2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)4.4探索三角形相似的條件(第一課時(shí))【課外培優(yōu)課件】

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件(第一課時(shí))

1.在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，用直尺和圓規(guī)在

AB

上確定

點(diǎn)

D

，使△

ACD

∽△

CBD

.

根據(jù)作圖痕跡判斷，下面符合要求

的是（

C

）ABCCD2.若將含60°角的直角三角板

ABC

（∠

A

＝60°）與含45°角的直

角三角板

BCD

按如圖方式放置，斜邊

AC

與斜邊

BD

相交于點(diǎn)

E

.

則下列結(jié)論正確的是（

A

）A.△

ABE

∽△

CDE

B.△

ABE

∽△

BCE

C.△

BCE

∽△

DCE

D.△

ABC

∽△

DCB

（第2題圖）A3.已知點(diǎn)

D

是△

ABC

中的邊

BC

上的一點(diǎn)，∠

BAD

＝∠

C

，∠

ABC

的平分線交邊

AC

于點(diǎn)

E

，交

AD

于點(diǎn)

F

，則下列三角形中

與△

BDF

一定相似的是（

C

）A.△

BAC

B.△

BEC

C.△

BAE

D.△

BFA

（第3題圖）C4.如圖，在四邊形

ABCD

中，

CA

平分∠

BCD

，要使△

ABC

∽△

DAC

，還需添加一個(gè)條件：

?

（只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母）.（第4題圖）∠

BAC

＝∠

D

（或∠

ABC

＝

∠

DAC

）5.如圖，已知點(diǎn)

E

是?

ABCD

的邊

BC

延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接

AE

交

CD

于點(diǎn)

F

，則圖中的相似三角形共有

對(duì).（第5題圖）3

6.如圖，已知∠

CAB

＝∠

BCD

，

AD

＝2，

BD

＝4，則

BC

＝

?

?.2

7.如圖，在△

ABC

和△

DEC

中，已知∠

A

＝∠

D

，∠

BCE

＝∠

ACD

.

（1）求證：△

ABC

∽△

DEC

；（1）證明：∵∠

BCE

＝∠

ACD

，∴∠

BCE

＋∠

ACE

＝∠

ACD

＋∠

ACE

，即∠

ACB

＝∠

DCE

.

又∵∠

A

＝∠

D

，∴△

ABC

∽△

DEC

.

（2）若

AB

∶

DE

＝2∶3，

BC

＝6，求

EC

的長(zhǎng).

8.如圖，在梯形

ABCD

中，已知

AB

∥

DC

，∠

B

＝90°，點(diǎn)

E

為

BC

上一點(diǎn)，且

AE

⊥

ED

.

（1）在圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；解：（1）△

ABE

∽△

ECD

.

理由如下：∵

AE

⊥

ED

，∴∠

AED

＝90°.∴∠

AEB

＋∠

CED

＝90°.∵∠

B

＝90°，∴∠

BAE

＋∠

AEB

＝90°.∴∠

BAE

＝∠

CED

.

∵

AB

∥

DC

，∴∠

C

＝180°－∠

B

＝90°.∴∠

C

＝∠

B

.

在△

ABE

與△

ECD

中，∵∠

BAE

＝∠

CED

，∠

B

＝∠

C

，∴△

ABE

∽△

ECD

.

（2）若

BC

＝12，

DC

＝7，

BE

∶

EC

＝1∶2，求

AB

的長(zhǎng).

9.如圖，已知點(diǎn)

D

是等腰直角三角形

ABC

斜邊

BC

上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，以

AD

為邊作等腰直角三角形

ADE

，斜邊

AE

交

BC

于點(diǎn)

F

，

則圖中的相似三角形共有

對(duì).（第9題圖）5

【解析】∵△

ABC

和△

ADE

都是等腰直角三角形，∴∠

BAC

＝

∠

ADE

＝90°，∠

B

＝∠

C

＝∠

E

＝∠

DAE

＝45°.∴△

ABC

∽△

DAE

.

∵∠

AFB

＝∠

DFE

，∠

B

＝∠

E

＝45°，∴△

ABF

∽△

DEF

.

∵∠

ADF

＝∠

ADB

，∠

B

＝∠

DAE

＝45°，∴△

ABD

∽△

FAD

.

同理，得△

FCA

∽△

FAD

.

∴△

ABD

∽△

FCA

.綜上所

述，圖中相似的三角形共有5對(duì).故答案為5.10.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

BC

＝4，點(diǎn)

M

是對(duì)角線

BD

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

M

作

ME

⊥

BC

于點(diǎn)

E

，連接

AM

.

當(dāng)△

ADM

是等腰三角形時(shí)，則

ME

的長(zhǎng)為

?.（第10題圖）

11.如圖，在正方形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

，

F

分別是邊

AD

，

CD

上的點(diǎn)，且

AE

＝

ED

，

EF

⊥

BE

，連接

EF

并延長(zhǎng)，交

BC

的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)

G

.

（1）求證：△

ABE

∽△

DEF

；（1）證明：∵四邊形

ABCD

為正方形，∴∠

A

＝∠

D

＝90°.∴∠

ABE

＋∠

AEB

＝90°.∵

EF

⊥

BE

，∴∠

DEF

＋∠

AEB

＝90°.∴∠

ABE

＝∠

DEF

.

∴△

ABE

∽△

DEF

.

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求

BG

的長(zhǎng).

12.如圖，在△

ABC

中，已知點(diǎn)

D

，

E

分別在邊

BC

，

AC

上，連

接

AD

，

DE

，且∠

B

＝∠

ADE

＝∠

C

.

（1）求證：△

BDA

∽△

CED

；（1）證明：∵∠

ADE

＋∠

ADB

＋∠

EDC

＝180°，

∠

B

＋∠

ADB

＋∠

DAB

＝180°，且∠

B

＝∠

ADE

＝∠

C

，∴∠

DAB

＝∠

EDC

.

∴△

BDA

∽△

CED

.

（2）若∠

B

＝45°，

BC

＝2，點(diǎn)

D

在

BC

上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)

D

不與點(diǎn)

B

，

C

重合），當(dāng)△

ADE

是等腰三角形時(shí)，求

BD

的長(zhǎng).

圖1圖1

圖2

13.（選做）在Rt△

ABC

中，已知∠

BAC

＝90°，

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，點(diǎn)

O

是邊

AC

上一點(diǎn)，連接

BO

交

AD

于點(diǎn)

F

，

OE

⊥

OB

交

BC

于點(diǎn)

E

.

（1）如圖1，求證：△

ABF

∽△

COE

；圖1（1）證明：∵

AD

⊥

BC

，∴∠

DAC

＋∠

C

＝90°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

BAF

＋∠

DAC

＝90°.∴∠

BAF

＝∠

C

.

∵

OE

⊥

OB

，∴∠

BOA

＋∠

COE

＝90°.又∵∠

BOA

＋∠

ABF

＝90°，∴∠

ABF

＝∠

COE

.

∴△

ABF

∽△

COE

.

圖1

圖2（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)

O

作

AC

的垂線，交

BC

于點(diǎn)

H

，則

OH

∥

AB

.

由（1），得∠

ABF

＝∠

COE

，∠

BAF

＝∠