材料力學(xué)(第三版) 課件 第4、5章 彎曲內(nèi)力、彎曲應(yīng)力

第4章彎曲內(nèi)力4.1引言4.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4.3彎曲內(nèi)力及內(nèi)力圖4.4剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系4.5平面剛架與曲桿的內(nèi)力習(xí)題

4.1引言

工程中存在著大量的彎曲構(gòu)件，如圖4-1所示的火車輪軸、圖4-2所示的造紙機(jī)上的壓榨輥軸、圖4-3所示的行車大梁等都是彎曲構(gòu)件的實(shí)例。圖4-1

圖4-2圖4-3

一般來說，當(dāng)桿件承受垂直于軸線的外力，或在其軸線平面內(nèi)作用有外力偶時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€。以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲。以彎曲為主要變形

的桿件稱為梁。

工程中常見梁的橫截面往往具有對(duì)稱軸(見圖4-4(a)~(d))，由對(duì)稱軸和梁的軸線組成的平面，稱為縱向?qū)ΨQ面(見圖4-4(e))。

圖4-4

4.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

1.作用在梁上的外載荷作用在梁上的外載荷有以下三種：(1)集中載荷：若作用在梁上的橫向力分布范圍很小，可以近似地當(dāng)作作用在一點(diǎn)的集中載荷，用F表示。(2)集中力偶：作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看作是作用在梁上一點(diǎn)的集中力偶，用M或Me表示。(3)分布載荷：沿梁軸線連續(xù)分布在較長(zhǎng)范圍內(nèi)的橫向力，稱為分布載荷。

2.梁支座的簡(jiǎn)化

梁的支座可以簡(jiǎn)化為以下三種形式：

(1)活動(dòng)鉸支座：如圖4-5(a)所示，它對(duì)梁的約束力FR沿支承面法線方向，圖4-5(a)給出了活動(dòng)鉸支座及其約束力簡(jiǎn)圖。

(2)固定鉸支座：如圖4-5(b)所示，在研究平面問題時(shí)，固定鉸支座的約束力可用平面內(nèi)兩個(gè)分力表示，一般情況下，用沿梁軸方向的約束力FRx與垂直于梁軸方向的約束力FRy來表示。

(3)固定端：如圖4-5(c)所示，在研究平面問題時(shí)，相應(yīng)約束力用三個(gè)分量表示，即沿梁軸方向的約束力FRx、垂直于梁軸方向的約束力FRy和位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的約束力偶Me。

圖4-5

3.靜定梁的基本形式

根據(jù)梁的支承情況，靜定梁的基本形式可分為以下三種：

(1)簡(jiǎn)支梁：一端為固定鉸支座支承，另一端為活動(dòng)鉸支座支承的梁稱之為簡(jiǎn)支梁，如圖4-6(a)所示。圖4-2所示造紙機(jī)上的壓榨輥軸可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁。

(2)外伸梁：具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡(jiǎn)支梁稱為外伸梁，如圖4-6(b)所示。圖4-1所示火車輪軸可簡(jiǎn)化為兩端外伸梁。

(3)懸臂梁：一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁，如圖4-6(c)所示。高大塔器可簡(jiǎn)化為下端固定的懸臂梁。

圖4-6

上述三種梁都可以用靜平衡方程來計(jì)算約束力，屬于靜定梁。有時(shí)為了保證梁的強(qiáng)度和剛度，為一個(gè)梁設(shè)置較多的支座，從而使梁的約束力數(shù)目多于獨(dú)立靜平衡方程數(shù)目，這時(shí)單憑靜力學(xué)知識(shí)就不能確定全部約束力，這種梁稱為靜不定梁(超靜定梁)。本章僅限于研究靜定梁的內(nèi)力。

4.3彎曲內(nèi)力及內(nèi)力圖

4.3.1梁橫截面上的內(nèi)力———剪力與彎矩梁的外力確定后，就可用截面法分析梁的內(nèi)力。如圖4-7(a)所示簡(jiǎn)支梁，用截面法確定距A端為x處截面m-m上的內(nèi)力。假想沿m-m截面將梁截開，分成左右兩段，任選其中一段，例如左段(見圖4-7(b))進(jìn)行研究。在左段梁上作用有外力FAy與F1，為了保持左段平衡，m-m截面上一定存在內(nèi)力。

為了分析其內(nèi)力，將作用在左段梁上的所有外力均向截面形心C簡(jiǎn)化，得主矢F'S和主矩M'。由于外力均垂直于梁軸，主矢F'S也垂直于梁軸。由此可見，當(dāng)梁彎曲時(shí)，橫截面上必然同時(shí)存在兩種內(nèi)力分量：與主矢平衡的內(nèi)力FS；與主矩平衡的內(nèi)力偶矩M。這種作用線與橫截面相切的內(nèi)力稱為剪力，記為FS；作用在縱向?qū)ΨQ面的內(nèi)力偶矩稱為彎矩，記為M。

根據(jù)左段梁的平衡方程

可得

剪力FS的大小等于左段梁上所有橫向外力的代數(shù)和，彎矩M的大小等于左段梁上所有外力對(duì)形心C取矩的代數(shù)和。

同理，如果以右段梁為研究對(duì)象(見圖4-7(c))，并根據(jù)右段梁的平衡條件計(jì)算m-m截面的內(nèi)力，將得到與左段大小相同的剪力和彎矩，但是其方向相反。

圖4-7

為了使選擇不同研究對(duì)象得到的同一橫截面上的剪力和彎矩，不但在數(shù)值上相同，而且正負(fù)號(hào)也一致，剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)需根據(jù)變形來確定。規(guī)定如下：在梁內(nèi)欲求內(nèi)力截面的內(nèi)側(cè)切取微段，凡使該微段沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力規(guī)定為正(見圖4-8(a))，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生凸向下變形的彎矩規(guī)定為正(見圖4-8(b))，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖4-7(b)、(c)所示的m-m截面上的剪力與彎矩均為正值。

圖4-8

例4-1圖4-9所示外伸梁上的外載荷均為已知，試求圖示各指定截面的剪力和彎矩。圖4-9

解(1)求梁的約束力。由靜平衡方程可得

解得

(2)計(jì)算各指定截面的內(nèi)力。對(duì)于截面55，取該截面右側(cè)部分為研究對(duì)象，其余各截面均取相應(yīng)截面左側(cè)部分為研究對(duì)象。根據(jù)靜平衡方程可求得

1-1截面：

(因?yàn)?1截面從右端無限接近支座A，即Δ→0，以下同樣理解。)

2-2截面

3-3截面：

4-4截面：

55截面：

4.3.2剪力圖與彎矩圖

一般情況下，在梁的不同橫截面上，剪力與彎矩均不相同，即剪力與彎矩隨橫截面位置的不同而變化。為了描述剪力與彎矩沿梁軸線的變化情況，取梁的軸線為x軸，以坐標(biāo)x表示橫截面的位置，剪力、彎矩可表示成橫截面位置x的函數(shù)，即

上述關(guān)系式分別稱為剪力方程和彎矩方程。

描述剪力與彎矩沿梁軸變化的另一重要方法是圖示法。與軸力圖、扭矩圖的表示方式類似，作圖時(shí)，以x為橫坐標(biāo)軸，表示橫截面位置，以FS或M為縱坐標(biāo)軸，分別繪制剪力、彎矩沿梁軸線變化的曲線，上述曲線分別稱為剪力圖與彎矩圖。

例4-2某填料塔塔盤下的支承梁，在物料重力的作用下，可以簡(jiǎn)化為一承受均布載荷的簡(jiǎn)支梁，如圖4-10(a)所示，在全梁長(zhǎng)度l上承受集度為q的均布載荷作用，試作梁的剪力、彎矩圖。圖4-10

例4-3圖4-11(a)所示簡(jiǎn)支梁，在梁上C點(diǎn)處承受集中載荷F的作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。圖4-11

解

(1)計(jì)算約束力。以梁AB為研究對(duì)象，對(duì)B、A兩點(diǎn)分別列出矩式平衡方程∑MB=0和∑MA=0，可解得A端和B端的約束力分別為

例4-4-圖4-12(a)所示懸臂梁，承受集中載荷F與集中力偶Me=Fa作用，試作梁的剪力、彎矩圖。圖4-12

解(1)建立剪力、彎矩方程。由于在截面C處作用有集中力偶，故應(yīng)將梁分成AC、CB兩段。對(duì)于AC段，選坐標(biāo)x1，可以看出，AC段的剪力、彎矩方程分別為

對(duì)于CB段，選坐標(biāo)x2，可以看出，CB段的剪力、彎矩方程分別為

(2)畫剪力、彎矩圖。根據(jù)式(a)、(c)畫出剪力圖(見圖4-12(b))；根據(jù)式(b)、(d)畫出彎矩圖(見圖4-12(c))。

由剪力、彎矩圖可以看出，在集中力偶作用處，左右兩側(cè)橫截面上的剪力相同，而彎矩發(fā)生突變，突變量等于該力偶矩的大小。

例4-5圖4-13(a)所示的簡(jiǎn)支梁，承受集中載荷F=qa與半跨度均布載荷q的作用，試作梁的剪力、彎矩圖。

解(1)計(jì)算約束力。由平衡方程∑MB=0與∑MA=0可分別計(jì)算出A端、B端約束力分別為

方向如圖4-13(a)所示。圖4-13

4.4

剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系

圖4-14(a)所示的梁，承受集度為q(x)的分布載荷作用。在此規(guī)定載荷集度q向上為正，坐標(biāo)軸y向上為正，x向右為正。為了研究剪力與彎矩沿梁軸的變化，在梁上切取微段dx(見圖4-14(b))。左截面上的剪力和彎矩分別為FS和M，由于微段上作用有連續(xù)變化的分布載荷，內(nèi)力沿梁軸也將連續(xù)變化，因此，右截面上的剪力和彎矩分別為FS+dFS與M+dM。

圖4-14

在上述各力作用下，微段處于平衡狀態(tài)，y軸方向的靜平衡方程可寫為

可得

微段上的所有力對(duì)右側(cè)面形心C取矩的代數(shù)和為零，即

略去高階微量q(dx)2/2，可得

將式(4-2)再對(duì)x求導(dǎo)，并考慮到式(4-1)，可得

以上三式即為直梁的剪力FS、彎矩M和載荷集度q(x)間的微分關(guān)系。

剪力、彎矩與載荷集度間微分關(guān)系的幾何意義為：剪力圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于梁上相應(yīng)截面處的載荷集度；彎矩圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的剪力；而彎矩圖某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，則等于相應(yīng)截面處的載荷集度。

特別注意：載荷集度q規(guī)定向上為正，x軸向右為正。

根據(jù)上述微分關(guān)系，可以總結(jié)出剪力、彎矩圖的下述規(guī)律：

(1)無載荷作用的梁段：因?yàn)閝(x)=0，即dFS/dx=0，故FS(x)=常數(shù)，則該梁段的剪力圖為水平直線。又因?yàn)镕S(x)=常數(shù)，故dM/dx=FS(x)=常數(shù)，則該段梁彎矩圖的切線斜率為常數(shù)，彎矩圖為一斜直線。由此可見，當(dāng)梁上僅有集中載荷作用時(shí)，其剪力與彎矩圖一定是由直線構(gòu)成的(見表4-1(1))。

(2)均布載荷作用的梁段：因?yàn)閝(x)=常數(shù)≠0，即

不為零的常數(shù)，故剪力圖為斜直線，而彎矩圖為二次拋物線。當(dāng)均布載荷向上即q>0時(shí)，剪力圖為遞增斜直線，彎矩圖為開口向上的拋物線；當(dāng)均布載荷向下即q<0時(shí)，剪力圖為遞減斜直線，彎矩圖為開口向下的拋物線。此外，由于dM/dx=FS，因此，在剪力FS=0的截面處，彎矩取極值，彎矩圖存在相應(yīng)的極值點(diǎn)(見表4-1(2))。

(3)集中力作用處：在集中力作用處，剪力圖有突變，突變量等于集中力的大?。粡澗貓D有折角(見表4-1(3))。

(4)集中力偶作用處：在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變量等于集中力偶矩的大小(見表4-1(4))。

上述結(jié)論可歸結(jié)為表4-1。

例4-6圖4-15(a)所示外伸梁，承受均布載荷q、集中載荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa，Me=qa2，試作梁的剪力、彎矩圖，并檢驗(yàn)其正確性。圖4-15

例4-7一外伸梁受均布載荷和集中力偶作用，如圖4-16(a)所示。試作梁的剪力、彎矩圖。圖4-16

解(1)求約束力。以懸臂梁為研究對(duì)象，根據(jù)靜平衡方程可求得A、B兩處的約束力分別為

(2)繪制剪力圖。根據(jù)梁的受力情況，將梁分為CA、AD、DB三段，CA段上作用有均布載荷，故剪力圖為一條斜直線；AD、DB段沒有載荷作用，AB間也沒有集中力作用，故剪力圖為一條水平直線。為準(zhǔn)確地畫出剪力圖，需求出以下分段截面上的剪力值：

(3)繪制彎矩圖。CA段上作用有向下的均布載荷，彎矩圖為開口向下的拋物線；AD、DB上無載荷，其彎矩圖為斜直線。為準(zhǔn)確畫出各段的彎矩圖，需求出以下各分段截面上的彎矩：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可畫出梁的彎矩圖(見圖4-16(c))。

例4-8利用微分關(guān)系畫出圖4-17所示組合梁的剪力圖與彎矩圖。圖4-17

解(1)計(jì)算支反力。梁AC受力如圖4-17(a)所示，由平衡方程得A、C處的約束反力為

梁CD(含鉸鏈C)受力如圖4-17(b)所示，由平衡方程得D處的約束反力為

(2)畫剪力圖。將整個(gè)組合梁劃分成AB、BC與CD三段，因?yàn)榱荷蟽H作用集中載荷，所以各梁段的剪力圖均為水平線，而彎矩圖則為斜直線。

利用截面法，求得各段起點(diǎn)截面的剪力分別為

上述截面的剪力值，在剪力圖中對(duì)應(yīng)a、b與c點(diǎn)，如圖4-17(c)所示。于是，在AB、BC與CD段內(nèi)，分別過a、b與c點(diǎn)畫水平直線，即得梁的剪力圖。

(3)畫彎矩圖。如上所述，各段梁的彎矩圖均為斜直線。利用截面法，求得各段起點(diǎn)與終點(diǎn)截面的彎矩分別為

4.5平面剛架與曲桿的內(nèi)力

工程中，某些機(jī)器的機(jī)身或機(jī)架的軸線是由幾段直線組成的折線，如液壓機(jī)機(jī)身、軋鋼機(jī)機(jī)架、鉆床床架(見圖4-18)等。在這種結(jié)構(gòu)中，桿與桿的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。由于其剛度很大，受力前后節(jié)點(diǎn)處各桿間的夾角保持不變，即桿與桿在節(jié)點(diǎn)處不發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此這樣的節(jié)點(diǎn)稱為剛節(jié)點(diǎn)。由剛節(jié)點(diǎn)連接桿件組成的結(jié)構(gòu)稱為剛架。剛節(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力通常包含軸力、剪力和彎矩。

圖4-18

工程中還有一些構(gòu)件，其軸線是一條平面曲線，稱為平面曲桿，如活塞環(huán)、鏈環(huán)、拱(見圖4-19)等。平面曲桿橫截面上的內(nèi)力通常包含軸力、剪力和彎矩。下面舉例說明平面剛架和平面曲桿內(nèi)力的計(jì)算方法和內(nèi)力圖的繪制。圖4-19

1.平面剛架

平面剛架上的軸力和剪力，其正負(fù)規(guī)定與直桿相同。而彎矩沒有正負(fù)號(hào)的規(guī)定，彎矩圖畫在桿件受壓纖維的一側(cè)即可。

例4-9圖4-20(a)所示剛架ABC，設(shè)在AB段承受均布載荷q作用，試分析剛架的內(nèi)力，畫出內(nèi)力圖。

圖4-20

2.平面曲桿

平面曲桿橫截面上軸力和剪力正負(fù)號(hào)的規(guī)定與直桿相同。彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定為：使軸線曲率增加的彎矩為正，反之為負(fù)。畫內(nèi)力圖時(shí)，以桿的軸線為基準(zhǔn)線，可將正軸力和正剪力畫在曲桿內(nèi)凹的一側(cè)，將彎矩圖畫在曲桿受壓的一側(cè)，并以曲率半徑方向的值度量其大小。

例4-10圖4-21所示的曲桿軸線為四分之一圓弧，A處受力F作用。試畫出曲桿的彎矩圖。圖4-21

解(1)內(nèi)力分析。為了分析內(nèi)力，在極角為φ的任意橫截面處假想地將曲桿切開，選取上段AC為研究對(duì)象，如圖4-21(b)所示。AC在力F及曲桿內(nèi)力的作用下應(yīng)處于平衡狀態(tài)，曲桿內(nèi)力包括軸力FN、剪力FS、彎矩M。根據(jù)靜平衡方程可得內(nèi)力方程分別為

(2)畫出內(nèi)力圖。根據(jù)內(nèi)力方程即可畫出曲桿的內(nèi)力圖，其彎矩圖如圖4-21(c)所示。作圖時(shí)，以曲桿的軸線為基線，并將與所求彎矩相應(yīng)的點(diǎn)，描在軸線的法線上。彎矩圖畫在曲桿受壓的一側(cè)。

4-1試計(jì)算題4-1圖所示各梁1、2、3、4截面的剪力與彎矩(2、3截面無限接近于C,1截面無限接近于左端部)。題4-1圖

4-2試列出題4-2圖所示各梁的剪力、彎矩方程,作剪力、彎矩圖,并標(biāo)出各特征點(diǎn)的值,寫出│FS│max及│M│max。題4-2圖

4-3試?yán)L制題4-3圖所示各梁的剪力、彎矩圖,并利用FS、M與q間的微分關(guān)系進(jìn)行校核。題4-3圖

4-4

題4-4圖所示簡(jiǎn)支梁,載荷可按四種方式作用于梁上,試分別畫出彎矩圖,并從內(nèi)力方面考慮何種加載方式最好。圖4-4

4-5試?yán)眉袅?、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系檢查下列剪力、彎矩圖(見題4-5圖),并將錯(cuò)誤處加以改正。題4-5圖

4-6設(shè)一塔器,受到集度為q=0.384kN/m的水平方向風(fēng)載荷作用,高為h=10m,假定風(fēng)載荷沿塔高呈均勻分布,如題4-6圖所示。試求塔器的最大剪力和最大彎矩。題4-6圖

4-7用起重機(jī)起吊一根等截面鋼管,如題4-7圖所示,已知鋼管長(zhǎng)為l,鋼管單位長(zhǎng)度重力為q,從彎曲內(nèi)力角度考慮,問吊裝點(diǎn)位置x為多少時(shí)最合理?題4-7圖

4-8試根據(jù)彎曲內(nèi)力的知識(shí),說明如題4-8圖所示的標(biāo)準(zhǔn)雙杠為什么尺寸設(shè)計(jì)成a=l/4?題4-8圖

4-9鍋爐支承如題4-9圖所示,若只考慮鍋爐自重和內(nèi)含物重量,且設(shè)沿長(zhǎng)度方向均勻分布,集度為q。

(1)為求梁的內(nèi)力,試畫出其計(jì)算簡(jiǎn)圖;

(2)欲使最大彎矩值(絕對(duì)值)為最小,問a∶l=?(提示:使支座處的彎矩值與跨中的彎矩值相等)。題4-9圖

4-10試畫出題4-10圖所示組合梁的剪力、彎矩圖。(提示:因中間鉸不能傳遞力偶,故該處彎矩一定為零。)題4-10圖

4-11試畫題4-11圖所示剛架的內(nèi)力圖。題4-11圖第5章彎曲應(yīng)力5.1彎曲正應(yīng)力5.2彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介5.3彎曲強(qiáng)度條件及其應(yīng)用5.4提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施習(xí)題

5.1彎曲正應(yīng)力

一般情況下，梁橫截面上同時(shí)存在剪力FS和彎矩M。由于只有切向微內(nèi)力τdA才可能構(gòu)成剪力，也只有法向微內(nèi)力σdA才可能構(gòu)成彎矩，如圖5-1(a)所示。因此，在梁的橫截面上將同時(shí)存在正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ(見圖5-1(b))。梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別稱為彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力。

圖5-1

在圖5-2(a)中，簡(jiǎn)支梁上的兩個(gè)外力F對(duì)稱地作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，其剪力圖、彎矩圖如圖5-2(b)、(c)所示。從圖中可以看出，在AC、DB梁段內(nèi)，橫截面上既有剪力又有彎矩，因而既有切應(yīng)力又有正應(yīng)力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲；在CD段內(nèi)梁橫截面上的剪力為零，彎矩為常量，因而橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力，這種彎曲稱為純彎曲。研究梁的彎曲正應(yīng)力，必須從試驗(yàn)現(xiàn)象分析入手，綜合考慮幾何、物理與靜力學(xué)三方面因素。

圖5-2

5.1.1試驗(yàn)與假設(shè)

首先觀察梁的變形。研究具有縱向?qū)ΨQ截面的梁(如矩形截面梁)，在梁表面畫出平行于軸線的縱線ab、cd以及垂直于軸線的橫線11、22(見圖5-3(a))，然后在梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)加載，使梁處于純彎曲狀態(tài)，其彎矩為M(見圖5-3(b))，可觀察到以下現(xiàn)象：

(1)梁表面的橫線仍為直線，仍與縱線正交，只是各橫線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

(2)縱線由直線彎成同心圓弧線，靠近梁底面的縱線伸長(zhǎng)，靠近梁頂面的縱線縮短。

(3)原來的矩形截面，下部變窄，上部變寬。

圖5-3

根據(jù)上述現(xiàn)象，提出以下假設(shè)：

(1)平面假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與變形后的軸線正交。在變形過程中，橫截面只不過發(fā)生了“剛性”轉(zhuǎn)動(dòng)。

(2)單向受力假設(shè)：梁的縱向“纖維”僅發(fā)生軸向伸長(zhǎng)或縮短，即只承受軸向拉力或壓力。也就是說，縱向“纖維”之間無擠壓作用。

根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時(shí)上面部分縱向“纖維”縮短，下面部分縱向“纖維”伸長(zhǎng)，由變形連續(xù)性假設(shè)可知，從伸長(zhǎng)區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一層既不伸長(zhǎng)也不縮短的過渡層，將這層長(zhǎng)度不變的“纖維”層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸(見圖5-4)。平面彎曲時(shí)，梁的變形對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，故中性軸必然垂直于截面的縱向?qū)ΨQ軸。

圖5-4

5.1.2彎曲正應(yīng)力的一般公式

1.幾何關(guān)系

純彎曲時(shí)梁的縱向“纖維”由直線變?yōu)閳A弧，相距dx的兩橫截面1'1'和2'2'繞各自中性軸發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖5-5所示。橫截面1'1'和2'2'的延長(zhǎng)線相交于O點(diǎn)，O即為中性層的曲率中心。設(shè)中性層的曲率半徑為ρ，此兩橫截面夾角為dθ，則距中性層為y處的縱向“纖維”原始長(zhǎng)度為ab，變形后長(zhǎng)度為a'b'。該纖維的正應(yīng)變?yōu)?/p>

(a)式表明，任意點(diǎn)處纖維的線應(yīng)變與該纖維列中性層距離成正比。

圖5-5

2.物理關(guān)系

根據(jù)縱向纖維假設(shè)，各縱向“纖維”處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)，因此，當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，胡克定律成立，由此得橫截面上距中性層y處的正應(yīng)力為

式(b)表示了純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律。由此式可知，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，距中性軸等遠(yuǎn)的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力相等，中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零。正應(yīng)力分布形式如圖5-6(a)所示，一般可用圖5-6(b)簡(jiǎn)便地表示。

圖5-6

3.靜力學(xué)關(guān)系

上面雖已得到正應(yīng)力分布規(guī)律，但還不能用式(b)直接計(jì)算梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。至此有兩個(gè)問題尚未解決：

一是中性層的曲率半徑ρ未知；

二是中性軸位置未知，故式(b)中的y還無法確定。要解決這兩個(gè)問題，需從靜平衡關(guān)系入手。

設(shè)橫截面的縱向?qū)ΨQ軸為y軸，中性軸為z軸，梁軸線為x軸，繞點(diǎn)(y，z)取一微面積dA，作用在其上的法向微內(nèi)力為σdA(見圖5-7)，橫截面上各點(diǎn)的法向微內(nèi)力σdA組成一空間平行力系，而且橫截面上不存在軸力，僅存在位于x－y平面內(nèi)的彎矩M，根據(jù)靜平衡關(guān)系有

將式(b)代入式(c)得

式(e)中左邊的積分代表橫截面對(duì)z軸的靜矩Sz(見附錄A)。由附錄A知，只有當(dāng)z軸通過橫截面形心時(shí)，靜矩Sz才為零。由此可見，中性軸通過橫截面的形心。

將式(b)代入式(d)，得

即

此式為用曲率表示的彎曲變形公式。式中

為橫截面對(duì)z軸的慣性矩(見附錄A)。EIz稱為梁橫截面的抗彎剛度。

將式(5-1)代入式(b)，可得純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式為

此式為彎曲正應(yīng)力的一般公式。

5.1.3最大彎曲正應(yīng)力

工程中最感興趣的是橫截面上的最大正應(yīng)力，也就是橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力。將y=ymax代入式(5-2)，可得

令

圖5-8

5.1.4彎曲正應(yīng)力公式的適用范圍

彎曲正應(yīng)力公式是在純彎曲情況下推出的。當(dāng)梁受到橫向力作用時(shí)，一般橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為橫力彎曲。剪力會(huì)在橫截面上引起切應(yīng)力τ，從而存在切應(yīng)變?chǔ)?τ/G。由于切應(yīng)力沿梁截面高度變化(見下一節(jié))，故切應(yīng)變?chǔ)醚亓航孛娓叨纫彩欠蔷鶆虻?。因此，橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面不再保持平面而發(fā)生翹曲，如圖5-9中的1－1截面變形后成為1'1'截面。既然如此，以平面假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)的彎曲正應(yīng)力公式，在橫力彎曲時(shí)就不能適用。

圖5-9

例5-1圖5-10(a)所示懸臂梁，受集中力F與集中力偶Me作用，其中F=5kN，Me=7.5kN·m，試求梁上B點(diǎn)左鄰面11上的最大彎曲正應(yīng)力、該截面K點(diǎn)處的正應(yīng)力及全梁的最大彎曲正應(yīng)力。圖5-10

解(1)內(nèi)力分析。作出該梁的彎矩圖如圖5-10(b)所示，由彎矩圖可知，截面1－1的彎矩為

全梁最大彎矩在梁固定端截面A處，即

(2)計(jì)算彎曲正應(yīng)力。截面1－1上，圖示K點(diǎn)彎曲正應(yīng)力為

計(jì)算時(shí)，只取絕對(duì)值計(jì)算，由于該截面彎矩為負(fù)，中性軸以下部分受壓，故K點(diǎn)為壓應(yīng)力。

截面1－1上最大彎曲正應(yīng)力為

此梁為等截面直梁，故全梁最大彎曲正應(yīng)力在最大彎矩所在截面上，其值為

σ1max、σmax均在各自截面上、下邊緣處，因彎矩M1為負(fù)值，截面1－1的上邊緣為拉應(yīng)力，下邊緣為壓應(yīng)力；而M

max為正值，固定端A截面的上邊緣為壓應(yīng)力，下邊緣為拉應(yīng)力。

5.2彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介

5.2.1矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力矩形截面梁的任意橫截面上，剪力FS皆與橫截面的對(duì)稱軸y重合(見圖5-11(b))。設(shè)橫截面的高度為h，寬度為b，現(xiàn)研究彎曲切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律。首先對(duì)彎曲切應(yīng)力的分布作如下假定：(1)橫截面各點(diǎn)處的切應(yīng)力均平行于剪力或截面?zhèn)冗叀?2)切應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布(見圖5-11(b))。

圖5-11

在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。按照這兩個(gè)假設(shè)，在距中性軸為y的橫線pq上，各點(diǎn)的切應(yīng)力τ都相等，且都平行于FS。再由切應(yīng)力互等定理可知，在沿pq切出的平行于中性層的平面pr上，也必然有與τ相等的τ'(見圖5-12)，而且τ'沿寬度b也是均勻分布的

圖5-12

距中性軸為y處橫線以下部分截面對(duì)中性軸z的靜矩為

S*z(見圖5-13)，其值為

將上式及Iz=bh3/12代入公式(5-9)，可得

上式表明：矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布(見圖5-13)。在截面上、下邊緣切應(yīng)力τ=0；在中性軸(y=0)處，彎曲切應(yīng)力最大，其值為

式中A為橫截面面積。圖5-13

5.2.2圓形截面梁的彎曲切應(yīng)力

由切應(yīng)力互等定理可知，圓形截面梁任意橫截面周邊處的切應(yīng)力必須與周邊相切，故圓截面上切應(yīng)力不可能與剪力FS平行。但圓截面梁最大彎曲切應(yīng)力τmax仍在中性軸上，故

可假設(shè)中性軸上的切應(yīng)力方向均平行于剪力FS，且中性軸上各點(diǎn)處切應(yīng)力相等(見圖5-14)。

仍可用式(5-9)來計(jì)算圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力τmax，式中的寬度b此時(shí)應(yīng)為圓的直徑d，而S*z(ω)則為半圓截面對(duì)中性軸的靜矩，其值為

圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力為圖5-14

5.2.3薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力

工程中常采用工字形、薄壁圓環(huán)形及盒形等形狀的薄壁截面梁。由于這類梁截面的壁厚比其他截面尺寸小得多，故可作如下假設(shè)：

(1)彎曲切應(yīng)力平行于截面?zhèn)冗叀?/p>

(2)彎曲切應(yīng)力沿厚度方向均勻分布。

在上述假設(shè)下，進(jìn)一步可推得工字形截面梁彎曲切應(yīng)力的一般公式為

最大彎曲切應(yīng)力為

工字形截面梁的截面由上、下兩翼緣和腹板組成(見圖5-15(a))，剪力主要由腹板承擔(dān)，當(dāng)腹板厚度δ遠(yuǎn)小于翼緣寬度b時(shí)，腹板上的切應(yīng)力可認(rèn)為均勻分布，即

對(duì)于薄壁圓環(huán)形截面梁，橫截面上的彎曲切應(yīng)力方向沿圓環(huán)切線方向，由于壁厚δ遠(yuǎn)小于圓環(huán)平均半徑R0，因此切應(yīng)力沿厚度均勻分布，如圖5-15(c)所示。最大彎曲切應(yīng)力在截面中性軸上，其值約為

式中，A為梁橫截面面積。

圖5-15

5.2.4彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力的比較

現(xiàn)在對(duì)梁橫截面上的彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力加以比較。

某矩形截面懸臂梁如圖5-16所示。在自由端受集中力F作用，梁內(nèi)的最大彎矩及最大剪力分別為

由式(5-5)、式(5-10)可知最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力分別為

兩者的比值為

由上式可以看出，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁(l/h>5)，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力。更多的計(jì)算表明對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的(l/h>5)非薄壁截面梁(包括實(shí)心和厚壁截面梁)，彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于彎曲切應(yīng)力，強(qiáng)度計(jì)算時(shí)一般只考慮彎曲正應(yīng)力，而不必考慮彎曲切應(yīng)力的影響。圖5-16

例5-2T字形梁橫截面如圖5-17所示，截面對(duì)中性軸z的慣性矩Iz=8.84×10-6m4，該截面上的剪力FS=15kN，平行于y軸。試計(jì)算該截面的最大彎曲切應(yīng)力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲切應(yīng)力。圖5-17

解(1)計(jì)算最大彎曲切應(yīng)力。最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中

性軸z上，中性軸一側(cè)(如下側(cè))部分截面對(duì)中性軸的靜矩為

故最大彎曲切應(yīng)力為

(2)計(jì)算腹板、翼緣交接處的彎曲切應(yīng)力。由圖5-17知，腹板和翼緣交接線一側(cè)(如上側(cè))部分截面ω對(duì)中性軸z的靜矩為

故該交接處的彎曲切應(yīng)力為

5.3彎曲強(qiáng)度條件及其應(yīng)用5.3.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件一般等截面直梁彎曲時(shí)，彎矩最大(包括最大正彎矩和最大負(fù)彎矩)的橫截面均為梁的危險(xiǎn)截面。如果梁的拉伸和壓縮許用應(yīng)力相等，則彎矩絕對(duì)值最大的截面為危險(xiǎn)截面，最大彎曲正應(yīng)力σmax發(fā)生在危險(xiǎn)截面的上下邊緣處。為了保證梁安全正常地工作，最大工作應(yīng)力σmax不得超過材料的許用正應(yīng)力[σ]，于是梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

如果制成梁的材料是鑄鐵、陶瓷等脆性材料，其拉伸、壓縮許用應(yīng)力不等，則應(yīng)分別求出最大正彎矩、最大負(fù)彎矩所在橫截面上的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力，可寫出抗拉強(qiáng)度

條件和抗壓強(qiáng)度條件分別為

式中[σt]和[σc]分別為材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。

進(jìn)行彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算的一般步驟如下：

(1)根據(jù)梁約束的性質(zhì)分析梁的受力，確定約束力。

(2)畫出梁的彎矩圖，確定可能的危險(xiǎn)截面。

(3)確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于拉、壓強(qiáng)度相同的塑性材料(如低碳鋼等)，最大拉應(yīng)力作用點(diǎn)與最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)具有相同的危險(xiǎn)性，通常不加區(qū)分；對(duì)于拉、壓強(qiáng)度不同的脆性材料(如鑄鐵等)，最大拉應(yīng)力作用點(diǎn)和最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)都有可能是危險(xiǎn)點(diǎn)。

(4)應(yīng)用正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

5.3.2彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件

在某些特殊情形下，例如焊接或鉚接的工字形等薄壁截面梁、短粗梁、支座附近有較大集中力作用的細(xì)長(zhǎng)梁、各向異性材料制成的梁等，切應(yīng)力也可能達(dá)到很大數(shù)值，致使結(jié)構(gòu)發(fā)生強(qiáng)度失效，因而必須將梁內(nèi)橫截面上的最大切應(yīng)力限制在許用的范圍內(nèi)，即

對(duì)于一般等截面直梁，τmax一般發(fā)生在FSmax作用面的中性軸上；[τ]為許用切應(yīng)力。

例5-3煤氣發(fā)生爐重W=500kN。爐子對(duì)稱地放置在四根橫梁上(見圖5-18(a))。每根橫梁承受載荷125kN，這四根橫梁又各自擱在由兩根No32a號(hào)槽鋼組成的四根大梁上。大梁材料的許用彎曲正應(yīng)力為[σ]=80MPa，試按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核該大梁是否安全。

圖5-18

例5-4圖5-19(a)所示為造紙機(jī)上的實(shí)心階梯形圓截面輥軸，中段BC受均布載荷作用。已知載荷集度q=1kN/mm，許用正應(yīng)力[σ]=140MPa，試設(shè)計(jì)輥軸的截面直徑。圖5-19

例5-5-圖5-20(a)所示梁截面為T字形，橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩Iz=26.1×106mm4，中性軸距截面上、下邊緣的尺寸分別為y1=48mm，y2=142mm。梁由鑄鐵制成，許用拉應(yīng)力[σt]=40MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=110MPa，載荷及梁尺寸如圖5-20(a)所示。試校核梁的強(qiáng)度。圖5-20

解(1)計(jì)算約束力。由靜平衡方程計(jì)算梁支座A、B的約束力分別為

(2)作彎矩圖。繪出梁的彎矩圖如圖5-20(b)所示。由圖可知，最大正彎矩在截面C，最大負(fù)彎矩在截面B。因?yàn)門字形截面梁不對(duì)稱于中性軸z，且材料的許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力不相等，所以B、C兩截面均為危險(xiǎn)截面，彎矩絕對(duì)值為

(3)校核強(qiáng)度。截面C與的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖5-20(c)、(d)所示。截面C的a點(diǎn)與截面B的d點(diǎn)均為各自截面的最大壓應(yīng)力點(diǎn)；而截面C的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)均為各自截面的最大拉應(yīng)力點(diǎn)。

由于MB>MC，y2>y1，因此

即梁內(nèi)最大彎曲壓應(yīng)力發(fā)生在截面B的d點(diǎn)處；而最大彎曲拉應(yīng)力發(fā)生在b點(diǎn)處或c點(diǎn)處，須經(jīng)計(jì)算后才能確定。所以，b、c、d三點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)。

b、c、d三點(diǎn)處彎曲正應(yīng)力的絕對(duì)值分別為

由此得

故梁滿足強(qiáng)度要求。

例5-6圖5-21(a)所示簡(jiǎn)易起重機(jī)梁，用單根工字鋼制成，已知載荷F=20kN，并可沿梁軸移動(dòng)(0<η<l)，梁跨度l=6m，材料許用正應(yīng)力[σ]=100MPa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。圖5-21

解(1)計(jì)算約束力。如圖5-21(a)所示，截荷位置用坐標(biāo)η表示，其支座A的約束力為

5.4提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施

梁橫截面上的彎曲正應(yīng)力沿高度方向呈線性分布，當(dāng)距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處的正應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力值時(shí)，中性軸附近各點(diǎn)處的正應(yīng)力仍很小。因此，在距中性軸較遠(yuǎn)的位置，配置較多的材料，將提高材料的利用率。一般情況下，抗彎截面模量與截面高度的平方成正比，當(dāng)截面面積A一定時(shí)，宜將較多的材料放置在距中性軸較遠(yuǎn)的位置，以增大抗彎截面模量Wz。

當(dāng)截面面積一定時(shí)，圓形截面(見圖5-22(a))的抗彎截面模量為

矩形截面(見圖5-22(b))的抗彎截面模量為

因此從強(qiáng)度方面考慮，矩形截面比圓形截面更合理。圖5-22

對(duì)于給定截面面積為A和高度為h的截面，最有利的情況是將材料的一半各分布在距中性軸h/2處(見圖5-22(c))，其抗彎截面模量為

然而這種極限情況是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵诹褐行暂S附近，必須有一定的材料將兩翼緣連接起來，如工字形截面就比較接近上述情況(見圖5-22(d))。此外，由于彎曲切應(yīng)力在中性軸附近達(dá)到最大值，腹板部分還起著抵抗剪切破壞的作用。因此，腹板必須有一定的厚度，否則會(huì)發(fā)生皺折(即局部失穩(wěn))而降低梁的承載能力。

對(duì)于許用拉應(yīng)力、許用壓應(yīng)力不相等的脆性材料梁，采用T字形、槽形等只有一根對(duì)稱軸的截面較為合理。在安裝支承和施加外載荷時(shí)，應(yīng)盡量使中性軸偏向截面受拉一側(cè)，

如圖5-23所示。

圖5-23

2.改善梁的受力狀況

提高梁強(qiáng)度的另一重要措施就是改善梁的受力狀況，從而降低最大彎矩值?？梢詮膬煞矫娓纳屏旱氖芰η闆r，

一是改變加載方式，

二是調(diào)整梁的約束，這些都可以減小梁上的最大彎矩值。

圖5-24

即后者的最大彎矩僅為前者的1/5。但是隨著支座向梁的中點(diǎn)移動(dòng)，梁中間截面上彎矩減小，而支座處截面上的彎矩卻逐漸增大。支座最合理的位置是使梁中間截面上的彎矩正好等于支座處截面上的彎矩。有興趣的讀者不妨計(jì)算一下最合理的支座位置應(yīng)在何處。

圖5-25

例5-7為了改善載荷分布，在主梁AB上安置輔助梁CD。若主梁和輔助梁的抗彎截面系數(shù)分別為Wz1和Wz2，材料相同，試求a的合理長(zhǎng)度。

解(1)畫彎矩圖。作主梁AB和輔助梁CD的彎矩圖，分別如圖5-26(a)、(b)所示。

圖5-26

(2)求主梁和輔助梁中的最大正應(yīng)力。

主梁的最大彎曲正應(yīng)力為

輔助梁的最大彎曲正應(yīng)力為

(3)求a的合理長(zhǎng)度。最合理情況為主梁與輔助梁的最大彎曲正應(yīng)力相等，即

3.采用等強(qiáng)度梁

通常情況下，梁內(nèi)各橫截面上的彎矩是不同的。在按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，只有危險(xiǎn)截面邊緣處的應(yīng)力達(dá)到了許用應(yīng)力，而其他截面上的彎曲正應(yīng)力都比許用應(yīng)力小，材料未得到充分利用。因此，在工程實(shí)際中，常根據(jù)彎矩沿梁軸的變化情況將梁也相應(yīng)設(shè)計(jì)成變截面。如果截面沿梁軸的變化，恰好使每個(gè)截面上的最大彎曲正應(yīng)力均相等，且等于許用應(yīng)力，則這樣的變截面梁稱為等強(qiáng)度梁。

在等強(qiáng)度梁中

由此可得

式中的M(x)、W(x)分別表示任意截面x的彎矩和抗彎截面模量。

根據(jù)彎矩沿梁截面的變化規(guī)律，由式(5-18)可設(shè)計(jì)出等強(qiáng)度梁的截面變化規(guī)律。圖5-27中的汽車板簧即為近似的等強(qiáng)度梁。圖5-27

習(xí)題題5-1圖5-1題5-1圖所示截面梁,彎矩位于縱向?qū)ΨQ面(即x-y平面)內(nèi)。試作出沿直線1-1與2-2的彎曲正應(yīng)力分布圖(C為截面形心,以下各題相同)。

5-2如題5-2圖所示直徑為d的金屬絲繞在直徑為D的輪緣上,已知材料彈性模量為E,試求金屬絲中的最