分析】記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當最小時，最小，點P與點K重合，此時最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結(jié)果．【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接，當，，當，即，解得：，即；而，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵與相切，∴，∴，∵，∴當最小時即最小，∴當時，取得最小值，即點P與點K重合，此時最小值為，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值為．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在中，，，．E為邊的中點，F(xiàn)為邊上的一動點，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，由折疊性質(zhì)得到，進而得到點在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時到邊的距離最短，最小值為的長，即此時面積的最小，過C作于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到，故只需利用銳角三角函數(shù)求得即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，，則，∵E為邊的中點，∴，∵沿翻折得，∴，∴點在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時到邊的距離最短，最小值為的長，即面積的最小，過C作于N，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴面積的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強的填空壓軸題，得到點的運動路線是解答的關(guān)鍵．三、解答題11．（2024·廣東·中考真題）如圖，在中，．

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作的平分線交于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，長為半徑作．求證：與相切．【答案】(1)見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識．熟練上述知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，由是半徑，，可證與相切．【詳解】（1）解：如圖1，即為所作；

（2）證明：如圖2，作于，

∵是的平分線，，，∴，∵是半徑，，∴與相切．12．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，延長，交于點，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進一步求出【詳解】（1）證明：連接，延長，交于點，連接如圖，∵∴是等腰直角三角形，∴∵是的直徑，∴∴∴∴∵∴即∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在等腰直角三角形中，,∴，解得，，∴，∴在中，∴，又，∴∴∴∴【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵．13．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的直徑，是的中點，過點作的垂線，垂足為點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】+（1）分別證明，，從而可得結(jié)論；（2）連接，證明，可得，再進一步可得結(jié)論；（3）連接、，證明四邊形是矩形，可得，再證明，可得，可得，利用可得答案.【詳解】（1）證明：∵是的直徑∴，又∵，∴，∴，∵是的中點，∴，∴，∴；（2）證明：連接

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（3）解：連接、

∵是的直徑，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵是半徑，是的中點，∴，，即，∵，∴，∴，∴，∴【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定及扇形的面積公式，熟練地掌握相似三角形的判定和切線的判定是解決本題的關(guān)鍵。14．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點C在以為直徑的上，過點C作的切線l，過點A作，垂足為D，連接．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)題意得，，利用等量代換確定，再由相似三角形的判定即可證明；（2）先由勾股定理確定，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵是的切線，點C在以為直徑的上，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得，∴即，∴，∴的半徑為．15．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，平分交于點，過點的直線，交的延長線于點，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)連接并延長，分別交于兩點，交于點，若的半徑為，求的值．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可證明；（2）連接，先解，求得，，則，，可證明，由，得，故，證明，即可得到．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，即，∵是的半徑∴是的切線；（2）解：連接，∵，∴在中，，由勾股定理得：∴，∵在中，，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，點I為的內(nèi)心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；(3)若，，求的周長．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)30【分析】（1）利用圓周角定理得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求，然后利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可；（2）連接，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，，，然后利用圓周角定理得到，，利用三角形的外角性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊可得結(jié)論；（3）過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和和切線長定理得到，，，利用解直角三角形求得，，進而可求解．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，又，∴，∵四邊形是內(nèi)接四邊形，∴，∴；（2）解：，證明：連接，∵點I為的內(nèi)心，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）解：過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，∵點I為的內(nèi)心，即為的內(nèi)切圓的圓心．∴Q、F、P分別為該內(nèi)切圓與三邊的切點，∴，，，∵，，，∴，∵，，，∴，∴的周長為．【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．17．（2024·甘肅·中考真題）如圖，是的直徑，，點E在的延長線上，且．(1)求證：是的切線；(2)當?shù)陌霃綖?，時，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，證明垂直平分，得出，證明，得出，說明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)是的直徑，得出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角函數(shù)定義求出，證明，得出即可．【詳解】（1）證明：連接，，如圖所示：∵，∴，∵，∴點O、B在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴是的切線；（2）解：∵的半徑為2，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．18．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知是的直徑，點C，D在上，且．點E是線段延長線上一點，連接并延長交射線于點F．的平分線交射線于點H，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角平分線的定義得到是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到，然后根據(jù)角平分線的定義得到，然后得到即可證明切線；（2）設(shè)的半徑為，根據(jù)，可以求出，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，則，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，∵，即，解得，∴，，又∵∴，∴，即，解得．19．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與相切于點A，是的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側(cè)，連接，分別與交于點E，F(xiàn)，連接．(1)求證：；(2)若的半徑，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）利用切線和直徑的性質(zhì)求得，再利用等角的余角相等即可證明；（2）先求得，，證明和是等腰直角三角形，求得的長，再證明，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵直線l與相切于點A，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵直線l與相切于點A，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵是的直徑，∴，∴也是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（2024·湖北·中考真題）中，，點在上，以為半徑的圓交于點，交于點．且．(1)求證：是的切線．(2)連接交于點，若，求弧的長．【答案】(1)見解析(2)弧的長為．【分析】（1）利用證明，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理列式計算求得，求得，再求得，利用弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，在和中，，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，設(shè)的半徑為，在中，，即，解得，∴，，，∴，∵，∴，∴弧的長為．【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．21．（2024·貴州·中考真題）如圖，為半圓O的直徑，點F在半圓上，點P在的延長線上，與半圓相切于點C，與的延長線相交于點D，與相交于點E，．(1)寫出圖中一個與相等的角：______；(2)求證：；(3)若，，求的長．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【分析】（1）利用等邊對等角可得出，即可求解；（2）連接，利用切線的性質(zhì)可得出，利用等邊對等角和對頂角的性質(zhì)可得出，等量代換得出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可得證；（3）設(shè)，則可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：（答案不唯一）；（2）證明：連接，，∵是切線，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：設(shè)，則，∴，，∴，在中，，∴，解得，（舍去）∴，，，∵，∴，解得，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用等知識，靈活運用以上知識是解題的關(guān)鍵．22．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，直線經(jīng)過點C，且，．(1)求證：直線是的切線；(2)若圓的半徑為4，，求陰影部分的面積．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理、扇形面積的計算等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證得，利用切線的判定定理即可得到答案；（2）在中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，，再根據(jù)，計算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵在中，，，∴，又∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：由（1）知，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，．23．（2024·天津·中考真題）已知中，為的弦，直線與相切于點．(1)如圖①，若，直徑與相交于點，求和的大??；(2)如圖②，若，垂足為與相交于點，求線段的長．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角得到，然后利用三角形的內(nèi)角和得到，然后利用平行線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理解題即可；（2）連接，求出，再在中運用三角函數(shù)解題即可．【詳解】（1）為的弦，．得．中，，又，．直線與相切于點為的直徑，．即．又，．在中，．，．（2）如圖，連接．∵直線?與??相切于點?，∴∵∴．，得．在中，由，得．．在中，，．24．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，過點C作的切線交延長線于點D，點E為上一點，且．(1)求證：；(2)若垂直平分，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖1，連接．則，即．由為直徑，可得，即．則．由，可得．由，可得．則．進而可證．（2）如圖2，連接．由垂直平分，可得．則為等邊三角形．，．由，可得．由，可得．．證明為等邊三角形．則，．．則．．．．，再根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接．

圖1∵為的切線，∴，即．又∵為直徑，∴，即．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：如圖2，連接．

圖2∵垂直平分，∴．又∵，∴為等邊三角形．∴，．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∵，∴為等邊三角形．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正弦，扇形面積等知識．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，D為中點，，，是的外接圓．(1)求的長；(2)求的半徑．【答案】(1)(2)的半徑為【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理．（1）易證，得到，即可解答；（2）過點A作，垂足為E，連接，并延長交于F，連接，在中，通過解直角三角形得到，，由得到．設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，求得，，由得到，根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】（1）解：，，．，即，D為AB中點，，∴．（2）解：過點A作，垂足為E，連接，并延長交于F，連接，在中，．又，．∴在中，．，．設(shè)，則，．∵在中，，，即，解得，（舍去）．，．∵，．為的直徑，．．，即的半徑為．26．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與相切于點，為的直徑，過點作于點，延長交直線于點．(1)求證：平分；(2)如果，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出，結(jié)合題意可證，即得出，再根據(jù)等邊對等角可得出，即得出，即平分；（2）設(shè)的半徑為r，則，．再根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于r的等式，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵直線與相切于點，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，即平分；（2）解：設(shè)的半徑為r，則，．在中，，∴，解得：，∴的半徑為4．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓半徑相等，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．27．（2024·廣西·中考真題）如圖，已知是的外接圓，．點D，E分別是，的中點，連接并延長至點F，使，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：與相切；(3)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）先證明，，再證明，可得，，再進一步解答即可；（2）如圖，連接，證明，可得過圓心，結(jié)合，證明，從而可得結(jié)論；（3）如圖，過作于，連接，設(shè)，則，可得，求解，可得，求解，設(shè)半徑為，可得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵點D，E分別是，的中點，∴，，又∵，，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接，∵，為中點，∴，∴過圓心，∵，∴，而為半徑，∴為的切線；（3）解：如圖，過作于，連接，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)半徑為，∴，∴，解得：，∴的半徑為．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．28．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，于點D，將沿所在的直線翻折，得到，點D的對應(yīng)點為E，延長交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由折疊的性質(zhì)得，，再證明，推出，據(jù)此即可證明是的切線；（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵沿直線翻折得到，∴，，∵是的半徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴于點C，又∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，由（1）得，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解直角三角形．充分運用圓的性質(zhì)，綜合三角函數(shù)相關(guān)概念，求得線段長度是解題的關(guān)鍵．29．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，為等腰三角形，是底邊的中點，腰與半圓相切于點，底邊與半圓交于，兩點．(1)求證：與半圓相切；(2)連接．若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）連接、，作交于，根據(jù)等腰三角形三線合一可知，，平分，結(jié)合與半圓相切于點，可推出，得證；（2）由題意可得出，根據(jù)，在中利用勾股定理可求得的長度，從而得到的長度，最后根據(jù)即可求得答案．【詳解】（1）證明：連接、，作交于，如圖為等腰三角形，是底邊的中點，平分與半圓相切于點由是半圓的切線（2）解：由（1）可知，，，又，在中，，，解得：30．（2024·北京·中考真題）如圖，是的直徑，點，在上，平分.

(1)求證：；(2)延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得，結(jié)合，得到，繼而得到，根據(jù)平分，得到，繼而得到，可證；（2）不妨設(shè)，則，求得，證明，，求得，取的中點M，連接，則，求得，，結(jié)合切線性質(zhì)，得到，解答即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長為.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.31．（2024·湖南·中考真題）【問題背景】已知點A是半徑為r的上的定點，連接，將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點A作的切線l，在直線l上取點C，使得為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當時，；【問題探究】（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點E，連接，對角線，相交于點F．①如圖2，當時，求證：無論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：②如圖3，當，時，請補全圖形，并求及的值．【答案】（1）；①證明見解析；②補全圖形見解析，，【分析】（1）可證是等邊三角形，則，由直線l是的切線，得到，故；（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)證明，則，而，由，得到；②過點O作于點G，于點H，在中，先證明點E在線段上，，由等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)互余關(guān)系可得，可求，解，求得，可證明，故在中，．【詳解】解：（1）由題意得，∵，∴是等邊三角形，∴，∵直線l是的切線，∴，∴，故答案為：；（2）①如圖：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴；②補全圖形如圖：過點O作于點G，于點H，在中，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴，∴點E在線段上，∴在，，∵，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴設(shè)，∴由勾股定理得，∴，∴在中，∵四邊形是矩形，∴，∴，而，∴，∴在中，．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．32．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖1，是正方形對角線上一點，以為圓心，長為半徑的與相切于點，與相交于點．(1)求證：與相切．(2)若正方形的邊長為，求的半徑．(3)如圖2，在（2）的條件下，若點是半徑上的一個動點，過點作交于點．當時，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）方法一：連接，過點作于點，四邊形是正方形，是正方形的對角線，得出，進而可得為的半徑，又，即可得證；方法二：連接，過點作于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明得出，同方法一即可得證；方法三：過點作于點，連接．得出四邊形為正方形，則，同方法一即可得證；（2）根據(jù)與相切于點，得出，由（1）可知，設(shè)，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，進而根據(jù)建立方程，解方程，即可求解．（3）方法一：連接，設(shè)，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，結(jié)合題意得出，即可得出；方法二：連接，證明得出，進而可得，同理可得方法三：連接，證明得出，設(shè)，則，進而可得，進而同方法一，即可求解．【詳解】（1）方法一：證明：連接，過點作于點，與相切于點，．四邊形是正方形，是正方形的對角線，，，為的半徑，為的半徑，，與相切．方法二：證明：連接，過點作于點，與相切于點，，，四邊形是正方形，，又，，，為的半徑，為的半徑，，與相切．方法三：證明：過點作于點，連接．與相切，為半徑，，，，，又四邊形為正方形，，四邊形為矩形，又為正方形的對角線，，，矩形為正方形，．又為的半徑，為的半徑，又，與相切．（2）解：為正方形的對角線，，與相切于點，，由（1）可知，設(shè)，在中，，，，，又正方形的邊長為．在中，，，，．∴的半徑為．（3）方法一：解：連接，設(shè)，，，，．在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，又，．．方法二：解：連接，為的直徑，，，，，，，，，，，，，，．方法三：解：連接，為的直徑，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，．又，，．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點，給出如下定義：若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點是弦的“可及點”．(1)如圖，點，．①在點，，中，點___________是弦的“可及點”，其中____________；②若點是弦的“可及點”，則點的橫坐標的最大值為__________；(2)已知是直線上一點，且存在的弦，使得點是弦的“可及點”．記點的橫坐標為，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，45；②(2)或【分析】（1）由相對運動理解，作出關(guān)于的對稱圓，若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點是弦的“可及點”，則點C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，先求得，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判斷方法分別判斷即可得出在上，故符合題意，根據(jù)圓周角定理即可求解；②取中點為H，連接，可確定點D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運動（不包括端點A、B），當軸時，點D橫坐標最大，可求，故點的橫坐標的最大值為；（2）反過來思考，由相對運動理解，作出關(guān)于的對稱圓，故點P需要在的圓內(nèi)或圓上，作出的外接圓，連接，則點P在以為圓心，為半徑的上運動（不包括端點M、N），可求，隨著的增大，會越來越靠近，當點與點重合時，點P在上，即為臨界狀態(tài)，此時最大，，由，故當最大，時，此時為等邊三角形，此時，故當，的最大值為2，設(shè)，則，解得：，可求直線與交于點，，故t的取值范圍是或．【詳解】（1）解：①：反過來思考，由相對運動理解，作出關(guān)于的對稱圓，∵若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點是弦的“可及點”，∴點C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，∵點，，∴，而，∴,由對稱得：，∴為等腰直角三角形，∴,設(shè)半徑為，則,故在外，不符合題意；，故在上，符合題意；，故在外，不符合題意，∴點是弦的“可及點”，可知三點共線，∵，∴，故答案為：，45；②取中點為H，連接，∵，∴，∴點D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運動（不包括端點A、B），∴當點軸時，點D橫坐標最大，∵，，∴，∴，∵點，，∴，∴此時，∴點的橫坐標的最大值為，故答案為：；（2）解：反過來思考，由相對運動理解，作出關(guān)于的對稱圓，∵若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點是弦的“可及點”，∴點C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，故點P需要在的圓內(nèi)或圓上，作出的外接圓，連接，∴點P在以為圓心，為半徑的上運動（不包括端點M、N），∴，∴，由對稱得點在的垂直平分線上，∵的外接圓為，∴點也在的垂直平分線上，記與交于點Q，∴，∴，隨著的增大，會越來越靠近，當點與點重合時，點P在上，即為臨界狀態(tài)，此時最大，，連接，∵，∴當最大,時，此時為等邊三角形，由上述過程知∴，∴當，的最大值為2，設(shè)，則，解得：，而記直線與交于，與y軸交于點K，過點S作軸，當，當時，，解得，∴與x軸交于點，∴，而∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴t的取值范圍是或．【點睛】本題考查了新定義，軸對稱變換，點與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，解直角三角形，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，已知兩點求距離等知識點，正確添加輔助線，找到臨界狀態(tài)情況是解題的關(guān)鍵．34．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形中，．點在射線上運動（不與點，點重合），關(guān)于的軸對稱圖形為．(1)當時，試判斷線段和線段的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，為的外接圓，設(shè)的半徑為．①求的取值范圍；②連接，直線能否與相切？如果能，求的長度；如果不能，請說明理由．【答案】(1)，(2)①且；②能，【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①如圖，設(shè)的外接圓為，連接交于．連接，，，，證明為等邊三角形，共圓，，在上，，過作于，當時，最小，則最小，再進一步可得答案；②如圖，以為圓心，為半徑畫圓，可得在上，延長與交于，連接，證明，可得，為等邊三角形，證明，可得：，，過作于，再進一步可得答案．【詳解】（1）解：，；理由如下：∵在菱形中，，∴，，∵，∴，∴，由對折可得：，∴；（2）解：①如圖，設(shè)的外接圓為，連接交于．連接，，，，∵四邊形為菱形，，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴共圓，，在上，∵，∴，過作于，∴，，∴，當時，最小，則最小，∵，，∴，∴；點E不與B、C重合，，且，∴的取值范圍為且；②能為