北師大九年級下冊數(shù)學教案3.6 第1課時 直線和圓的位置關系及切線的性質1

PAGE3.6直線和圓的位置關系第1課時直線和圓的位置關系及切線的性質1．理解直線和圓的相交、相切、相離三種位置關系；(重點)2．掌握直線和圓的三種位置關系的判定方法；(難點)3．掌握切線的性質定理，會用切線的性質解決問題．(重點)一、情境導入在紙上畫一條直線，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動硬幣，你能發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點個數(shù)的變化情況嗎？公共點個數(shù)最少時有幾個？最多時有幾個？二、合作探究探究點一：直線和圓的位置關系【類型一】判定直線和圓的位置關系已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點，若MO＝3，則直線AB與⊙O的位置關系為()A．相切B．相交C．相切或相離D．相切或相交解析：因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于3，則直線和圓相交、相切都有可能．故選D.方法總結：判斷直線和圓的位置關系，必須明確圓心到直線的距離．特別注意：這里的3不一定是圓心到直線的距離．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題【類型二】根據(jù)直線和圓的位置關系，求線段的長或取值范圍在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點D，若以點C為圓心，以2cm長為半徑的圓與斜邊AB相切，那么BC的長等于()A．2cmB．2eq\r(2)cmC．2eq\r(3)cmD．4cm解析：如圖所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．∵以點C為圓心，以2cm長為半徑的圓與斜邊AB相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45°，∴CD＝BD＝2cm，∴BC＝eq\r(CD2＋BD2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)(cm)．故選B.方法總結：解決問題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用直線和圓的三種位置關系解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題【類型三】在平面直角坐標系中，解決直線和圓的位置關系的問題如圖，在平面直角坐標系中，已知⊙O的半徑為1，動直線AB與x軸交于點P(x，0)，且滿足直線AB與x軸正方向夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點，則x的取值范圍是()A．－1≤x≤1B．－eq\r(2)＜x＜eq\r(2)C．0≤x≤eq\r(2)D．－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)解析：當直線AB與⊙O相切且與x軸正半軸相交時，設切點為C，連接OC.∵直線AB與x軸正方向夾角為45°，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半徑為1，∴OC＝PC＝1，∴OP＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴點P的坐標為(eq\r(2)，0)．同理可得，當直線AB與x軸負半軸相交時，點P的坐標為(－eq\r(2)，0)，∴x的取值范圍為－eq\r(2)≤x≤eq\r(2).故選D.方法總結：解決本題要熟知直線和圓的三種位置關系，關鍵是有公共點的情況不要遺漏．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題探究點二：切線的性質【類型一】利用切線的性質求線段長如圖，CB是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PB＝2，PA切⊙O于A點，PA＝4.求⊙O的半徑．解析：設圓的半徑是x，利用勾股定理可得關于x的方程，求出x的值．解：如圖，連接OA，∵PA切⊙O于A點，∴OA⊥PA.設OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OPA中，x2＋42＝(x＋2)2，∴x＝3，∴⊙O的半徑為3.方法總結：運用切線的性質來進行計算或證明時，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題【類型二】圓的切線與相似三角形的綜合如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于E，連接CD.(1)求證：點E是邊BC的中點；(2)求證：BC2＝BD·BA；(3)當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形．解析：(1)利用切線的性質及圓周角定理證明；(2)利用相似三角形證明；(3)利用正方形的性質證明．證明：(1)如圖，連接OD.∵DE為切線，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC，即點E為邊BC的中點；(2)∵AC為直徑，∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BC2＝BD·BA；(3)當四邊形ODEC為正方形時，∠OCD＝45°.∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠OCD＝180°－90°－45°＝45°，∴Rt△ABC為等腰直角三角形．方法總結：本題的綜合性比較強，但難度不大，解決問題的關鍵是綜合運用學過的知識解答．另外，連接圓心和切點，構造直角三角形也是解題的關鍵．【類型三】圓的切線與三角函數(shù)的綜合如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線與AD的延長線交于F點．(1)求證：∠ABC＝∠F；(2)若sinC＝eq\f(3,5)，DF＝6，求⊙O的半徑．解析：(1)由切線的性質得AB⊥BF，因為CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行線的性質得∠ADC＝∠F，由圓周角定理的推論得∠ABC＝∠ADC，于是證得∠ABC＝∠F；(2)連接BD.由直徑所對的圓周角是直角得∠ADB＝90°，因為∠ABF＝90°，然后運用解直角三角形解答．(1)證明：∵BF為⊙O的切線，∴AB⊥BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90°，∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F；(2)解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.由(1)可知∠ABF＝90°，∴∠ABD＋∠DBF＝90°，∴∠A＝∠DBF.又∵∠A＝∠C，∴∠C＝∠DBF.在Rt△DBF中，sin∠DBF＝sinC＝eq\f(3,5)，DF＝6，∴BF＝10，∴BD＝8.在Rt△ABD中，sinA＝sinC＝eq\f(3,5)，BD＝8，∴AB＝eq\f(40,3).∴⊙O的半徑為eq\f(20,3).方法總結：運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．三、板書設計直線和圓的位置關系及切線的性質1．直線和圓的位置關系：①直線l與圓O相交?d＜r；②直線l