機械控制理論基礎 課件 第6章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

FundamentalsofMechanicalControlTheory機械控制理論

基礎StabilityAnalysisofControlSystems控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性CHAPTER61本章主要內容(MainContents)穩(wěn)定性概念與判穩(wěn)準則

(DefinitionofStability)勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(Routh-HurwitzCriterion)乃奎斯特穩(wěn)定性判據

(NyquistCriterion)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(RelativeStabilityofsystems)*根軌跡法(RootLocusMethod)本章總結21.穩(wěn)定性的概念6.1穩(wěn)定性概念與判穩(wěn)準則系統(tǒng)在受到外界干擾作用時，其被控制量將偏離平衡位置，當這個干擾作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長的時間內能夠恢復到其原來的平衡狀態(tài)或者趨于一個給定的新的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3（a）穩(wěn)定（b）臨界（c）不穩(wěn)定4線性系統(tǒng)穩(wěn)定與否，取決于系統(tǒng)內部條件，而與輸入或擾動無關。（非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是與輸入有關的）控制理論所討論的穩(wěn)定性其實都是指自由振蕩下（即輸入為零，而初始狀態(tài)不為零時）的穩(wěn)定性。初始條件不為零時引起的初始輸出不為零初始條件為零時，對系統(tǒng)施加瞬間干擾，即輸入單位脈沖函數。注意：這里所講的“外界擾動作用”可以分為兩種情況：穩(wěn)定性的例子：戰(zhàn)斗機，麥克風，海灣大橋，單足與雙足機器人，倒立擺，Segway等等52.判斷穩(wěn)定性的基本準則對于n階定常線性系統(tǒng)，其微分方程為進行拉氏變換后整理得：其中為系統(tǒng)的傳遞函數再進行拉氏反變換后得到：6穩(wěn)定性就是研究初始狀態(tài)下的輸出情況。上式右邊的第一項即系統(tǒng)在初始狀態(tài)下的輸出。當特征方程的根各不相同時，系統(tǒng)的輸出為

若系統(tǒng)的特征方程的根實部均為負值，即Re[si]<0，則零輸入響應最終將衰減為零。這樣系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。由此可見：系統(tǒng)傳遞函數的零點（即其輸入項參數）對系統(tǒng)的穩(wěn)定性無影響。

7若對線性系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時輸入單位脈沖函數，單位脈沖響應的形式與零輸入響應形式相同。綜上所述，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的全部特征根都具有負實部。即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的全部極點均位于[s]平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。這是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本準則。隨著時間t趨于無窮，當單位脈沖響應趨于零時，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

8[s]平面的劃分：（1）特征根在復平面的左半平面（包含原點），系統(tǒng)對于干擾的響應為衰減振蕩；（2）特征根在虛軸上，系統(tǒng)對于干擾的響應為等幅振蕩；（3）特征根在復平面的右半平面，系統(tǒng)對于干擾的響應為擴散振蕩。思考：當系統(tǒng)有一個、兩個特征根在原點時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性？96.2Routh（勞斯）穩(wěn)定性判據1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件如上一節(jié)所述，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，本質上就是確定其特征方程的根在復平面上的位置分布。它可以采用直接對特征方程求解的形式，但這并不是在任何情況下都容易做到的。Routh和Hurwitz判據就是采用間接方法確定特征方程根的，它們都是利用特征方程系數之間的代數關系來實現對特征根位置分布的判斷，因而屬于代數判據。下面重點講述Routh判據。該判據由英國科學家E.J.Routh在1877年提出。1011要使全部特征根均具有負實部，必須滿足兩個條件，即必要條件：

1）特征方程的各項系數ai（a0除外）都不為零。因為若有一系數為零，則必出現實部為零的特征根或實部有正有負的特征根，此時系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。

2）特征方程的各項系數ai的符號都相同。

122.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（1）Routh數列13（2）Routh穩(wěn)定性判據因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程的系數全為正，且Routh數列中第一列各元素的符號均為正。若Routh數表中第一列各元不全為正，則其符號改變的次數等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根（即不穩(wěn)定特征根）的個數。例如：

沒有不穩(wěn)定根（穩(wěn)定）

有一個不穩(wěn)定根（不穩(wěn)定）

有兩個不穩(wěn)定根（不穩(wěn)定）14例1：(1)(2)(3)

（4）一項為負，不穩(wěn)定缺項，不穩(wěn)定滿足必要條件，可能穩(wěn)定由于特征方程中有一系數為負，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。Routh數列滿足充要條件，穩(wěn)定15對于三階系統(tǒng)a3s3+a2s2+a1s+a0=0只要a1a2>a0a3

則系統(tǒng)穩(wěn)定對于二階系統(tǒng)a2s2+a1s+a0=0所有系數全為正，系統(tǒng)

穩(wěn)定。16例2：Routh數列：第一列中有兩次符號變化，系統(tǒng)有兩個極點在【s】平面的右半平面，不穩(wěn)定。

17在Routh數表中某一行的第一個元為零，而其后各元均不為零或部分地不為零，可以用一個很小的正數ε來代替第一列等于零的元，然后計算Routh數表的其余各元。Routh數表的某一行中的所有元素均為零時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。可利用該行上一行的元素構成一個輔助方程，其解即系統(tǒng)的不穩(wěn)定特征根。3.應用Routh判據的兩種特殊情況18特殊情況:（1）Routh數表第一列出現零元素例3系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素兩次變號，有兩個不穩(wěn)定根。19特殊情況

（2）Routh數表中某一行全為零例4輔助方程某一行全為零，說明存在對稱于原點的根。系統(tǒng)不穩(wěn)定例520Routh判據的應用：確定穩(wěn)定的參數范圍解：閉環(huán)特征方程為例5：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍。21Routh數列：S3T1T21S2T1+T2KS10S0K0為閉環(huán)穩(wěn)定的條件22例6：已知ξ=0.2，ωn=86.6，試確定K取何值時，系統(tǒng)方能穩(wěn)定。23解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為特征方程為由穩(wěn)定的充要條件可知：0<K<34.6

24例7系統(tǒng)的特征方程

由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可知：

25Hurwitz判據（1895年，德國數學家）系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程：①特征方程的系數全為正②Hurwitz行列式全為正，即該方法對六階以上系統(tǒng)很少使用。266.3Nyquist穩(wěn)定性判據Nyquist穩(wěn)定性判據由美籍瑞典人H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到了廣泛的應用。它奠定了頻率法控制理論的基礎，屬于幾何判據。Routh判據：利用特征方程系數之間的代數關系判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是代數判據。可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，給出不穩(wěn)定的特征根的個數，但不能給出穩(wěn)定或不穩(wěn)定程度的判斷；Nyquist判據：利用開環(huán)頻率特性的Nyquist圖來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是幾何判據。不但能判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否，給出不穩(wěn)定的特征根的個數，而且能判斷穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，并從中找出改善系統(tǒng)性能的途徑。與Routh判據的比較：27一、基本原理閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)特征方程的根全部位于[s]平面的左半平面。判斷穩(wěn)定性的基本準則：閉環(huán)特征方程為：28設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：閉環(huán)特征函數為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數29（1）A(s)的零點z1,z2…,zn，即為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數GB(s)的極點，亦即系統(tǒng)特征方程的根；（2）A(s)的極點p1,p2…,pn，即為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數GK(s)的極點；

（3）A(s)的零點個數與其極點個數相同。則閉環(huán)特征函數可表示為：

301.閉環(huán)特征方程、閉環(huán)傳遞函數、閉環(huán)特征函數以及開環(huán)傳遞函數的關系為：

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：其閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0的根全部具有負實部，即GB(s)在[s]平面的右半平面沒有極點，亦即A(s)在[s]平面的右半平面沒有零點。

312.幅角原理（Cauchy’sTheorem）

對于復變函數設其n個零點（即閉環(huán)特征方程的根）與n個極點（即開環(huán)傳遞函數的極點）均已知，它們在[s]平面上的分布如圖6-5所示。圖中用“○”表示零點，“×”表示極點。

圖6-5[s]平面與A(s)平面的映射關系

32A(s)在[A(s)]平面上（除有限個奇異點外）為單值的連續(xù)正則函數。[s]平面上解析點s映射到[A(s)]平面上為點A(s)，或為從原點指向此映射點的向量A(s)。[s]平面上任意選定一封閉曲線，只要此曲線不經過A(s)的奇點，則在[A(s)]平面上必有一對應的映射曲線，也是一封閉曲線。當解析點s按順時針方向沿變化一周時，向量A(s)將按逆時針方向旋轉N周，即A(s)以原點為中心逆時針旋轉N周，這就等于曲線逆時針包圍原點N次。33假設包圍于內的A(s)的零點數為z，包圍于

內的A(s)的極點數為p，則當s沿順時針方向移動一周時，每個被包圍于的向量(s-zi)與（s-pj）的相位角變化-2π弧度，而其他各向量的相位角變化為零。即向量A(s)的相位角變化為-2π（z-p)，或者說A(s)在[A(s)]平面上沿繞原點順時針轉了（z-p）周。

兩邊同除以，得

所以34即將擴展為一條包圍整個[s]右半平面的封閉曲線，而[A(s)]

平面通過坐標平移后可轉換為GH平面，如下圖。即因此，為閉環(huán)特征方程在[s]右半平面的特征根的個數；為開環(huán)傳遞函數在[s]右半平面的極點的個數；為在GH平面上的開環(huán)頻率特性逆時針包圍（-1,j0）的圈數。353.Nyquist穩(wěn)定性判據由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是A(s)（或1+G(s)H(s)=0）在[s]平面的右半平面沒有零點（或特征根），即所以Nyquist穩(wěn)定判據為：當ω由-∞到+∞變化時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時針方向包圍（-1，j0）點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。p為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點數。對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有p=0，此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)的乃奎斯特圖不包含（-1，j0）點，即N=0。

364.關于Nyquist判據的幾點說明Nyquist判據并不是在[s]平面而是在[GH]平面判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即根據G(jω)H(jω)軌跡包圍（-1，j0）點的情況來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist判據的證明復雜，但應用簡單。在p=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面無極點時，習慣稱為開環(huán)穩(wěn)定。否則開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。在整個實數域內開環(huán)Nyquist軌跡對實軸是對稱的，因為當-ω變?yōu)?ω時，G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)的模相同，而相位異號。37例8：0型系統(tǒng)二、Nyquist判據的應用38例9：I型系統(tǒng)39例10：II型系統(tǒng)40例11：判斷圖示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。41積分環(huán)節(jié)數=1在無窮遠處順時針繞半圈；

=2在無窮遠處順時針繞一圈；

=3在無窮遠處順時針繞一圈半?！罭yquist判據：是在已知開環(huán)極點在[s]右半平面的個數p和積分環(huán)節(jié)個數（這意味著必須已知系統(tǒng)傳遞函數）以及Nyquist圖繞(-1,j0)點圈數N的情況下，求閉環(huán)特征根在[s]右半平面的個數z。小結：426.4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性，是對穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度的衡量——以穩(wěn)定裕量表示。幅值穿越頻率幅值裕量：相位裕量：相位穿越頻率43相位裕量幅值裕量系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定為負值系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定442.Nyquist圖和Bode圖的對應關系Nyquist圖上的單位圓對應于Bode圖上的0分貝線確定幅值穿越頻率（剪切頻率）ωcNyquist圖上的負實軸相當于Bode圖上的-180°線確定相位穿越頻率ωg45穩(wěn)定（ωg＞

ωc

）不穩(wěn)定（ωg<ωc

）46例12低頻轉折頻率47關于相位裕量和幅值裕量的幾點說明：①上述定義是對最小相位系統(tǒng)而言，對非最小相位系統(tǒng)不適用。②衡量一個系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時用相位裕量和幅值裕量這兩個指標。③適當地選擇相位裕量和幅值裕量，可以防止系統(tǒng)中參數變化導致系統(tǒng)不穩(wěn)定的現象。一般取。④對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)的幅頻特性和相頻特性有一定的關系，要求系統(tǒng)具有30°～60°的相位裕量，因此在ωc

處應以－20dB/dec斜率穿越為好，因為斜率為－20dB/dec穿越時，對應的相位角在-90°左右。考慮到還有其它因素的影響，就能滿足γ

=30°～60°。⑤一階和二階系統(tǒng)，理論上不可能不穩(wěn)定。但是實際上其數學模型是在忽略了一些次要因素之后建立的，當系統(tǒng)參數變化時，比如開環(huán)增益太大，這些系統(tǒng)仍有可能不穩(wěn)定。48例13:496.5

根軌跡方法分析系統(tǒng)性能（TheRootLocusMethod）判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否的根本出發(fā)點是判斷閉環(huán)特征方程的根在S平面上的位置分布。對于圖示閉環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：開環(huán)增益50當系統(tǒng)的開環(huán)增益K=0~∞或根軌跡增益K*=0~∞變化時，1+G(s)H(s)=0的根在s平面上的移動軌跡，即為根軌跡（RootLocus）。根軌跡方法由伊凡思（W.R.Evans）在1948年提出。該方法對于控制系統(tǒng)的設計很有用也很方便。它指明了開環(huán)零、極點及開環(huán)增益或根軌跡增益變化時，閉環(huán)極點的變化情況，從而指明了如何調整開環(huán)零、極點及增益大小來滿足閉環(huán)系統(tǒng)響應所要求的性能指標，可以用于系統(tǒng)的分析與綜合。6.5

根軌跡法分析系統(tǒng)性能根軌跡增益系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數也可以寫為：開環(huán)增益與根軌跡增益關系：開環(huán)增益51[引例1]

如圖所示的監(jiān)控攝像頭跟蹤系統(tǒng)，跟蹤系統(tǒng)可以監(jiān)控像素變化并驅動攝像頭定位到變化后的場景中心，其跟蹤控制系統(tǒng)的方框圖如圖b，圖c為閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數。下面討論閉環(huán)極點（即閉環(huán)特征根）在復平面上的位置隨著K值（即根軌跡增益）改變而變化的情況

開環(huán)傳遞函數：閉環(huán)傳遞函數：

52其閉環(huán)特征方程：的解為

當K取不同值時的閉環(huán)特征根如下表所示，其在復平面的位置如右下圖示53將K取不同值時的閉環(huán)特征根變化軌跡連起來形成的根軌跡如下圖：當K=0時，根軌跡分別起始于0，-10，此時系統(tǒng)為過阻尼情況；當K=25時，根軌跡在-5，此時系統(tǒng)為臨界阻尼情況；當K>25時，根軌跡從實軸的-5處分別垂直向上和向下走，此時系統(tǒng)為欠阻尼情況從根軌跡的變化可以得到結論：無論K如何變化，該二階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但瞬態(tài)性能有變化，其變化規(guī)律？54由根軌跡定義，根軌跡上的每一點都滿足方程：1.

基本原理（BasicPrinciple）或即幅值條件只要同時滿足幅值條件和相位條件的s值就是閉環(huán)特征方程的根，也即閉環(huán)極點相位條件（6-38）

（6-39）

（6-40）

（6-41）

55根軌跡的起點和終點根軌跡的分支數實軸上的根軌跡段根軌跡的漸近線根軌跡的分離點和會合點根軌跡在無窮遠處的狀態(tài)根軌跡離開復極點或進入復零點時的出射角或入射角根軌跡穿過虛軸的點繪制根軌跡時，并不需要在s平面上找很多點描繪其精確曲線，而是根據根軌跡的一些特征進行近似作圖。這些特征包括：下面我們根據開環(huán)傳遞函數的零、極點和閉環(huán)特征方程的根之間的關系，給出反映以上特征的根軌跡作圖法則。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）56法則1.根軌跡對稱于實軸。這一點很容易理解，因為閉環(huán)極點若為實數，則必定位于實軸上；若為復數，則一定是以共軛復數成對出現，所以根軌跡必然對稱于實軸。法則2.根軌跡起始于開環(huán)極點（起始點對應于K或K*＝0），終止于開環(huán)零點（終止點對應于K或K*＝∞）。若開環(huán)零點數m少于開環(huán)極點數n，則有（n-m)條根軌跡終止于無窮遠處。法則3.根軌跡的分支數等于閉環(huán)極點數n（亦即開環(huán)極點數，系統(tǒng)階數）。這可以由根軌跡的幅值條件來證明：當時，只有令s取p1，p2，…，pn的值才能滿足；當時，只有令s取z1，z2，…，zm的值才能滿足。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）57例1：例2：如何判斷s平面上某點是否在根軌跡上？例如s=-2±j358法則4.實軸上根軌跡區(qū)段右側的開環(huán)零、極點的總數應為奇數。此結論可用相位條件來說明。

由于復數零點和復數極點均為共軛的，因此它們與s點形成的矢量的相位角大小相等，符號相反，對相位沒有影響。而位于s點左側的零、極點到s點的矢量，其相位角總是為零，只有位于s點右側的零、極點到s點的矢量，其相位角才是-π，因此根據相位條件，只有當實軸上根軌跡區(qū)段右側的開環(huán)零、極點總數為奇數時，才能符合根軌跡的相位條件。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）59例6-16已知開環(huán)傳遞函數，請畫出K*從0～∞變化時的根軌跡。

解：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：兩個開環(huán)零點：60法則5.當K或K*→∞時，有（n-m）條根軌跡趨于無窮遠處，這些根軌跡的漸近線和實軸正方向的夾角α稱為漸近角，并且（6-44）

其中k依次取0，±1，±2，…直到獲得（n-m）個夾角為止。而根軌跡漸近線與實軸的交點位于開環(huán)零、極點的重心處，由下式決定：（6-45）

2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）證明略

61法則6.根軌跡的分離點和會合點的坐標若用d表示，則其值可由下式給出

①式（6-49）同樣適用于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點為復數的情況；②當開環(huán)無零點時，則式（6-49）中③由式（6-49）解出的值，并非都是根軌跡上的點，因此必須舍棄不在根軌跡上的值；④由于根軌跡的共軛對稱性，根軌跡的分離點和會合點或位于實軸上，或為共軛復數對。（6-49）2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）說明：62如果根軌跡位于相鄰的開環(huán)極點之間，則在這兩個極點之間至少存在一個分離點。如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的零點（其中一個零點可以位于）之間，則在這兩個相鄰的零點之間至少存在一個會合點。如果根軌跡位于實軸上一個開環(huán)極點與一個開環(huán)零點（有限零點或無限零點）之間，則在這兩個相鄰的極、零點之間，或者既不存在分離點也不存在會合點，或者既存在分離點又存在會合點。63例3：漸近角度：漸近線與實軸交點：與實軸分離點：如何求根軌跡與虛軸交點？64法則7.根軌跡自復數極點的pi

出射角（即根軌跡在復數極點處的切線與正實軸的夾角）為根軌跡進入復數零點的入射角（即根軌跡在復數零點處的切線與正實軸的夾角）為（6-55）的向量與正實軸的夾角。

（6-54）式中分別是開環(huán)零點、開環(huán)極點到所考慮點和2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）推論：根軌跡離開實軸或進入實軸時的出射角或入射角為65例6-18

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數畫其根軌跡圖，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：①確定開環(huán)零、極點。開環(huán)傳遞函數有：2個極點一個零點②確定實軸上的根軌跡③確定離開復極點的根軌跡出射角④確定根軌跡進入實軸的匯合點%-----Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s2+2s+3)------num=[012];den=[123];rlocus（num,den）v=[-66-66];axis(v);axis('square‘)gridtitle（'Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s^2+2s+3）')67法則8.當根軌跡在s平面的左半平面時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。若根軌跡與虛軸相交，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，其交點處的根（即閉環(huán)特征方程的純虛根）與開環(huán)增益K或根軌跡增益K*可由勞斯穩(wěn)定性判據或將代入特征方程分別令實部和虛部等于零求得（為什么？）。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）例6-17已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為畫K*變化時的根軌跡，并求出根軌跡與虛軸的交點。開環(huán)傳遞函數有：4個極點，一個零點，兩種求與虛軸交點和K*的方法68求其與虛軸交點：方法1寫出其勞斯數列閉環(huán)特征方程解得K*＝160，代入s2行組成的輔助方程，有由第一列中s1項系數等于零，得：解得。69求其與虛軸交點：方法2將s=jω代入特征方程得閉環(huán)特征方程解得可以得到：分別令其實部和虛部為零，得K*＝16070例6-18已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為（1）畫K*變化時的根軌跡，（2）求出根軌跡上阻尼比為0.45的點，及其與虛軸的交點。解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點，2個開環(huán)零點的意義根軌跡與虛軸交點的意義分離點、入射角的計算71對如圖所示系統(tǒng)，以開環(huán)極點p1為參數，如何獲得關于p1變化的根軌跡？此例中開環(huán)傳遞函數為寫出其閉環(huán)傳遞函數即將其開環(huán)傳遞函數改變?yōu)槿缓笞銎涓壽E如圖：723．利用MATLAB工具畫根軌跡利用MATLAB工具可以很方便地畫根軌跡。對于式（6-36）表達的閉環(huán)特征方程，可以寫成下列形式式中num為分子多項式的系數從高到低，den為分母多項式的系數從高到低排列

通常采用下列MATLAB命令畫根軌跡：rlocus（num，den）利用該命令，可以在屏幕上得到畫出的根軌跡圖，增益K*是由程序自動確定的。命令rlocus既適用于連續(xù)時間系統(tǒng)，也適用于離散時間系統(tǒng)。734.開環(huán)增益或根軌跡增益的計算對應根軌跡上某點si的根軌跡增益值，可以根據幅值條件式（6-39）來進行計算，即上式表明，與根軌跡上的點相對應的根軌跡增益可以利用該點與各開環(huán)零、極點之間的幅值得到，即（6-57）開環(huán)增益K可用下式求出

（6-58）需要注意，使用式（6-58）求開環(huán)增益K時，不計坐標原點處的開環(huán)零、極點，否則上式無意義。745．控制系統(tǒng)的根軌跡分析如前所述，在已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布的基礎上，依據繪制根軌跡的基本法則，可以很方便地繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，并在根軌跡上確定閉環(huán)零、極點的位置，由此可以利用主導極點等概念對系統(tǒng)的動態(tài)性能進行分析。根軌跡法特別方便于確定高階系統(tǒng)中某個參數變化時閉環(huán)極點的分布規(guī)律，形象直觀地看出參數對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，因此為系統(tǒng)設計和性能改善提供了依據。

例6-19

已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試畫出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。無論K在(0，∞)區(qū)間取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定75圖6-35例6-19系統(tǒng)附加零點z1=-5時的根軌跡加零點

z=-5無論K在(0，∞)區(qū)間取何值，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定76圖6-36例6-19系統(tǒng)附加零點z1=-20時的根軌跡加零點

z=-20閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定77例6-20

已知單位反饋