串講02圓錐曲線（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（2020選修）

串講02圓錐曲線高二滬教版數(shù)學(xué)下冊期中考點(diǎn)大串講技巧總結(jié)0102040503目

錄易錯易混典例剖析考點(diǎn)透視考場練兵考點(diǎn)透視考點(diǎn)透視1.求圓的方程

典例剖析2.已知點(diǎn)P(0，5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直線l過點(diǎn)P，且被圓C截得的線段長為

求l的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系(2)求過點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.又∵當(dāng)直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0，∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.（2）設(shè)過點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)為E(x，y)，

則CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1，化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.3.已知一個圓的圓心坐標(biāo)為A(2，1)，且與圓x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2兩點(diǎn)，若點(diǎn)A到直線P1P2的距離為

求這個圓的方程.解設(shè)圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，所以直線P1P2的方程為x＋2y－5＋r2＝0.解得r2＝6.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.3.圓與圓的位置關(guān)系4.最值與范圍問題

5.圓錐曲線的定義及應(yīng)用

C(3)已知動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程

＝|3x＋4y－12|，則動點(diǎn)M的軌跡是（

）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對C

∴動點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等.∴點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線的拋物線.6.一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程,并說明它是什么樣的曲線.

【類題通法】

“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)用一：在求軌跡方程時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；應(yīng)用二：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決；應(yīng)用三：在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決．提醒：應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件．6.圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用

AB

7.圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題【類題通法】

圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題(1)定值問題的常見類型及解題策略①求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．②求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．③求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．(2)定點(diǎn)問題的兩種解法①引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．②特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．8.圓錐曲線中的證明與探索性問題易錯易混易錯點(diǎn)1忽視橢圓定義中的限制條件易錯點(diǎn)2對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識不清易錯點(diǎn)3忽視焦點(diǎn)的具體位置致誤易錯點(diǎn)4求軌跡方程忘記約束條件致誤易錯點(diǎn)5忽視焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸致錯易錯點(diǎn)6忽視隱含條件致誤易錯點(diǎn)7忽略雙曲線方程中含有的字母的正負(fù)易錯點(diǎn)8忽視斜率不存在的情況致錯易錯點(diǎn)9忽視定義中定點(diǎn)不在定直線上而致錯易錯點(diǎn)10拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程不確定時，忽略分類討論而致誤1.與圓相關(guān)的最值問題與圓相關(guān)的最值結(jié)論：(1)已知圓C及圓外一定點(diǎn)P，設(shè)圓C的半徑為r，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)P距離的最小值為|PM|＝|PC|－r，最大值為|PN|＝|PC|＋r(即連接PC并延長，M為PC與圓的交點(diǎn)，N為PC延長線與圓的交點(diǎn))．(2)已知圓C及圓內(nèi)一定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的最長弦為直徑，最短弦為與該直徑垂直的弦AB．技巧總結(jié)1.與圓相關(guān)的最值問題與圓相關(guān)的最值結(jié)論：(3)如圖，已知圓C和圓外的一條直線l，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為|PM|＝d－r，距離的最大值為|PN|＝d＋r(過圓心C作l的垂線，垂足為P，CP與圓C交于點(diǎn)M，其反向延長線交圓C于點(diǎn)N(d為圓心到直線的距離)．(4)如圖，已知圓C和圓外的一條直線l，則過直線l上的點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值為|PM|．1.與圓相關(guān)的最值問題2.求軌跡方程軌跡的定義：平面上一動點(diǎn)M,按照一定規(guī)則運(yùn)動,形成的曲線叫做動點(diǎn)M的軌跡.軌跡方程的定義：點(diǎn)M的軌跡方程是指點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式.若求“軌跡方程”，只需寫出動點(diǎn)坐標(biāo)x,y滿足的關(guān)系式，注意x,y的取值范圍；若求“軌跡”，則要先求出“軌跡方程”，再說明方程的軌跡圖形，注意“補(bǔ)漏”和“去掉多余”的點(diǎn)．步驟：①建：建立平面直角坐標(biāo)系；②設(shè)：求誰的軌跡就設(shè)誰的坐標(biāo)為(x,y);③限：找限制條件，即動點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系；④代：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入幾何關(guān)系式中；⑤化：化簡代數(shù)式，查漏排余方法：相關(guān)點(diǎn)法、直接法、定義法、消參法(建系不同,方程不同)3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(待定系數(shù)法)4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(待定系數(shù)法)5.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1)當(dāng)焦點(diǎn)位置確定時，可利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知條件建立關(guān)于參數(shù)p的方程，求出p的值，進(jìn)而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，可設(shè)拋物線的方程為y2＝mx或x2＝ny，利用已知條件求出m，n的值．6.求橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積7.求雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積8.求雙曲線的漸進(jìn)線9.拋物線定義的應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)點(diǎn)距”與“點(diǎn)線距”的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．①點(diǎn)在拋物線外：求拋物線上的點(diǎn)P到拋物線外的定點(diǎn)A的距離與到準(zhǔn)線的距離d之和的最小值．方法是利用拋物線的定義把d轉(zhuǎn)化為|PF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即將求|PA|＋d的最小值轉(zhuǎn)化為求|PF|＋|PA|的最小值．利用P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線求最小值．②點(diǎn)在拋物線內(nèi)：求拋物線上的點(diǎn)P到拋物線內(nèi)的一定點(diǎn)A的距離與到拋物線焦點(diǎn)F的距離之和的最小值．方法是利用拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線l的距離d，即將求|PA|＋|PF|的最小值轉(zhuǎn)化為求d＋|PA|的最小值．利用點(diǎn)A到準(zhǔn)線的垂線段最短求最小值．10.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題解決橢圓或雙曲線的中點(diǎn)弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決．(2)點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系．11.圓錐曲線的弦長12.求圓錐曲線的離心率

一．填空題考場練兵

3.已知拋物線的焦點(diǎn)是圓x2+y2-3x-1=0的圓心，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

4.已知直線x+y-5=0與圓C：x2+y2-4x+2y+m=0相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，則實(shí)數(shù)m=____．

-7

5.已知橢圓Γ經(jīng)過直角三角形的直角頂點(diǎn)，且以另外兩個頂點(diǎn)作為Γ的焦點(diǎn)，則Γ的離心率的最小值為

．

4

則a的值為4．故答案為：4．7.省級保護(hù)文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn)．永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋．當(dāng)石拱橋拱頂離水面1.6m時，水面寬6.4m,當(dāng)水面下降0.9m時，水面的寬度為____米．___________【解析】解：建系如圖，設(shè)拋物線方程為x2=ay,__________8則根據(jù)題意可知圖中A坐標(biāo)為(3.2，-1.6)，∴3.22=a×(-1.6)，∴a=-6.4，∴拋物線方程為x2=-6.4y,令y=-(1.6+0.9)=-2.5，可得|x|=4，∴水面的寬度為8米．故答案為：8．

【解析】解：法一、設(shè)點(diǎn)B在第二象限．如圖，連接BF2，AF2．因?yàn)橐設(shè)為圓心，OF2為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，所以BF1⊥BF2．不妨設(shè)|BF1|=m(m＞0)，則|AF1|=2m.由雙曲線的定義可得|BF2|=m+2a,|AF2|=2m+2a.

B二．選擇題故選：B．14.圓x2+y2=1與圓(x-2)2+y2=1的位置關(guān)系是(____)A.相交B.外切C.外離D.內(nèi)含

B

【解析】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得|B1F1|=|B1F2|=a,|F1F2|=2c,C

【解析】解：依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k,雙曲線9x