高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 7.3空間點(diǎn)、直線、平面之前的位置關(guān)系講解與練習(xí) 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系)[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．2.了解四個(gè)公理和等角定理，并能以此作為推理的依據(jù)．3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.1.直線、平面位置關(guān)系是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，既有客觀題，又有主觀題．其中客觀題主要是空間線、面位置關(guān)系的判定．如年重慶T9，陜西T5等．主觀題中往往作為其中一問來考查，如年陜西T18，安徽T18(1)等．2.公理和定理一般不單獨(dú)考查，而是作為解題過程中的推理依據(jù).[歸納·知識整合]1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．作用：可用來證明點(diǎn)、直線在平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．作用：①可用來確定一個(gè)平面；②證明點(diǎn)線共面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．作用：①可用來確定兩個(gè)平面的交線；②判斷或證明多點(diǎn)共線；③判斷或證明多線共點(diǎn)．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．[探究]1.平面幾何中成立的有關(guān)結(jié)論在空間立體幾何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直”在平面幾何中成立，但在立體幾何中就不成立．而公理4的傳遞性在平面幾何和立體幾何中均成立．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．[探究]2.不相交的兩條直線是異面直線嗎？提示：不一定，不相交的兩條直線可能平行，也可能異面．3．不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？提示：不一定，不在同一平面內(nèi)的直線可能異面，也可能平行．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α無數(shù)個(gè)平面與平面平行α∥β0個(gè)相交α∩β＝l無數(shù)個(gè)[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)下列命題：①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C對于①，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線，故①錯(cuò)誤；②正確；對于③，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標(biāo)系，能確定三個(gè)平面，故③正確；對于④，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)共線，則兩平面也可能相交，故④錯(cuò)誤．2．(教材習(xí)題改編)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：選D由直線、平面的位置關(guān)系分析可知兩條直線相交、平行或異面都有可能．3．如果a?α，b?α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列關(guān)系成立的是()A．l?α B．l?αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：選A∵a?α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l(xiāng)?α.4．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成________個(gè)部分．解析：三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交，交線分別是a，b，c，且a∥b∥c，則α，β，γ把空間分成7部分．答案：75．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為________．解析：連接B1D1，易證B1D1∥EF，從而∠D1B1C即為異面直線B1C與EF所成的角，連接D1C，則△B1D1C為正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用[例1]以下四個(gè)命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[自主解答]①正確，可以用反證法證明；②不正確，從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線．則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，空間四邊形的四條邊不在一個(gè)平面內(nèi)．[答案]B———————————————————由所給元素確定平面的方法判斷由所給元素(點(diǎn)或直線)確定平面時(shí)，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個(gè)平面．1．下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________．解析：①中可證四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示取A1A與BC的中點(diǎn)為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．答案：①②③[例2]如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？[自主解答](1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又∵BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)∵BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四共點(diǎn)面．本例條件不變，如何證明“FE、AB、DC共點(diǎn)”？證明：如圖，取AD中點(diǎn)為M，連接GM，EG，CM.由條件知，EG綊AB，CM綊AB，所以EG綊CM，所以四邊形EGMC為平行四邊形，所以EC∥GM.又GM綊eq\f(1,2)FD，∴EC綊eq\f(1,2)FD，故E、C、D、F四點(diǎn)共面.延長FE、DC，設(shè)相交于點(diǎn)N，因?yàn)镋F?平面ABEF，所以N∈平面ABEF，同理可證，N∈平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BEF∩平面ABCD＝AB，所以N∈AB.即FE、AB、DC三線共點(diǎn).———————————————————證明共面問題的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．證明：(1)連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn).空間兩條直線的位置關(guān)系[例3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行[自主解答]由于MN與平面DCC1D1相交于N點(diǎn)，D1C1?平面DCC1D1，且C1D1與MN沒有公共點(diǎn)，所以MN與C1D1是異面直線．又因?yàn)镃1D1∥A1B1，且A1B1與MN沒有公共點(diǎn)，所以A1B1與MN是異面直線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．[答案]D———————————————————異面直線的判定方法(1)定義法：依據(jù)定義判斷(較為困難)；(2)定理法：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)．(3)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．3．已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交．證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為α，則B、C、A、D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾．所以BC與AD是異面直線．(2)如圖，連接AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形．又EG、FH是?EFGH的對角線，所以EG與HF相交.異面直線所成的角[例4](·銀川模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。甗自主解答](1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四邊形，所以AC∥A1C1.即AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．因?yàn)镋F是△ABD的中位線，所以EF∥BD.又因?yàn)锳C⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角為90°.———————————————————求異面直線所成角的步驟平移法求異面直線所成角的一般步驟為：4．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角．解：如圖，設(shè)E為AC的中點(diǎn)，連接EM、EN.∵EM綊eq\f(1,2)AB，∴∠EMN即為異面直線AB與MN所成的角(或補(bǔ)角)．在△MEN中，ME綊eq\f(1,2)AB，EN綊eq\f(1,2)CD.∴∠MEN為異面直線AB與CD所成的角(或補(bǔ)角)，且△MEN為等腰三角形．當(dāng)∠MEN＝60°時(shí)，∠EMN＝60°，即異面直線AB和MN所成的角為60°.當(dāng)∠MEN＝120°時(shí)，∠EMN＝30°，即異面直線AB和MN所成的角為30°.∴直線AB和MN所成的角為60°或30°.1個(gè)疑難點(diǎn)——對異面直線概念的理解(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．(2)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線．(3)異面直線的公垂線有且僅有一條．2種方法——求異面直線所成角的方法(1)平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法．(2)補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角．3個(gè)“共”問題——“共面”、“共線”和“共點(diǎn)”問題(1)證明共面問題一般有兩種途徑：①首先由條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證其他線(或點(diǎn))在此平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個(gè)平面重合．(2)證明共線問題一般有兩種途徑：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明共點(diǎn)問題常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).易誤警示——求解線線角中忽視隱含條件而致錯(cuò)[典例](·臨沂模擬)過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A．1條 B．2條C．3條 D．4條[解析]如圖，連接體對角線AC1，顯然AC1與棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為eq\r(2).聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連接BD1，則BD1與棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴體對角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，體對角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所成的角都相等，過A點(diǎn)分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條．[答案]Deq\a\vs4\al([易誤辨析])1．易忽視異面直線所成的角，且沒有充分認(rèn)識正方體中的平行關(guān)系而錯(cuò)選A.2．求解空間直線所成的角時(shí)，還常犯以下錯(cuò)誤：(1)缺乏空間想象力，感覺無從下手；(2)忽視異面直線所成角的范圍．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])如圖所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，AD＝BC＝2，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)，則異面直線AD和BC所成的角為________．解析：如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，F(xiàn)G∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1.即∠EGF為所求，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．給出下列四個(gè)命題：①?zèng)]有公共點(diǎn)的兩條直線平行；②互相垂直的兩條直線是相交直線；③既不平行也不相交的直線是異面直線；④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B對于①，沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面，故①錯(cuò)；對于②，異面直線垂直但不相交，故②錯(cuò)；③④正確．2．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C由條件，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合的條件的棱共有5條．3．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交解析：選B如圖，設(shè)l∩α＝A，α內(nèi)直線若經(jīng)過A點(diǎn)，則與直線l相交；若不經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l異面．4．(·福州模擬)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選D連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，設(shè)AB＝1，則AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).5．(·聊城模擬)對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線解析：選C不論l∥α，l?α還是l與α相交，α內(nèi)都有直線m，使得m⊥l.6．(·重慶高考)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0,eq\r(2)) B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r(2)) D．(1,eq\r(3))解析：選A如圖所示，AB＝eq\r(2)，CD＝a，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則ED⊥AB，EC⊥AB，則ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(\r(2),2)，同理EC＝eq\f(\r(2),2).由構(gòu)成三角形的條件知0<a<ED＋EC＝eq\r(2)，所以0<a<eq\r(2).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是________．解析：將展開圖還原為正方體，如圖所示，則AB⊥EF，故①正確；AB∥CM，故②錯(cuò)誤；EF與MN顯然異面，故③正確；MN與CD異面，故④錯(cuò)誤．答案：①③8．(·大綱全國卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________．解析：如圖，連接DF，因?yàn)镈F與AE平行，所以∠DFD1即為異面直線AE與D1F所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長為2，則FD1＝FD＝eq\r(5)，由余弦定理得cos∠DFD1＝eq\f(\r(5)2＋\r(5)2－22,2×\r(5)2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于________．解析：如圖：延長CA到D，使得AD＝AC，連接A1D，BD，則四形邊形ADA1C1為平行四邊形，∴∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又三角形A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B＝60°.答案：60°三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線．解：如圖所示．PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線．11．如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值．解：(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線AE和PB所成角，∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)；cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).12．(·上海高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面積；(2)異面直線BC與AE所成的角的大?。猓?1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.因?yàn)镻D＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，CD＝2，所以三角形PCD的面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).(2)取PB的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥BC，從而∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角．在△AEF中，由EF＝eq\r(2)、AF＝eq\r(2)、AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝eq\f(π,4).因此，異面直線BC與AE所成的角的大小是eq\f(π,4).1．平面α、β的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則①α、β垂直②α、β至少有三個(gè)公共點(diǎn)③α、β至少有一條公共直線④α、β至多有一條公共直線以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C由條件知，平面α與β重合或相交，重合時(shí)，公共直線多于一條，故④錯(cuò)誤；相交時(shí)不一定垂直，故①錯(cuò)誤．2．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°解析：選C依題意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又