微積分試題集

...wd......wd......wd...微積分試題集一季一、計(jì)算以下極限：〔每題5分，共10分〕4．假設(shè)時(shí),是等價(jià)無(wú)窮小,求常數(shù)的值.5.設(shè)在處連續(xù)，求的值.二、導(dǎo)數(shù)與微分：〔每題5分，共25分〕1.設(shè)求2．求由方程所確定的曲線在處的切線方程.3．利用微分近似計(jì)算,求的近似值.4．設(shè)求5.求曲線的拐點(diǎn).三、計(jì)算以下各題：〔每題8分，共16分〕1.設(shè)某商品的價(jià)格與需求量的關(guān)系為,(1)求時(shí)的需求彈性,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.〔2〕求當(dāng)價(jià)格為何值時(shí),總收益最大并求出此時(shí)的需求價(jià)格彈性.2.設(shè)為的原函數(shù),且,求四、證明題：〔每題5分，共10分〕當(dāng)時(shí),證明：.2.設(shè)連續(xù)且，試證明是的極小值點(diǎn)。二季一、填空題〔每題4分，此題共20分〕⒈函數(shù)的定義域是．⒉假設(shè)函數(shù),在處連續(xù)，則．⒊曲線在點(diǎn)處的切線方程是．⒋．⒌微分方程的階數(shù)為．二、單項(xiàng)選擇題〔每題4分，此題共20分〕⒈設(shè)，則〔〕A．B．C．D．⒉假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則()是錯(cuò)誤的．A．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義B．，但C．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)D．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微⒊函數(shù)在區(qū)間是〔〕A．單調(diào)增加B．單調(diào)減少C．先增后減D．先減后增⒋〔〕A.B.C.D.⒌以下微分方程中為可別離變量方程的是〔〕A.；B.；C.；D.三、計(jì)算題〔此題共44分，每題11分〕⒈計(jì)算極限．⒉設(shè)，求.⒊計(jì)算不定積分⒋計(jì)算定積分四、應(yīng)用題〔此題16分〕欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長(zhǎng)方體開口容器，若何做法用料最省微積分初步期末試題選〔一〕1．填空題〔1〕函數(shù)的定義域是．〔2〕函數(shù)的定義域是．〔3〕函數(shù)，則．〔4〕假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則．〔5〕函數(shù)，則．〔6〕函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)是．〔7〕．〔8〕假設(shè)，則．2．單項(xiàng)選擇題、〔1〕設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是〔〕．A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)〔2〕以下函數(shù)中為奇函數(shù)是〔 〕．A．B．C．D．〔3〕函數(shù)的定義域?yàn)椤? 〕．A．B．C．且D．且〔4〕設(shè)，則〔〕A．B．C．D．〔5〕當(dāng)〔〕時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).A．0B．1C．D〔6〕當(dāng)〔〕時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).A．0B．1C．D〔7〕函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)是〔〕A．B．C．D．無(wú)連續(xù)點(diǎn)3．計(jì)算題〔1〕．〔2〕〔3〕微積分初步期末試題選〔二〕1．填空題〔1〕曲線在點(diǎn)的切斜率是．〔2〕曲線在點(diǎn)的切線方程是．〔3〕，則=．〔4〕，則=．〔5〕假設(shè)，則．2.單項(xiàng)選擇題〔1〕假設(shè)，則=〔〕．A.2B.1C.-1D.-2〔2〕設(shè)，則〔〕．A．B．C．D．〔3〕設(shè)是可微函數(shù)，則〔〕．A．B．C．D．〔4〕假設(shè)，其中是常數(shù)，則〔〕．A．B．C．D．3．計(jì)算題〔1〕設(shè)，求．〔2〕設(shè)，求.〔3〕設(shè)，求.〔4〕設(shè)，求.微積分初步期末試題選〔三〕1．填空題〔1〕函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是．〔2〕函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則應(yīng)滿足．2．單項(xiàng)選擇題〔1〕函數(shù)在區(qū)間是〔〕A．單調(diào)增加B．單調(diào)減少C．先增后減D．先減后增〔2〕滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的〔〕.A．極值點(diǎn)B．最值點(diǎn)C．駐點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)〔3〕以下結(jié)論中〔〕不正確．A．在處連續(xù)，則一定在處可微.B．在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo).C．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.D．函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上.〔4〕以下函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是〔 〕．A．B．C．D．3．應(yīng)用題〔1〕欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開口容器，若何做法用料最省〔2〕用鋼板焊接一個(gè)容積為4的正方形的開口水箱，鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸若何選擇，可使總費(fèi)最低最低總費(fèi)是多少微積分初步期末試題選〔四〕1．填空題〔1〕假設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則.〔2〕假設(shè)，則．〔3〕假設(shè)〔4〕．〔5〕．〔6〕假設(shè)，則．〔7〕假設(shè)，則．〔8〕〔9〕.〔10〕=．2．單項(xiàng)選擇題〔1〕以下等式成立的是〔〕．A．B．C．D．〔2〕以下等式成立的是〔〕A．B．C．D．〔3〕〔〕A.B.C.D.〔4〕以下定積分中積分值為0的是〔〕．A．B．C．D．〔5〕設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分〔〕A．0B．C．D．〔6〕以下無(wú)窮積分收斂的是〔〕．A．B．C．D．3．計(jì)算題〔1〕〔2〕〔3〕(4)(5)(6)(7)微積分初步期末試題選〔五〕1．填空題(1)曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是.(2)由定積分的幾何意義知，=.(3)微分方程的特解為.(4)微分方程的通解為.(5)微分方程的階數(shù)為．2.單項(xiàng)選擇題(1)在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)〔1,4〕的曲線為〔〕．A．y=x2+3B．y=x2+4C．D．(2)以下微分方程中，〔 〕是線性微分方程．A．B．C．D．(3)微分方程的通解為〔〕．A．B．C．D．(4)以下微分方程中為可別離變量方程的是〔〕A.；B.；C.；D.三季一、選擇題(選出每題的正確選項(xiàng)，每題２分，共計(jì)10分)1．_________。〔A〕-〔B〕+〔C〕0〔D〕不存在2．當(dāng)時(shí)，的極限為_________。〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕不存在以下極限存在，則成立的是_________。設(shè)f〔x〕有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且〔A〕極小值〔B〕極大值〔C〕拐點(diǎn)〔D〕不是極值點(diǎn)也不是拐點(diǎn)5．假設(shè)則以下各式成立。填空題〔每題3分，共18分〕1.設(shè)，那么曲線在原點(diǎn)處的切線方程是__________。２．函數(shù)在區(qū)間[0，3]上滿足羅爾定理，則定理中的=。3．設(shè)。4．設(shè)那么2階導(dǎo)函數(shù)5．設(shè)某商品的需求量Ｑ是價(jià)格Ｐ的函數(shù)，那么在Ｐ＝４的水平上，假設(shè)價(jià)格下降1％，需求量將。6．假設(shè)且。三、計(jì)算題〔每題6分，共42分〕：求3、設(shè)4、5、6、7、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f〔0〕=0,又，求。四、應(yīng)用題〔8分〕1，假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià)P〔單位元〕的函數(shù)：Q=1200-8P；商品的總成本C是需求量Q的函數(shù)：C=2500+5Q。求邊際收益函數(shù)和邊際成本函數(shù)；求使銷售利潤(rùn)最大的商品單價(jià)。五、〔12分〕作函數(shù)的圖形六、證明題〔每題5分，共計(jì)10分〕設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且在內(nèi)是常數(shù)，證明在上的表達(dá)式為，2、設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且證明在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。四季一、填空題〔每題4分，此題共20分〕⒈函數(shù)的定義域是．⒉．⒊，則=．⒋假設(shè)，則．⒌微分方程的階數(shù)是．二、單項(xiàng)選擇題〔每題4分，此題共20分〕⒈設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是〔〕．A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)⒉函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)是〔〕A． B． C．D．無(wú)連續(xù)點(diǎn)⒊以下結(jié)論中〔〕正確．A．在處連續(xù)，則一定在處可微.B．函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.C．在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo).D．函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上.⒋如果等式，則〔〕A.B.C.D.⒌以下微分方程中，〔 〕是線性微分方程．A．B．C．D．三、計(jì)算題〔此題共44分，每題11分〕⒈計(jì)算極限．⒉設(shè)，求.⒊計(jì)算不定積分⒋計(jì)算定積分四、應(yīng)用題〔此題16分〕用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無(wú)蓋水箱，鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸若何選擇，可使總費(fèi)最低最低總費(fèi)是多少五季一、填空題〔每題4分，此題共20分〕⒈函數(shù)的定義域是．⒉假設(shè)，則．⒊，則=．⒋假設(shè)．⒌微分方程的階數(shù)是．二、單項(xiàng)選擇題〔每題4分，此題共20分〕⒈設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是〔〕．A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)⒉當(dāng)=〔〕時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).A．1B．2C⒊滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的〔〕。A．極值點(diǎn)B．最值點(diǎn)C．駐點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)⒋設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分〔〕A．B．C．D．0⒌微分方程的通解是〔〕A.；B.；C.；D.三、計(jì)算題〔此題共44分，每題11分〕⒈計(jì)算極限．⒉設(shè)，求.⒊計(jì)算不定積分⒋計(jì)算定積分四、應(yīng)用題〔此題16分〕欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省微積分習(xí)題集答案一季一、計(jì)算以下極限：〔每題5分，共25分〕1．。2．。3.。4．假設(shè)時(shí),是等價(jià)無(wú)窮小,求常數(shù)的值.解：由于時(shí)有與，故。5.設(shè)在處連續(xù)，求的值.解：由左連續(xù)與右連續(xù)分別得，，所以得及。二、導(dǎo)數(shù)與微分：〔每題5分，共25分〕1.設(shè)求解：兩邊去對(duì)數(shù)得，再求導(dǎo)得，整理后得。當(dāng)時(shí)有，所以。2．求由方程所確定的曲線在處的切線方程.解：易知時(shí)有。求導(dǎo)得，將代入則有，所以切線方程為。3．利用微分近似計(jì)算,求的近似值.解：令，則。取，，則有，所以。4．設(shè)求解：，，所以，即。5.求曲線的拐點(diǎn).解：求導(dǎo)得與。顯然，當(dāng)時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)，所以與是潛在拐點(diǎn)。下面考察函數(shù)凹凸性的變化，不難看出所以，與均為曲線的拐點(diǎn)。三、計(jì)算不定積分：〔每題6分，共24分〕1．。2．。3．：令，，則。4．。四、計(jì)算以下各題：〔每題8分，共16分〕1.設(shè)某商品的價(jià)格與需求量的關(guān)系為,(1)求時(shí)的需求彈性,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.〔2〕求當(dāng)價(jià)格為何值時(shí),總收益最大并求出此時(shí)的需求價(jià)格彈性.解：〔1〕，故，這說(shuō)明當(dāng)價(jià)格時(shí)，假設(shè)價(jià)格上漲〔下跌〕，則需求量近似減少〔增加〕?！?〕我們知道時(shí)，總收益最大。由解得，所以當(dāng)價(jià)格時(shí)總收益最大。2.設(shè)為的原函數(shù),且,求解：因?yàn)?，所以給定條件等價(jià)于，兩邊關(guān)于求積分，則，從而〔〕。將代入可得，所以，從而。五、證明題：〔每題5分，共10分〕當(dāng)時(shí),證明：.證明：令，則，當(dāng)時(shí)顯然有，并且只有在時(shí)才有，所以在時(shí)為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)有，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí),。2.設(shè)連續(xù)且，試證明是的極小值點(diǎn)。證明：由知。又連續(xù)，所以。根據(jù)定義有，由第二充分條件即可知是的極小值點(diǎn)。二季一、填空題〔每題4分，此題共20分〕⒈⒉1⒊⒋⒌二、單項(xiàng)選擇題〔每題4分，此題共20分〕⒈C⒉B⒊D⒋A⒌B三、〔此題共44分，每題11分〕⒈解：原式11分⒉解：9分11分⒊解：=11分4．解：11分四、應(yīng)用題〔此題16分〕解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為，高為，用材料為，由令，解得是惟一駐點(diǎn)，易知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，此時(shí)有，所以當(dāng)，時(shí)用料最?。⒎e分初步期末試題選〔一〕1．填空題〔1〕答案：且.〔2〕答案：〔3〕答案：〔4〕答案：〔5〕答案：〔6〕答案：〔7〕答案：1〔8〕答案：2．單項(xiàng)選擇題〔1〕答案：B〔2〕答案：C〔3〕答案：D〔4〕答案：C〔5〕答案：D〔6〕答案：B〔7〕答案：A3．計(jì)算題〔1〕解：〔2〕解：〔3〕解：微積分初步期末試題選〔二〕1．填空題〔1〕答案：〔2〕答案：〔3〕答案：，=27〔〔4〕答案：，=〔5〕答案：，2.單項(xiàng)選擇題〔1〕答案：C〔2〕答案：B〔3〕答案：D〔4〕答案：C3．計(jì)算題〔1〕解：〔2〕解：〔3〕解：〔4〕解：微積分初步期末試題選〔三〕1．填空題〔1〕答案：〔2〕答案：2．單項(xiàng)選擇題〔1〕答案：D〔2〕答案：C〔3〕答案：B〔4〕答案：B3．應(yīng)用題解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為，高為，用材料為，由令，解得是唯一駐點(diǎn)，且，說(shuō)明是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)，用料最省.解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為，高為，外表積為，且有所以令，得，因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以，當(dāng)時(shí)水箱的面積最小.此時(shí)的費(fèi)用為〔元〕微積分初步期末試題選〔四〕1．填空題〔1〕答案：〔2〕答案：〔3〕答案：〔4〕答案：〔5〕答案：〔6〕答案：〔7〕答案：〔8〕答案：〔9〕答案：0〔10〕答案：2．單項(xiàng)選擇題〔1〕答案：C〔2〕答案：D〔3〕答案：A〔4〕答案：A〔5〕答案：A〔6〕答案：D3．計(jì)算題〔1〕解：〔2〕解：〔3〕(4)解：=(5);(6)解：(7)解：微積分初步期末試題選〔五〕1．填空題(1)答案：(2)答案：(3)答案：(4)答案：(5)答案：42.單項(xiàng)選擇題(1)答案：A(2)答案：D(3)答案：C(4)答案：B三季一、選擇題(選出每題的正確選項(xiàng)，每題２分，共計(jì)10分)1．C；2．D；3.BC;4.A;5.BC.填空題〔每題3分，共18分〕1.２．23．4．X=2,極小值5．上升2%6．三、計(jì)算題〔每題6分，共42分〕：1、求解：令，則解：原式=3、設(shè)解：由3分得a=0，b=-2，c取任意實(shí)數(shù)。3分4解：3分3分5、解2分2分2分6、解：2分2分2分7、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f〔0〕=0,又，求解：，這時(shí)連續(xù)2分3分所以1分四、〔8分〕假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià)P〔單位元〕的函數(shù)：Q=1200-8P；商品的總成本C是需求量Q的函數(shù)：C=2500+5Q。求邊際收益函數(shù)MR和邊際成本函數(shù)MC；求使銷售利潤(rùn)最大的商品單價(jià)。解：〔1〕3分〔2〕利潤(rùn)函數(shù)1分2分P=155/2時(shí)利潤(rùn)最大。2分五、〔12分〕作函數(shù)的圖形答案：〔1〕定義域是是連續(xù)點(diǎn)1分〔2〕漸近線因故y=0為水平漸近線因故x=1為垂直漸近線2分(3)單調(diào)性、極值、凹凸及拐點(diǎn)令得x=0令得拐點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)再列表拐點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)是極小值；拐點(diǎn)是.6分(4)選點(diǎn)當(dāng)時(shí)，y=0;當(dāng)時(shí),y=8;當(dāng)x=2時(shí),y=3；當(dāng)x=3時(shí)，1分(5)描點(diǎn)作圖略2分六、證明題〔每題5分，共計(jì)10分〕1、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且在內(nèi)是常數(shù)，證明在上的表達(dá)式為證明：設(shè)在〔a，b〕內(nèi)任取一點(diǎn)x，在區(qū)間[a，x]上由拉格朗日中值定理有：2分則2分當(dāng)x=a時(shí)，上式也成立。1分2、設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且證明在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。證明：在內(nèi)任取一點(diǎn)x，則3分令，由f〔x〕的單調(diào)性和零值定理知原命題成立。2分四季一、填空題〔每題4分，此題共20分〕⒈⒉1⒊⒋⒌3二、單項(xiàng)選擇題〔每題4分，此題共20