2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【課件】

第二章一元二次方程*5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01課前預(yù)習(xí)

－

p

q

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02課前導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的根與系數(shù)

a，b，c之間還有其他關(guān)系嗎？2.如何用判別式來判斷一元二次方程根的情況？對于一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)，其判別式

Δ=b2

-4ac.當(dāng)

Δ

＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

Δ=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

Δ

＜0時，方程無實(shí)數(shù)根.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系算一算

解下列方程并完成填空：(1)x2

+3x-4=0；(2)x2

-

5x+6=0；(3)2x2

+3x+1=0.一元二次方程兩

根關(guān)系x1x2x2

+3x-4=0x2

-

5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2

=-3x1·x2

=-4x1

+x2

=5x1·x2=6將二次項(xiàng)系數(shù)化為1猜一猜

（1）一元二次方程

(x-

x1)(x-

x2)=0(x1，x2

為已知數(shù))的兩根是什么？若將此方程化為

x2

+px+q=0的形式，你能看出

x1，x2

與

p，q之間的關(guān)系嗎？重要發(fā)現(xiàn)方程

x2

+px+q=0的兩根

x1，x2

滿足上面兩個關(guān)系式(x-

x1)(x-

x2)=0x2

-

(x1

+x2)x+x1·x2

=0x2

+px+q=0x1+x2=-p，

x1·x2=q猜一猜（2）通過前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的兩根分別是

x1，x2，那么，你可以得到什么結(jié)論？證一證：注：b2

-4ac≥0↗一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

如果

ax2

+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)數(shù)根為

x1，x2，那么注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2

-4ac≥0.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)九年級上冊BS版03典例講練

（1）已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一個根是2，則

另一個根是

?.－3

【解析】（方法一）把x＝2代入原方程，得4＋2－a＝0.解得a＝6.則原方程為x2＋x－6＝0.因式分解，得（x－2）（x＋3）＝0.解得x1＝2，x2＝－3.故答案為－3.（方法二）設(shè)另一個根為m.由根與系數(shù)的關(guān)系，得m＋2＝－1.∴m＝－3.故答案為－3.【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，既可以用方

程的根的意義來解答，也可以用根與系數(shù)的關(guān)系來解答.一般

地，第二種方法更為簡捷.（2）已知方程x2－2x＋m＝0的兩根分別為3和n，則m＋n的

值為

?.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得3＋n＝2，3n＝m.解得n＝－1，m＝－3.則m＋n＝－4.故答案為－4.－4

1.若4和8是方程x2＋mx＋n＝0的兩個根，則m－n的值為

（

B

）A.－20B.－44C.20D.442.若關(guān)于x的方程2x2＋mx－4＝0的一個根為1，則另一個根

為

?.B－2

已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的兩個根，不解方程，求下列

代數(shù)式的值：

解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－2.

（2）（x1－3）（x2－3）＝x1x2－3x1－3x2＋9＝x1x2－3（x1＋

x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2.【點(diǎn)撥】小題中x1，x2的地位是“對稱的”，這樣的式子一般

用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系就可以解決.

解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得α＋β＝3，αβ＝－1.

（3）α2－α＋2β.（3）∵α方程是x2－3x－1＝0的一個根，∴α2－3α－1＝0.∴α2＝3α＋1.∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.

已知關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2兩個實(shí)數(shù)根.（1）若x1＝1，求x2及m的值.

解：（1）根據(jù)題意，得Δ＝（－6）2－4（2m－1）≥0.解得m≤5.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1.∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1.∴x2＝5，m＝3.

【點(diǎn)撥】解決第（2）問需要注意的兩個地方：①得到的關(guān)于m

的方程是分式方程，需要檢驗(yàn)是否有增根；②由于方程的系數(shù)

中有參數(shù)m