農(nóng)業(yè)大學(xué)教案

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教案（章節(jié)備課）

學(xué)時(shí)：16

章節(jié)第四章積分

1.理解定積分的概念并掌握基本性質(zhì)及幾何意義；

2.理解微積分第一基本定理掌握積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)公式；掌握微積分第二基

本定理；

教學(xué)目的3.正確運(yùn)用兩類換元法及分部積分法計(jì)算不定積分及定積分；

和要求

4.掌握換元法在定積分證明題上的應(yīng)用；

5.掌握幾種特殊類型函數(shù)的積分方法；

6.掌握兩類反常積分的計(jì)算；

7.理解微元法的基本思想并掌握定積分的幾何應(yīng)用.

重點(diǎn)：1.定積分的概念；

2.微積分第一基本定理、積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式及微積分第二基本定理；

3.不定積分、定積分的計(jì)算；

重點(diǎn)和4.微元法的基本思想及定積分的幾何應(yīng)用.

難點(diǎn)

難點(diǎn)：1.積分上下限函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)的綜合題；

2.兩類換元法及分部積分法計(jì)算不定積分、定積分；

3.換元法在定積分證明題上的應(yīng)用；

教學(xué)內(nèi)容（14學(xué)時(shí)）：

§4.1定積分概念（2學(xué)時(shí)）；

§4.2微積分基本定理（4學(xué)時(shí)）；

教學(xué)內(nèi)容與

學(xué)時(shí)分配§4.3基本積分法（4學(xué)時(shí)）；

§4.4反常積分（2學(xué)時(shí)）；

§4.5定積分的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）；

期中考試（2學(xué)時(shí)）.

教學(xué)方法與教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)、討論和練習(xí)。

教學(xué)手段

教學(xué)手段：板書(shū)

備注講完此章后2學(xué)時(shí)用于進(jìn)行期中考試

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.1定積分概念

1.正確理解和掌握定積分的概念、幾何意義

教學(xué)目的

和要求2.掌握定積分的基本性質(zhì)并能正確地運(yùn)用

3.培養(yǎng)學(xué)生歸納抽象的能力和理論聯(lián)系實(shí)際的觀念

重點(diǎn)：1.定積分的概念和性質(zhì)

重點(diǎn)和難點(diǎn)難點(diǎn)：1.利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分

2.用定積分表示極限

教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)和練習(xí)。

教學(xué)方法與

教學(xué)手段教學(xué)手段：板書(shū)。在講解求曲邊梯形的面積及利用幾何意義求定積分時(shí)在板書(shū)過(guò)

程中注意從圖形上直觀解釋。

1、教學(xué)內(nèi)容

一、引例

二、定積分概念

三、定積分的幾何意義和物理意義

四、定積分的基本性質(zhì)

教學(xué)內(nèi)容

與要點(diǎn)

2、講授要點(diǎn)

首先通過(guò)講解兩個(gè)引例：1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程引出定積

分的概念。注意結(jié)合圖形把抽象的概念直觀化，幫助學(xué)生理解。并通過(guò)例題講解

如何利用定積分表示極限。然后結(jié)合概念給出定積分的幾何意義和物理意義，并

通過(guò)例題講解如何利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分。最后結(jié)合證明講解定積分

的基本性質(zhì)，并通過(guò)例題對(duì)性質(zhì)如何進(jìn)行應(yīng)用進(jìn)行說(shuō)明。

§4.1定積分概念

一、引例

1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

S=粵方/(玉)必§=甄t

z=li=l

注：注意從圖形上進(jìn)行直觀解釋

二、定積分概念

fbg

1.定義：Jf{x}dx=W,

2.定義的補(bǔ)充說(shuō)明：

例題1.用定積分表示lim，sin—+sin—++sin—~DE

教學(xué)進(jìn)程isn\_nnnJ

三、定積分的幾何意義和物理意義

1.幾何意義：它是介于x軸、函數(shù)/(%)的圖形及兩條直線尤=a,x=A之間的各

部分的面積代數(shù)和，在x軸上方的取正號(hào)，在x軸下方的取負(fù)號(hào)

例題2.利用幾何意義求￡xdx

2.物理意義：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

四、定積分的基本性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容：

注：對(duì)有些性質(zhì)加以證明，并通過(guò)幾何意義進(jìn)行解釋

例題3.比較積分「eeZx和「\心值的大小

JoJo

71?

例題4.估計(jì)積分「吧功的值

4X

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1253、4(1)、5(2)、6(1)

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.2微積分基本定理

1.理解微積分第一基本定理

教學(xué)目的

和要求2.掌握各種形式的積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)公式

3.能夠結(jié)合積分上限函數(shù)求導(dǎo)解決一些綜合性題目

重點(diǎn)：1.微積分第一基本定理

2.積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)

重點(diǎn)和難點(diǎn)

難點(diǎn)：1.積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題

2.積分上限函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)的綜合題

教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)和練習(xí)。

教學(xué)方法與

教學(xué)手段

教學(xué)手段：板書(shū)。

1、教學(xué)內(nèi)容

一、微積分第一基本定理

2、講授要點(diǎn)

教學(xué)內(nèi)容首先通過(guò)講解積分上限函數(shù)引出微積分第一基本定理，揭示了微分與積分之

與要點(diǎn)

間的內(nèi)在聯(lián)系，并針對(duì)于積分上下限函數(shù)的各種不同形式給出相應(yīng)的求導(dǎo)公式，

并結(jié)合例題說(shuō)明此知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)的一些綜合應(yīng)用。

§4.2微積分基本定理

一、微積分第一基本定理

1.積分上限函數(shù)

定義：(p{x)=[<x<b)

Ja

注：對(duì)積分上限函數(shù)形式進(jìn)行解釋說(shuō)明

2.微積分第一基本定理

定理內(nèi)容：

注：對(duì)定理內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單證明，揭示微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系

3.積分上限函數(shù)的求導(dǎo)

不同形式下的求導(dǎo)公式：右]=—/(X),

教學(xué)進(jìn)程⑺力=/[9(切9(乃,[j；J⑺力=-f[(p(x)](p(x),

[C于⑦出=f[<pM]0(x)-f[〃(切〃(x),

例題1.lim-J——.

f

例題2.設(shè)/(X)在(一8,+8)內(nèi)連續(xù)，且/(X)>0.證明函數(shù)F(x)='------在

L/⑺力

*1)

(0,+8)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).

例題3.設(shè)/(x)在[0,1]上連續(xù)，且.證明2x—⑺力=1在[0,1]上

只有一個(gè)根.

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1352⑵(3)、3、4、

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.2微積分基本定理

1.理解微積分第一基本定理

教學(xué)目的

和要求2.掌握各種形式的積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)公式

3.能夠結(jié)合積分上限函數(shù)求導(dǎo)解決一些綜合性題目

重點(diǎn)：1.微積分第一基本定理

2.積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)

重點(diǎn)和難點(diǎn)

難點(diǎn)：1.積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題

2.積分上限函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)的綜合題

教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)和練習(xí)。

教學(xué)方法與

教學(xué)手段

教學(xué)手段：板書(shū)。

1、教學(xué)內(nèi)容

一、微積分第一基本定理

2、講授要點(diǎn)

教學(xué)內(nèi)容首先通過(guò)講解積分上限函數(shù)引出微積分第一基本定理，揭示了微分與積分之

與要點(diǎn)

間的內(nèi)在聯(lián)系，并針對(duì)于積分上下限函數(shù)的各種不同形式給出相應(yīng)的求導(dǎo)公式，

并結(jié)合例題說(shuō)明此知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)的一些綜合應(yīng)用。

§4.2微積分基本定理

一、微積分第一基本定理

1.積分上限函數(shù)

定義：(p{x)=[<x<b)

Ja

注：對(duì)積分上限函數(shù)形式進(jìn)行解釋說(shuō)明

2.微積分第一基本定理

定理內(nèi)容：

注：對(duì)定理內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單證明，揭示微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系

3.積分上限函數(shù)的求導(dǎo)

不同形式下的求導(dǎo)公式：右]=—/(X),

教學(xué)進(jìn)程

⑺力=/[9(切9(乃,[j；J⑺力=-f[(p(x)](p(x),

[C于⑦出=f[<pM]0(x)-f[〃(切〃(x),

例題1.lim-J——.

f

例題2.設(shè)/(X)在(一8,+8)內(nèi)連續(xù)，且/(X)>0.證明函數(shù)F(x)='------在

L/⑺力

*1)

(0,+8)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).

例題3.設(shè)/(x)在[0,1]上連續(xù)，且.證明2x—⑺力=1在[0,1]上

只有一個(gè)根.

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1352⑵(3)、3、4、

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.3基本積分法

1.能夠掌握兩類換元法的基本思想和公式

教學(xué)目的2.正確運(yùn)用兩類換元法求不定積分及定積分

和要求

3.掌握換元法在定積分證明題上的應(yīng)用

4.培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力。

重點(diǎn)：1.兩類換元法的思想和公式

2.用兩類換元法計(jì)算不定積分及定積分

重點(diǎn)和難點(diǎn)

難點(diǎn)：1.掌握兩類換元法的常用方法和技巧

2.換元法在定積分證明題上的應(yīng)用

教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)，因涉及變換方法靈活需較多引入例題。

教學(xué)方法與

教學(xué)手段

教學(xué)手段：板書(shū)。

1、教學(xué)內(nèi)容

一、換元積分法

2、講授要點(diǎn)

教學(xué)內(nèi)容首先由一個(gè)簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)合積分與微分的關(guān)系引出不定積分第

與要點(diǎn)

一類換元積分法（湊微分法），給出相應(yīng)的變換公式及具體的操作步驟，然后通過(guò)

例題加以說(shuō)明解釋，并通過(guò)例題體現(xiàn)其變換靈活的特點(diǎn)。給出不定積分第二類換

元法的變換公式及具體的操作步驟后，比較說(shuō)明此類換元法與第一類換元法針對(duì)

對(duì)象的不同，重點(diǎn)講解其三種變換形式。最后說(shuō)明兩種換元法在定積分計(jì)算上的

應(yīng)用及用換元法做關(guān)于定積分的證明題。

§4.3基本積分法

一、換元積分法

1.第一類換元積分法(湊微分法)

引例：(sin2x)'=2cos2x,J2cos2xdxq~~Jcosudu=sin2c+C

公式：J/S(x)]"(x)dx=[Jf(u)du]u=^x)=F[(/)(x)]+C

具體步驟：jg(x)tZx=Jf[(/)(x)](/>'(x)dx=[j/(")如=g)=F(M)+C=F[^(X)]+C.

2.例題練習(xí)

例1.dx.例2.I*dx；例3.j-----dx(〃>0)

」3+2xJx(l+21nx)J廬了

J￡+fJi+cosxJl+「

3.第二類換元積分法

公式：jf(x)dx=[J/匕⑺]〃'⑺必]=/⑴

教學(xué)進(jìn)程

2

常用的三角代換：(1)Ja2-x1,X=asint;(2),x-atant;

(3)6—a1,;c=asec].

例7J1r/r、rn.,1

例8..i-----UA；ivyJ.[7dx；

yjx2+a2X4V77TJ%(『+2)

4.定積分的情形

換元公式：\f^dx=f/[(力⑺M(t)dt

JaJa

*4a

例10.2cos5xsmxdx；例11.J4i2-x2dx；例12.Vsin3x-sin5xdx

Jo0

0

例13.7(%)在上連續(xù),

①“X)為偶函數(shù),則[f(x)dx=2\f(x)dx；

J-aJ。

②/(X)為奇函數(shù)，則|f(x)dx=0.

-a

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1571(雙號(hào)題)、2(單號(hào)題)、4(雙號(hào)題)5(3)(5)、6(2)(4)

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.3基本積分法

1.正確理解和掌握分部積分法的公式

教學(xué)目的

和要求2.掌握幾種特殊類型函數(shù)的積分方法

3.能夠綜合運(yùn)用各種方法求積分

重點(diǎn)：L分部積分法的公式和應(yīng)用

2.有理函數(shù)三角有理函數(shù)的積分方法

重點(diǎn)和難點(diǎn)

難點(diǎn)：L分部積分公式中u及V的正確選擇

2.有理函數(shù)中真分式的拆分

3.綜合運(yùn)用各種方法求積分

教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)，因涉及變換方法靈活需較多引入例題。

教學(xué)方法與

教學(xué)手段教學(xué)手段：板書(shū)。

1、教學(xué)內(nèi)容

二、分部積分法

三、幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例

2、講授要點(diǎn)

首先由函數(shù)乘積的的求導(dǎo)法則引出不定積分的分部積分公式，指明公式的作

用及應(yīng)用時(shí)被積函數(shù)的形式和一般情況下""選取的原則。然后通過(guò)講解例題總

教學(xué)內(nèi)容

與要點(diǎn)結(jié)事函數(shù)與四類函數(shù)相乘時(shí)"/選取的規(guī)律，再通過(guò)例題講述應(yīng)用分部積分公式

循環(huán)求解的積分問(wèn)題。給出定積分的分部積分公式后，指明與不定積分公式的不

同，后通過(guò)例題練習(xí)。

有理函數(shù)的積分中關(guān)鍵是真分式的拆分，要詳細(xì)講解其拆分的原則。對(duì)于三

角有理函數(shù)主要講了利用萬(wàn)能變換公式進(jìn)行積分，要注意dx正確的變換形式。最

后給出幾個(gè)常見(jiàn)“積不出來(lái)”的函數(shù)，要求記憶。

§4.3基本積分法

二、分部積分法

1.不定積分的分部積分法

公式：juv'dx=wv-Ju'vdx,judv=wv-jvdu

作用：

u,v選取的原則：(1)積分容易者選為/(2)求-學(xué)簡(jiǎn)單者選為Uo

例題l.jxcosxdc例題2.'%2/辦例題3jxzirctanAz/x例題4.Jx3Inxdx

注：總結(jié)上述情況下選取的原則。

例題5Jsin(lnx)dx例題6.jexsinxdx

2.定積分的分部積分法

公式：udv-\uv\-vdu

JaL」qJa

2??S-??—

教學(xué)進(jìn)程例題7,farcsinxdx.例題8.「——------例題9./=2sin"xdx-2cos〃xdx

JoJ。1+coslxnJoJo

三、幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例

1.有理函數(shù)積分

定義：

利用多項(xiàng)式除法，假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一一個(gè)真分式之和.

真分式的拆分原則：

待定系數(shù)法：

11

例題10」f--------dx例題11」f-------------clx

Jx(x-l)2J(1+2x)(1+/)

2.三角有理函數(shù)積分

定義：

萬(wàn)能變換：

x2ui-u2,2,

u=tan—,x=2arctan〃，sinx=-----,cc)SA—)clJC—r.CLU

21+u21+Z41+"

“phrsin%,-口xrcosY

例題12.--------------dx例題13.----—dx注:說(shuō)明換元法更簡(jiǎn)單.

J1+sinx+cosxJ1+sinx

注：給出常見(jiàn)“積不出3E”的函數(shù)。

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1597(雙號(hào)題)、8(3)(6)、9(3)(5)(6)、

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.4反常積分

教學(xué)目的1.正確理解和掌握兩類反常積分的計(jì)算

和要求

2.記住「函數(shù)的形式并能計(jì)算特殊值下的r函數(shù)值

重點(diǎn)：1.兩類反常積分的計(jì)算

2.「函數(shù)的計(jì)算

重點(diǎn)和難點(diǎn)

難點(diǎn)：L函數(shù)中含有待定常數(shù)的反常積分的計(jì)算

2.與換元法結(jié)合的「函數(shù)的計(jì)算

教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)和練習(xí)。

教學(xué)方法與

教學(xué)手段

教學(xué)手段：板書(shū)。

1、教學(xué)內(nèi)容

一、無(wú)窮區(qū)間上的反常積分

二、有無(wú)窮間斷點(diǎn)的反常積分

三、「函數(shù)

教學(xué)內(nèi)容2、講授要點(diǎn)

與要點(diǎn)

首先給出無(wú)窮區(qū)間上的反常積分的三種不同情況下的定義形式，也是相應(yīng)的

計(jì)算公式，講解與正常積分計(jì)算方法上的相同及不同之處，并通過(guò)例題練習(xí)。對(duì)

于有無(wú)窮間斷點(diǎn)的反常積分同樣給出三種不同情況下的定義即計(jì)算公式，尤其是

無(wú)窮間斷點(diǎn)位于積分區(qū)間內(nèi)部的情形一定要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明勿作為正常積分去計(jì)算，與

正常積分計(jì)算方法比較后通過(guò)例題練習(xí)。對(duì)于「函數(shù)關(guān)鍵是掌握其遞推公式，并

能夠利用此公式計(jì)算兩種特殊值下的r函數(shù)。

§4.4反常積分

一、無(wú)窮區(qū)間上的反常積分

f4-00pbpb

定義：If(x)dx=lim[f(x)dx,|f(x)dx=lim|f(x)dx,

Jab—>+℃JaJ-ooa—>-ooJa

f+oopcfb

[f(x)dx=lim[f(x)dx+lim[f(x)dx

J—ooa—>—ooJabf+8Jc

注：說(shuō)明與正常積分計(jì)算方法上的相同及不同之處

r+oodxr+co11

例題1.[例題2」與sin土然

例題3.證明反常積分「8十公當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p41時(shí)發(fā)散.

f4-00

例題4.證明反常積分(當(dāng)口〉0時(shí)收斂，當(dāng)?<0時(shí)發(fā)散.

二、有無(wú)窮間斷點(diǎn)的反常積分

定義：If(x)dx=lim[f(x)dx,ff(x)dx=lim[f(x)dx,

Ja￡9()+Ja+￡Ja￡_>()+Ja

pbpcfbpc-￡pb

教學(xué)進(jìn)程[于(y

x)dx=[f{x]dx+[f(x)dx=limff{x}dx+lim+fc+￡f{x}dx

JaJaJc所_>o+Ja￡2^^2

注：說(shuō)明與正常積分計(jì)算方法上的相同及不同之處，強(qiáng)調(diào)要小心第三種情形

例題5.V,dX(a>0)例題6.

JoVa2-x2J1xlnx

例題7.證明反常積分]」公當(dāng)p<1時(shí)收斂，當(dāng)pN1時(shí)發(fā)散.

三、「函數(shù)

定義：「(a)=「xa~xe~xdx

Jo

遞推公式：

兩個(gè)特殊情況下的計(jì)算公式：「5+1)=加，

嗎)=丁??…If'卞

例題8.匚⑦例題9.求廣人松質(zhì)的值例題8.求/了%，小的值

「(4)J。Jo

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1651(4)(5)(9)(10)、2、3(2)

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學(xué)教去（課時(shí)備課）

2學(xué)時(shí)

第四章積分

章節(jié)

§4.5定積分的應(yīng)用

1.正確理解和掌握定積分微元法的基本思想

教學(xué)目的

和要求2.掌握用定積分解決幾何方面的實(shí)際問(wèn)題

3.培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合的觀念

重點(diǎn)：1.正確理解和掌握定積分微元法的基本思想

2.定積分的幾何應(yīng)用

重點(diǎn)和難點(diǎn)

難點(diǎn)：1.參數(shù)方程確定的曲線所圍的面積

2.平行截面面積已知的立體體積

教學(xué)方法與教學(xué)方法：課堂以講授為主，適當(dāng)提問(wèn)和練習(xí)。

教學(xué)手段

教學(xué)手段：板書(shū)。因涉及幾何及物理應(yīng)用教學(xué)過(guò)程中注意從圖形上進(jìn)行直觀解釋。

1、教學(xué)內(nèi)容

一、定積分的微元法

二、定積分的幾何應(yīng)用

教學(xué)內(nèi)容

與要點(diǎn)2、講授要點(diǎn)

首先通過(guò)回顧求曲邊梯形面積的過(guò)程給出元素法的定義及可應(yīng)用需滿足的四

個(gè)條件，并給出具體的操作步驟。然后根據(jù)元素法的思想，分別講了定積分在求

平面圖形的面積、立體的體積及平面曲線的弧長(zhǎng)中的應(yīng)用，并通過(guò)例題進(jìn)行練習(xí)。

最后又把元素法的思想推廣到物理應(yīng)用的方面，講解了變力沿直線所做的功及液

體壓力的問(wèn)題，后通過(guò)例題進(jìn)行練習(xí)。

§4.5定積分的應(yīng)用

一、定積分的微元法

n2

1.定義：U==Jf{x}dx

日a

b

2.操作步驟：(1)求微元dU=/(x)公(2)求積分。=

a

二、定積分的幾何應(yīng)用

1.平面圖形的面積

(1)在直角坐標(biāo)系中計(jì)算面積

例題1.求由兩曲線>=/，x=y2所圍平面圖形的面積

例題2.求由兩曲線產(chǎn)=2x,y=x—4所圍平面圖形的面積

(2)在極坐標(biāo)系中計(jì)算面積

教學(xué)進(jìn)程例題3.求心形線r=。(1+85。)(。〉0)所圍平面圖形的面積.

例題4.求雙紐線22=。2cos2。所圍平面圖形的面積.

2.立體的體積

(1)平行截面面積已知的立體體積

例題5?一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角e,計(jì)算這平

面截圓柱體所得立體的體積.

(2)旋轉(zhuǎn)體的體積

22

例題6.求橢圓二+2r=1所圍成的平面圖形分別繞X軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的

ab

旋轉(zhuǎn)體的體積.

3.平面曲線的弧長(zhǎng)

例題7.計(jì)算曲線y=gx'上相應(yīng)于x從。到b的一段弧的長(zhǎng)度

(3

x=Qcos"t

例題8.計(jì)算星形線\(0<r<2^)的弧長(zhǎng).

[y=asint

板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1761(2)(3)(5)、2⑴、3(1)(3)、4(1)

課后教師教師可以根據(jù)重點(diǎn)與難點(diǎn)的把握以及提問(wèn)等師生互動(dòng)情況，適當(dāng)調(diào)整

總結(jié)分析