同濟大學高等數學第二章導數與微分

第二篇一元函數微積分

第二章導數及微分

微積分學包含微分學和積分學兩部分，而導數和微分是微分

學的核心概念.導數反映了函數相對于自變量的變化的快慢程

度，微分則指明了當自變量有微小變化時，函數大體上變化了多

少，即函數的局部改變量的估值.本章主要討論導數和微分的概

念、性質以及計算方法和簡單應用.

第1節(jié)導數的概念

1.1導數概念的引入

1.1.1質點做變速直線運動的瞬時速度問題

現(xiàn)有一質點做變速直線運動，質點的運動路程S及運動時間1

的函數關系式記為S=S⑺，求在"時刻時質點的瞬時速度V&）為多

少？

整體來說速度是變化的，但局部來說速度可以近似看成是不

變的.設質點從時刻％改變到時刻％+。，在時間增量所內，質點

經過的路程為Av=S?o+。）-6&），在。時間內的平均速度為

當時間增量囹越小時，平均速度下越接近于時刻％的瞬時速

度丫伉），于是當加-0時，萬的極限就是質點在時刻，。時的瞬時速

度V4），即

1.1.2平面曲線的切線斜率問題

已知曲線C:y=/（x）,求曲線C上點%.（%,%）處的切線斜率.

欲求曲線。上點“。（％,為）的切線斜率，由切線為割線的極限位

置，容易想到切線的斜率應是割線斜率的極限.

圖2-1

如圖2T所示，取曲線。上另外一點M(Xo+Ar,%+4v)，則割線

的斜率為

當點M沿曲線。趨于峪時，即當—0時，M也的極限位置

就是曲線。在點M,的切線”一,此時割線的傾斜角0趨于切線的

傾斜角C，故切線的斜率為

前面我們討論了瞬時速度和切線斜率兩個問題，雖然實際意

義不同，但如果舍棄其實際背景，從數學角度看，卻有著相同的

數學形式，即當自變量的改變量趨于零時，求函數的改變量及自

變量的改變量之比的極限.在自然科學、社會科學和經濟領域中，

許多問題都可以轉化為上述極限形式進行研究，如電流強度、人

口增長速度、國內生產總值的增長率、邊際成本和邊際利潤等.因

此，我們舍棄這些問題的實際意義，抽象出它們數量關系上的共

同本質一一導數.

1.2導數的概念

1.2.1函數在一點處的導數

定義1設函數y=/(x)在點/的某領域。(x0@)內有定義，自變

量x在/處取得增量Ax,且不+AreU(Xo，S)時，函數取得相應的增

量與=/(%+加:)-/(>0),如果極限

存在，那么稱函數y=/(x)在點與可導，并稱此極限值為函數

Kx)在點X。的導數，記作八今，甯|，即

注：(1)由導數的定義可得及其等價的定義形式

(2)若極限lim包不存在，則稱函數y=/(x)在點與不可導.特

Ax

別地，若lim包=oo,也可稱函數y=/(x)在點與的導數為無窮大，

―一。Ax

此時y=/(x)在點x。的切線存在，它是垂直于x軸的直線x=x°.

例1設〃%)=『,求『(3).

X

解根據導數的等價定義，可得

例2設/(/)=-2,求下列極限：

(1)lim/(x0+3Ax)-/(x0).聞)1向"飛+①一”%一份.

-Ax'/°h

解

(1)lim"Xo+3Ax)T(Xo)=§5"x0+3Ax)-/(x°)=3r每)=-6.

-Ax以.。3Ax

(o\/(x+/z)-/(x-/i)_/(x+h)-/(x)+/(x)-/(x-h)

i乙)ivnn-----0--------------0-------nm------0--------------0----------0---------0------

—0h力-oh

1.2.2單側導數

導數是由函數的極限來定義的，因為極限存在左、右極限，

所以導數也存在左、右導數的定義.

定義2(1)設函數y=/(x)在點X。的某左鄰域內有定義，當

自變量x在點/左側取得增量極時，如果極限lim/^o+Ar)-/(xo)

A%

或lim""③存在，則稱此極限值為y"⑺在點飛的左導數，

X—玉)

記為土'5),即

(2)設函數y=/(x)在點/的某右鄰域內有定義，當自變量x

在點與右側取得增量4時，如果極限lim/g+Ax)-/(x。)或

以一。+Ax

lim/(x)./(x。)存在,則稱此極限值為y=/(x)在點X。的右導數，記

%-Hx-x0

為￡(%)，即

由極限存在的充要條件可得函數y=/(x)在點x。可導的充要

條件如下：

定理1函數y=/(x)在點/可導o('(%)和九'(%)存在且相等.

例3研究函數/(x)=|x|在點x=0的可導性.

解因為="U，所以

羽x>0

從而('(0),<(0),因此f(x)=國在點"=0不可導.

1.2.3導函數

定義3(1)若函數y=/(x)在區(qū)間(g。)內每一點均可導，則

稱y=/(x)在區(qū)間(。,。)內可導；

(2)若函數y=/(x)在區(qū)間(a,。)內可導，在區(qū)間左端點a的右

導數九'⑷和區(qū)間右端點匕的左導數('(。)均存在,則稱y=/(x)在閉

區(qū)間［①加上可導.

定義4若函數y=/(x)在區(qū)間/(可以是開區(qū)間、閉區(qū)間或半

開半閉區(qū)間)上可導，且對于任意的xe/,都對應著一個導數值

尸(x),其是自變量X的新函數，則稱/(x)為y=/(x)在區(qū)間/上的

導函數，記作r(x),y,用，手，即

axax

r(x)=lim/(x+Kfx)或r(x)=lin/—⑺.

A10Axh-0h

注：(1)在導函數的定義式中，雖然x可以取區(qū)間/上的任意

值，但在求極限的過程中，x是常數，極和人是變量.

(2)導函數也簡稱為導數，只要沒有指明是特定點的導數時

所說的導數都是指導函數.顯然函數了⑴在點X。處的導數八%)就

是導函數尸(X)在點X。處的函數值，即/(%)=八刈.

I尤一而

下面利用導數的定義求一些簡單函數的導數.

例4求常值函數/'(x)=c(。為常數)的導數.

,/(%+Ax)-/(%)C-C

解f'(x)=lim-----------=lim--------------=0.

—Ax-Ax

即得常值函數的導數公式：

例5求正弦函數〃x)=sinx的導數.

解小)=lim+=1而SU祠-sinx

。Ax-Ax

即得正弦函數的導數公式：

類似可得余弦函數的導數公式：

例6求指數函數/(%)=優(yōu)(。>0,叱1)的導數.

+/11

、T/(x+丸)—/(x)<2'—a'a'-1

解f'()=hm-........'''=lim-----------=axlim-------.

x20h…h(huán)小0h

由于當/i-?0時，ah-1-hlna,所以

即得指數函數的導數公式：

特別地,

例7求對數函數/?(x)=log“x(a>0,"l)的導數.

log(x+/z)-logx1,x+h

解r⑴心—*f=llim——----f-l--------=hm—log”------------

丸一。hh?hx

即得對數函數的導數公式:

特別地,

例8求惠函數/(x)=x"的導數.

解

f'(x)=lim/(—A)-/(X)=1加(龍十0"一x"=limx"~—(xw0),

人一。h力一。hh—°h

因為當時，2.0,從而+?〃生故

xVX）x

即得幕函數的導數公式：

1.3導數的幾何意義

函數/（X）在X。點可導時，導數廣（%）在幾何上表示曲線y=/（x）

在點g"（x。））處的切線斜率（圖2T）.

由此可得，曲線y=/（x）在（毛,/（毛））處的切線方程為

若八x0）=oo,可得切線的傾斜角為工或-工，此時切線方程為

22

x=xG.

當/（%）/0時，曲線y=/（x）在（七,/（%0））處的法線方程為

若/（%）=0,則法線方程為x=%.

例9求函數”必在點（1』）處的切線的斜率，并寫出在該點的

切線方程和法線方程.

解根據導數的幾何意義，函數丁=必在點（1』）處的切線的斜率

為

從而所求的切線方程為

即

所求法線的斜率為

從而所求的法線的方程為

即

1.4函數可導性及連續(xù)性的關系

定理2如果函數y=/（x）在點/處可導，那么y=/（X）在點與處

連續(xù).

證明因為y=/（x）在點x0處可導，即

其中與=/（/+/）-/（/），所以

根據連續(xù)的定義可知y=/（x）在點X。處連續(xù).

注：（1）定理2的逆命題不成立，即連續(xù)函數未必可導.

（2）如果函數在某一點不連續(xù)，那么函數在該點一定不可

導.

例10討論函數"x）=XH0在點尤=0處的連續(xù)性及可

0,x=0

導性.

解因為

所以/（X）在點％=0處連續(xù).

又因為

不存在，所以/'（尤）在點x=0處不可導.

例11討論函數=F”<1在點x=l處的連續(xù)性及可導性.

2x,x>l

解因為

所以/'（X）在點x=l處不連續(xù)，從而了⑴在點x=l處不可導.

例12設函數/⑺」2在點-0處可導，求。力.

解由于/（X）在點尤=0處可導，所以/（X）在點％=0處必連續(xù)，

即

因為

所以可得》=1.

又因為

要使/(x)在點％=0處可導，則應有1'(0)=九'(0),即a=l.所以,

如果/(x)在點尤=0處可導，則有a=l,b=l.

習題2-1

1.已知物體的運動規(guī)律為s=Z+/(m),求：

(1)物體在1s到2s這一時間段的平均速度；

(2)物體在2s時的瞬時速度.

2.設“%)=?,按定義求〃4).

3.設廣國)存在，指出下列極限各表示什么？

(1)lim-/一?A/(/)；(2)lim/(/)—小。+“)；

。Ax小。h

(3)lim^^(設/⑼=0且尸⑼存在).

4.設函數〃尤)在點x=l處連續(xù)，且lim^^=2,求廣⑴.

*—X1

X

----,xw0

5.已知函數〃x)=1+)，求力⑼和工⑼，判定廣⑼是

0,%=0

否存在？

6.求曲線y=F在點(0,1)處的切線方程和法線方程.

7.試討論函數/'(%)="‘in>"0在1=o處的連續(xù)性及可導

0,x=0

性.

8.設函數〃x)=[x'在x=l處可導，求。力的值.

[ax+b,x>l

第2節(jié)函數的求導法則

在上一節(jié)中，利用導數的定義求得了一些基本初等函數的導

數.但對于一些復雜的函數，利用導數定義去求解，難度比較

大.因此本節(jié)將介紹幾種常用的求導法則，利用這些法則和基本

求導公式就能比較簡單地求一般初等函數的導數.

2.1導數的四則運算法則

定理1如果函數"(X)和心)都在點X處可導，那么它們的和、

差、積、商(分母不為零)都在點X處可導，且

(1)[u(x)±?(%)]'=/(%)±M(x).

(2)[〃(％)?v(x)]r=/(X)?v(x)+“(％)?M(x).

特別地，

[C.〃(x)『=C./(x)(C為常數).

⑶[而卜------而------(心)川.

特別地，

證明

(1)Wx)土v(x)r=limMx+h)士心+初大⑺土儀切

丸一。h

(2)Mx).v(x)]，=lim"(X+心"a+〃)一"(》).v(x)

joh

由于v(x)在點x處可導，從而其在點x處連續(xù)，故

(3)先考慮特殊情況.當心)70時,

由于v(z)在點X處可導，從而其在點X處連續(xù)，故

因此，函數--在點X處可導，且「工]1-粵(v(x)NO).于是

v(x)|_v(x)」V(x)

注：(1)法則(1)可以推廣到有限個可導函數的和及差的求

導.如

(2)法則(2)可以推廣到有限個可導函數的積的求導.如

例1設/(X)=x2+ex-3,求尸(x).

解尸(%)=卜2+靖_3)'=(%2,+(")'式3)，=2%+靖.

例2設/?(%)=%5+%2-、求r(x).

X

=

解/(工)=卜+工2—J=(x，)+(犬)_[工]+2X+^Y.

例3設f(x)=exsinx,求f\x).

解/'(x)=(e"sinx)=(e")sinx+e"(sinx)=ex(sinx+cosx).

例4設/⑶=Wlnx,求/(%).

解/z(x)=^xexInx^=(x)e"lnx+x(e")lnx+xex(inx)

例5設/(x)=tanx,求/'(%).

解rW=(tanJ==(sinx)'cosmx(cosx)'

'^COSX)COSX

即得正切函數的導數公式：

類似可得余切函數的導數公式：

例6設“X)=secx9求r(x).

解r(x)=(secx)'=[---]=一(cos：)=sinj=secxtanx.

ICOSX)COSXCOSX

即得正割函數的導數公式：

類似可得余割函數的導數公式：

2.2反函數的求導法則

定理2如果函數x=/(y)在區(qū)間內單調、可導且八y)wO,那

么它的反函數y=L(x)在區(qū)間Ix={x|x=/(j),ye/v}內也可導，且

「尸(x)T=」一或包

L」fXy)dxdx

dy

換句話說，即反函數的導數等于原函數的導數的倒數.

證明由于x=/(y)在區(qū)間4內單調、可導(必連續(xù))，從而可

知x=/(y)的反函數丁="。)存在，且廣(x)在區(qū)間/：、內也單調、連

續(xù).

取Vxe/工，給x以增量Ax(AxwO,x+Axe/J,由y=廣⑴的單調性

可知

于是有

由于y=L(x)連續(xù)，所以

從而

例7設丁=阪5111%(-1<%<1),求y'.

解因為y=arcsinx(-1<%<1)的反函數x=siny在區(qū)間

71717171

內單調可導，且(siny)=cosywO.又因為在內

5'5

有cosy=Jl-sii?y,所以在對應區(qū)間人=(—1,1)內有

即得到反正弦函數的導數公式：

類似可得反余弦函數的導數公式：

例8設y=arctanx(xw(-co,+oo)),求y'.

解因為y=arctanx(-00<x<+oo)的反函數x=tany在區(qū)間

/,J-工工］內單調可導，且(tany)'=sec2"0,所以在對應區(qū)間

Ix內有

即得反正切函數的導數公式：

類似可得反余切函數的導數公式：

2.3復合函數的求導法則

定理3如果函數〃=g(x)在點x可導，函數y=/(〃)在相應點

"=g(x)可導，那么復合函數y=/[g(x)]在點x可導，且其導數為

g-x)或—.

axaxduax

證明因為y=/(〃)在點M可導，所以

存在，于是根據極限及無窮小的關系可得

其中a是0時的無窮小.由于上式中在其兩邊同乘Aa,

可得

用Ax#O除上式兩邊，可得

于是

根據函數在某點可導必在該點連續(xù)可知，當—0時，

△MFO,從而可得

又因為〃=g(x)在點X可導，所以

故

如果AM=O,規(guī)定a=0,那么Ay=O,止匕時Ay=/(").八〃+(/.八〃仍

成立，從而仍有

注：(1)[/(g(x))]'表示復合函數對自變量了求導，而廣口(切則

表示函數y=/(〃)對中間變量a求導.

(2)定理的結論可以推廣到有限個函數構成的復合函數.例

如，設可導函數y=/(M),M=g(V),V=0(X)構成復合函數

y=/[g(9(%))]，貝1J

例9設y=sinf,求，.

dx

解因為y=sinx2由y=sinM,M=x2復合而成，所以

例10設y=lncos(e，，求◎.

解因為y=lncos(e*)由y=ln〃,M=cosv,v=e，復合而成，所以

從以上例子可以直觀的看出，對復合函數求導時，是從外層

向內層逐層求導，故形象地稱其為鏈式法則.當對復合函數求導

過程較熟練后，可以不用寫出中間變量，而把中間變量看成一個

整體，然后逐層求導即可.

例11設y=lnsinx,求了.

解y'=——'(sinxy=——■cos%=cotx.

sinxsinx

例12設y=(%2_4x+3?，求y.

解y'=5(/_4x+3/.(％2_以+3)=10(%一2)(%2-4x+3了.

例13設y=sin〃%sin"%(〃為常數)，求y'.

解yr=(sin〃x)'sin〃1+sin〃x卜in〃％)

例14設y=ln|H，求y'.

解因為

所以，當了>0時，

當x<0時，

綜上可得

例15設/⑺可導，求尸/仙!？’的導數.

解y'1/(sin?x)]=/'(sin?"(sin?x)=/'(sin2x)-2sin%-(sin%)

2.4高階導數

變速直線運動的質點的路程函數為s=W),則速度

加速度

從而

這種導數的導數稱為二階導數，依次類推就產生了高階導數

的概念.一般地，可給出如下定義：

定義1若函數y=/(x)的導數在點X可導，則稱在點

X的導數為函數y=/(x)在點X的二階導數，記作

即

這時也稱"%)在點x二階可導.

若函數y=/(x)在區(qū)間/上每一點都二階可導，則稱它在區(qū)間/

上二階可導，并稱尸(x)為〃%)在區(qū)間/上的二階導函數，簡稱為

二階導數.

如果函數尸了(九)的二階導數/"⑴仍可導，那么可定義三階導

數：

記作

以此類推，如果函數y=/(x)的1階導數仍可導，那么可定

義〃階導數：

記作

習慣上，稱r(%)為〃%)的一階導數，二階及二階以上的導數

統(tǒng)稱為高階導數.有時也把函數八%)本身稱為“工)的零階導數，

即/⑼⑴=/（%）.

注：由高階導數的定義可知，求高階導數就是多次接連地求

導數，所以前面學到的求導方法對于計算高階導數同樣適用.

定理4如果函數"=4%）和v=v（x）都在點X處具有”階導數，那

么

（1）@±a"）=小）土網.

（2）,其中

k=0

,_n（n-l）---（H-^+l）_n\

n-_k[-{n-k）\.

特別地，（C""）=。"㈤（C為常數）.

定理4中的（2）式稱為萊布尼茲（Leibniz）公式.

例16設y=2d-5/+3X-7,求嚴.

解9=6爐—10x+3,y"=12x-10,ym=12,yw=0.

n1

—"般地，設y=+an_]X-+---1-a1x+a0>則=〃!.an,—（"+"=0.

例17設丁=為（々>0,”1）,求嚴,

解y'=a'lna,y"-axIn2a,y'"=axIn3a,=axIn4a,…，

由歸納法可得

特別地，當a=e時，（/『）=".

例18T^y=sinx9求》（〃）.

解y=sin%,

由歸納法可得

類似地，可得

例19設y=ln(l+x),求y(?)

，_1"_1_1,2(4)_1,2?3

翩7

解y=；-，y=一,—T，y=,—y=一(—

l+x(1+X)-(1+X)(1+X)

由歸納法可得

例20設丁=y（〃為任意常數），求產.

解y'=〃x"T‘=一I）%"‘y"=〃（//一1）（〃一2）x"-3,

由歸納法可得

特別地，當〃”時，可得

例21設丁=/+3f-4+05工，求爐")(〃>4).

5xn5x

解了=(%4+3/一4+e5x)(n)=(x4+3x2-4)<n)+(e廠=5e.

例22設y=e2",求產.

解設M=e2*,V=x2,則

由萊布尼茲公式，可得

2.5導數公式及基本求導法則

基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則、反函數的

求導法則及復合函數的求導法則等在初等函數的求導運算中起

著重要的作用.為了便于查閱，現(xiàn)在把這些導數公式和求導法則

歸納如下:

2.5.1基本初等函數的導數公式

(1)(c/=0(C為常數)；(2)(x，j=〃x〃T；

(3)(a*)-axlna;(4)(e)=";

1

(5)(log。x)'=(6)(in^y=—;

xlntz

(7)(sinx)=cosx;(8)(cos%)=-sinx;

(9)(tanx)=sec2x;(10)(cotx)=-esc2x;

(11)(secx)=secxtanx;(12)(cscx)=-cscxcotx;

(13)(arcsinx)(14)(arccosx)1

41-x2

(15)(arctanx)，=占(16)(arccotx)、一占

2.5.2導數的四則運算法則

設函數〃=u(x)和v=v(%)都可導，則

(1)(M士v)二，±M;(2)(w-v)=u-v+u-v;

U'V-U'V/八、

(3)(。為常數);(4)-----2——000)；

V

2.5.3反函數的求導法則

如果函數工=/(y)在區(qū)間/),內單調、可導且八y)。0,那么它的

反函數、=一(%)在區(qū)間44內也可導，且

［尸向=看或務?

dy

2.5.4復合函數的求導法則

如果函數〃=g(x)在點x可導，函數y=于(u)在相應點M=g(x)可

導，那么復合函數y=〃g(x)］在點x可導，且其導數為

-Q)H(x)或牛小哼.

axduax

2.5.5高階導數的運算法則

如果函數比=〃(%)和v=都在點x處具有n階導數，那么

(1)(〃±05)=〃5)±口5).

其中

k_左+])_n\

n~k\一左!?(——?)!?

特別地，(C"")=。"㈤(c為常數).

習題2-2

1.求下列函數的導數.

(1)y=3x2-4x+20;(2)y=%3+3-J-+10；

xx

(3)y=5V—2*+3/；(4)y=2tanx-secx;

(Z5nX)y=—1+—1=+—1=;(6)y=sinxcosx;

xy/x弋X

(7)y=ex^sinx+cosx);(8)y=x2Inxcosx;

(10)y—1+sinxa

1-sin%

2.求曲線y=2sinx+%2上橫坐標為％=0的點處的切線方程和法

線方程.

3.求下列函數的導數.

(1)y=cos(5-2x);(2)y=tan(%2)；

(3)y=sinJl+%2;(4)y=lntan^;

(5)y=ln[ln(lnx)];(6)y=]n(cosx+tanx);

(7)2i；(8)y=sinnxcosnx;

(9)y=e~x(^x2—2x+3);(10)y=吟

(11)y=InVx+y/lnx;(12)y=exy/l-e2x+arcsinex.

4.設〃龍)為可導函數，求下列函數的導數

arcsin-^;

(1)y=f(^3)；(2)y=f

(3)y=/(，)+/');(4)y=x2f(]nx^.

5.求下列函數的二階導數.

(1)y=lx1+cosx;(2)y=e2x~3;

(3)y=xsinx;(4)y=tanx;

(5)y=——；(6)y=cos2%ln%.

X2.+-1J

6.求下列函數所指定階的導數.

(1)y=excosx,求y(");(2)y=sin2x,求y(").

第3節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數

3.1隱函數的導數

以解析式尸/⑴的形式確定的函數稱為顯函數.例如

以二元方程E(x,y)=0的形式確定的函數稱為隱函數.例如

把一個隱函數化成顯函數，稱為隱函數的顯化.例如從方程

》+『_1=0解出產"T,就把隱函數化成了顯函數.但隱函數的

顯化有時候是困難的，甚至是不可能的.例如方程

sin(x+y)=3x-y+2所確定的隱函數就難以化成顯函數.

但在很多情況下，需要計算隱函數的導數，因此，我們希望

找到一種方法，不論隱函數能否顯化，都能直接由方程算出它所

確定的隱函數的導數.

隱函數求導的基本思想是：把方程F(x,y)=0中的y看成自變

量x的函數y(x),結合復合函數求導法，在方程兩端同時對x求

導數，然后整理變形解出y即可.y的結果中可同時含有x和丁.若

將y看成自變量，同理可求出

例1求由方程y=ln(x+y)所確定的隱函數的導數V.

解方程兩端對x求導，得

從而

例2求由方程/+孫-e=0所確定的隱函數的導數V.

解方程兩端對x求導，得

從而

22

例3求橢圓曲線與+q=1上點(1,3)處的切線方程和法線方

程.

解方程兩端對x求導，得x+LyyJO,故<=一生.從而，切

2y

線斜率匕和法線斜率心分別為

所求切線方程為

即

法線方程為

即

例4求由方程x-y+Liny=O所確定的隱函數的二階導數

2

d2y

dx2

解方程兩端對X求導，得

從而

上式兩端再對X求導，得

3.2對數求導法

對于以下兩類函數：

(1)幕指函數，即形如y=a(x)"(，)(a(x)>0)的函數.

(2)函數表達式是由多個因式的積、商、塞構成的.

要求它們的導數，可以先對函數式兩邊取自然對數，利用對數的

運算性質對函數式進行化簡，然后利用隱函數求導法求導，這種

方法稱為對數求導法.

例5設y=(lnx)g(%>1),求了.

解函數兩端取自然對數，得

兩端分別對x求導，得

所以

例6設"x+1)，,求「

(x+4)產

解先在函數兩端取絕對值后再取自然對數，得

兩端分別對x求導，得

即

容易驗證，例6中的解法，若省略取絕對值這一步所得的結

果是相同的，因此，在使用對數求導法時，常省略取絕對值的步

驟.

3.3由參數方程所確定的函數的導數

一般地，若參數方程

確定了y及x之間的函數關系，則稱此函數為由參數方程所確定

的函數.

x=(p(t)

定理1設參數方程y=^Y其中⑺均可導，且函數

尤=0⑺嚴格單調，”(/)wO,則有

電

力

或

--石

一

力

證明因為函數x=0⑺嚴格單調，所以其存在反函數

f.又因為夕⑴可導且,故f也可導，且有

曰=2.對于復合函數y=〃(/)=〃［《切求導，可得

ax(p(")

如果x=°(f),y=〃(r)還是二階可導的，那么由定理1可得到函

數的二階導數公式：

即

例7設卜=e'c°s:求蟲.

y=ersintdx

解因為

所以

C3

例8求星形線x=ac。？g>o)在/=￡的相應點〃(%,%)處的

y=。sin14

切線方程和法線方程(圖2-2).

圖2-2

解由可得

4

星形線在點M處的切線斜率K和法線斜率卷分別為

從而，所求切線方程為

即

所求法線方程為

即

例9設廠“cos，求咤.

y=smtdx

解（方法一）因為

所以

r

（方法二）由于%：=l+sint,x：=cosyt=cost.y；=-sint,代入公式

可得

3.4由極坐標方程所確定的函數的導數

研究函數y及x的關系通常是在直角坐標系下進行的，但在某

些情況下，使用極坐標系則顯得比直角坐標系更簡單.

如圖2-3所示，從平面上一固定點。，引一條帶有長度單位

的射線3,這樣在該平面內建立了極坐標系，稱。為極點，Ox為

極軸.設尸為平面內一點，線段0P的長度稱為極徑，記為廠（廠之0）,

極軸a到線段OP的轉角（逆時針）稱為極角，記為e（owew2%）,

稱有序數組（「,。）為點尸的極坐標.

圖2-3

若一平面曲線。上所有點的極坐標（r,e）都滿足方程廠=廠（夕），

且坐標『超滿足方程廠=廠（。）的所有點都在平面曲線C上，則稱

廠=廠（夕）為曲線C的極坐標方程.

將極軸及直角坐標系的正半軸Ox重合，極點及坐標原點。重

合，若設點M的直角坐標為（羽y）,極坐標為（廠招），則兩者有如下

關系：

x=rcos^_ix7一

\八或＜v.

y=rsmOtan0=—

'、x

設曲線的極坐標方程為r=廠(。)，利用直角坐標及極坐標的關

系可得曲線的參數方程為

其中。為參數.由參數方程的求導公式，可得

例10求心形線r=l+sine在6=1處的切線方程(圖2-4).

圖2-4

解由極坐標的求導公式得

當”工時，

3

所以，所求切線方程為

即

習題2-3

1.求由下列方程所確定的隱函數的導數，.

ax

(1)y2-2xy+9=0;(2)x3+y3-2xy=0;

(3)xy=ex+y;(4)ycos%+sin(x—y)=0;

(5)x2-I-y2=exy;(6)arctan—=In^x2+y2.

x

2.求曲線孫+lny=l在點(1,1)處的切線方程和法線方程.

3.求由下列方程所確定的隱函數的二階導數宗.

(1)y=l+xey;(2)y=tan(x+y).

4.利用對數求導法求下列函數的導數.

(1)y=XX；(2)y=(l+九2『nx；

3x

X

(4)y=

1-x

(5)3x-2

(5-2x)(x-l)

5.求下列參數方程所確定的函數的指定階的導數.

(1)卜求包；⑵卜='(jiM,求”

y=bt3dx[y=tcostdx

(3)已叫求嗯；(4)尸’，求咤.

y=bsintdx[y=2-dx

6.求四葉玫瑰線r=acos26(a為常數)在"工對應點處的切

4

線方程.

第4節(jié)函數的微分

4.1微分的概念

在許多實際問題中，要求研究當自變量發(fā)生微小改變時所引

起的相應的函數值的改變.

例如，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由X。變

到x0+Ax(圖2-5),問此薄片的面積改變了多少？當M很微小時,

正方形的面積改變的近似值是多少？

圖2-5

設此正方形的邊長為x,面積為A,則A及x存在函數關系

A=x2.當邊長由x。變到x0+―,正方形金屬薄片的面積改變量為

從上式可以看出，AA分為兩部分，第一部分2x°Ax是4的線性

函數，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和，第二部分(Ax)?是圖

中右上角的小正方形的面積，當Ax->0時，第二部分(Ax)?是比以

[Wj階的無窮小量，即(Ax)?=o(Ax).因此，當國|很微小時，我們

用2/Ax近似地表小AA,即AAMZ/AX.故2/Ax是正方形的面積改

變的近似值.

定義1設函數y=/(x)在某區(qū)間內有定義，/及毛+機在此區(qū)

間內，如果函數的增量

可表示為

其中A是不依賴于4的常數，那么稱函數y=/(x)在點/是可微

的，而AAx叫做函數y=/(x)在點/相應于自變量增量4的微分，

記為

dy\x=x=AAx或4(％)=AAx.

4.2微分及導數的關系

定理1函數y=/(x)在點與可微的充要條件是函數y=/(x)在

點/可導，且當y=/(x)在點X?？晌r，其微分一定是

證明(必要性)設函數y=/(x)在點與可微，即Ay=AA%+o(Ax),

其中A是不依賴于微的常數.上式兩邊用心除之，得

當—0時，對上式兩邊取極限就得到

即A=/〈Xo).因此，若函數y=/(x)在點/可微,則y=/(x)在點與

一定可導，且力鼠=1f(%o)Ax.

(充分性)函數y=/(x)在點/可導，即

存在，根據極限及無窮小的關系，上式可寫成

其中a—>0(當Ax.0時)，從而

其中是及Ar無關的常數，o(Ax)比Ax是［Wj階無窮小，所以

y=/(%)在點/也是可微的.

根據微分的定義和定理1可得以下結論：

(1)函數y=/(x)在點/處的微分就是當自變量x產生增量?

時，函數y的增量Ay的主要部分(此時4=/(不片0).由于辦=心

是極的線性函數，故稱微分力是Ay的線性主部.當陽很微小時,

o(Ax)更加微小，從而有近似等式Ay土dy.

(2)函數產/(%)的可導性及可微性是等價的，故求導法又

稱微分法.但導數及微分是兩個不同的概念，導數〃%)是函數

在/處的變化率,其值只及X有關；而微分〃止=?是函數/(%)在

X。處增量型的線性主部，其值既及X有關，也及想有關.

定義2函數y=/(x)在任意點x處的微分，稱為函數的微分，

記作功或/(%),即辦=4(%)=/，(%)Ax.

通常把自變量X的增量-稱為自變量的微分，記作辦，即

dx=^x.因此，函數y=/(x)的微分可以寫成

4fy=或力'(x)=r(x)<ix.

從而有

%r(x)或*=〃》)?

因此，函數y=/(尤)的微分力及自變量的微分辦之商等于該

函數的導數.所以，導數又稱微商.

例1設函數y=d,(1)求dy;(2)若x=2,Ax=0.1,求力和Ay.

解(1)由微分的定義可得

(2)將x=2,t&=Ax=0.1代入(1)的結果，可得

4.3微分的幾何意義

在平面直角坐標系中，函數y=/(x)的圖形是一條曲線，對于

曲線上某一確定的點當自變量x有微小增量4時，就

得到曲線上另一點N(x0+Ax,yO+Ay)(圖2-6).過點”作曲線的切

線MT,它的傾斜角為a,則有

圖2-6

由此可見，對于可微函數y=/(x),當Ay是曲線y=/(x)上的

點”(%°,為)的縱坐標的增量時，微分力就是曲線y=/(x)在點

”(40.為)的切線,的縱坐標的相應增量?當陽很小時，國-力|比

|可小得多，因此在點M的鄰近，可以用力近似代替Ay,進而可

以用切線段來近似代替曲線段.

4.4微分公式及微分運算法則

由函數的微分表達式辦=(⑴公可得，只要先計算出函數的

導數/(%),再乘以自變量的微分就可以計算出函數的微分.因此

可得如下的微分公式和微分運算法則.

4.4.1基本初等函數的微分公式

(1)dC=O(C為常數)；(2)d(尤”)=〃x"T公；

(3)d[ax^-ax\nadx;(4)d[ex^=exdx;

⑸d(log”x)=---dx;(6)d(lnx^=—dx;

x]naX

(7)d(sinx)=cosMr;(8)d(cosx)=-sinxdx;

(9)67(tanx)=sec2xdx;(10)d(cotx)=-esc2xdx;

secx)=secxtanxo￥;(12)J(CSCX)=-CSCXCOtAZ/v;

(13)J(arcsinx)=二=dx;(14)d(arccosx)=——.dx;

(15)二公:(16)J(arccotx)=1公.

、'l+xz'71+x2

4.4.2微分的運算法則

設函數比="(%)和V=v(x)都可導，則

(1)d^u±v)=du±dv;(2)d(u-v^=vdu+;

(3)d(C-u)=C-du(C為常數)；(4)釁"”辦(V^O).

4.4.3復合函數的微分法則

設丁=/("),"=8(%)均可導，則復合函數y=/［g(x)］的微分為

由此可見，無論"是自變量還是中間變量，微分形式保持

辦=/(〃)或不變.這一性質稱為微分形式不變性.

例2設y=(x?-2,，求dy.

解(方法一)令卜］，"=/_2,則利用微分形式不變性，

可得

(方法二)若不引入中間變量，則

4.4.4隱函數的微分

例3求由方程3犬一孫+V4所確定的隱函數產/⑴的微分.

解對方程兩邊分別求微分，有

即

從而，可得

4.5微分在近似計算中的應用

根據前面的討論可知，如果函數y=/(x)在點X。處的導數

,

/(xo)^O,且|Ax|很小時,那么有

Ay-dy=f(x0)Ax,(2-4T)

公式(2-4T)可以改寫為

=)-/(%0卜/'(%)?，(2-4-2)

或

/(%0+^)?/(%0)+/(%0)^.(2-4-3)

在(2-4-3)式中令x=x()+Ax,即Ax=x-Xo，則可得

/(%卜/(/)+/'(/)(*-/)?(2-4-4)

如果4%°)和八％)都容易計算，則可以利用(2-4T)式來近

似計算利用(2-4-3)式來近似計算/(%+?),以及利用

(2-4-4)式來近似計算〃x).

若在(2-4-4)式中令/=0,則有

/(x)?/(O)+/(O)x.(2-4-5)

從而，當同=4|很小時，可用(2-4-5)式推得以下幾個常

用的近似公式

(1)sin%?x;(2)tan%?x;

(3)arcsinx~x;(4)ex?l+x;

(5)ln(l+x)x;(6)V1+-X?1+—%.

n

例4一個內直徑為10cm的球殼體，球殼的厚度為°