2023-2024學年廣東省廣州市五校（省實、執(zhí)信、廣雅、二中、六中）高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省廣州市五校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=x∣?1≤x≤1,B=x∣xx?2A.x∣?1≤x≤2 B.{x∣?1≤x<2}

C.x∣0≤x≤1 D.x∣0≤x≤22.若復數(shù)z滿足z?1z+1=i2023，則A.2 B.2023 C.2023 D.3.已知a=lg12，b=cos1，c=2A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是(

)A.m/?/α，n/?/β，α//β?m//n B.α⊥β，m?α，n?β?m⊥n

C.m/?/n，m⊥α，n?β?α⊥β D.α⊥β，m⊥α?m?β5.函數(shù)y=cosx?|tanx|(0≤x<3π2A. B.

C. D.6.已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，滿足nΩ=12，nA=6，nB=4A.事件A與事件B互斥 B.PB=13

C.PAB>PA7.已知函數(shù)fx=lnx?13?x+ax+2a+bA.關于點2,2b中心對稱 B.關于直線x=b軸對稱

C.關于點2,4a中心對稱 D.關于點2,2a中心對稱8.已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b與e所成的角為60°，且b?te≥b?eA.3+1 B.23 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.衡陽市第八中學為了解學生數(shù)學史知識的積累情況，隨機抽取150名同學參加數(shù)學史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則(

)

A.該次數(shù)學史知識測試及格率超過90%

B.該次數(shù)學史知識測試得滿分的同學有15名

C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)

D.若八中共有3000名學生，則數(shù)學史知識測試成績能得優(yōu)秀同學大約有1800名10.如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BA.DE//平面ABB1A1

B.AD⊥平面BCC1

C.直線AD與直線DE所成的角為π3

D.若11.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，集合A={x|f(x)≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A=B≠?A.2 B.3 C.4 D.5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從1，2，3，4，5中任取3個不同數(shù)字，這3個數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為

．13.記?ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2=3b2+c214.函數(shù)f(x)=b|x|?a(a>0,b>0)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點關于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點的圓，皆稱之為“囧圓”，則當a=1，b=1時，函數(shù)f(x)的“囧點”坐標為

；此時函數(shù)f(x)的所有“囧圓”中，面積的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求fx(2)設函數(shù)gx=fx?4sin2x?π4，若16.(本小題12分)為普及天文知識，某校開展了“天文知識競賽”活動，共有1000名學生參加此次競賽活動，現(xiàn)從參加該競賽的學生中隨機抽取了80名，統(tǒng)計他們的成績，其中成績不低于80分的學生被評為“航天達人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計參加這次競賽的學生成續(xù)的第75百分位數(shù)；(2)若在抽取的80名學生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學生中隨機抽取6人，再從6人中選擇2人作為學生代表，求被選中的2人均為航天達人的概率；(3)已知80,90組的方差為12，90,100組的方差為8，試估計參加此次競賽的學生不低于80分的成績方差(結果保留整數(shù))；17.(本小題12分)?ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D在AC邊上，且直線BD平分∠ABC．(1)求證：CDAD(2)若AD=1，CD=2．①求?ABC面積S的最大值；②若?BAD和?BCD的內切圓半徑分別是r和R，求rR的取值范圍．18.(本小題12分)如圖1，在矩形ABCD中，已知AB=22，BC=2，E為AB的中點，將AB沿DE向上翻折，得到四棱錐A1(1)若A1C=2，求異面直線A1E與(2)求證：DE⊥A(3)在翻折過程中，當二面角A1?CD?B為π4時，求四棱錐19.(本小題12分)對于數(shù)列A:a1，a2，…，an(n≥3)，定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列T(A):a2，a3，…，an，a1，記T1(A)=T(A)，Tm(A)=TTm?1(A)，m≥2.對于數(shù)列A:a1，a2，…，an與B:b1(1)若A：?1,?1,1,?1,1,1，寫出T(A)，并求A?T(2)對于任意給定的正整數(shù)n(n≥3)，是否存在?n數(shù)列A，使得A?T(A)=n?3?若存在，寫出一個數(shù)列A(3)若?n數(shù)列A滿足Tk(A)?Tk+1參考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.C

6.D

7.C

8.B

9.ACD

10.ABD

11.BCD

12.35或0.613.?2

14.(0,1)；3π

15.解：(1)易知fx所以fx的最小正周期為T=令?π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z，可得?π因此fx的單調遞增區(qū)間為(2)易知g=5其中sinφ=當gx取最大值為gx0可得2x0+φ=由sinφ=35易知cos2x0又x0∈0,

16.解：(1)由頻率分布直方圖可知，成績在40,50內的頻率為0.005×10=0.05，成績50,60在內的頻率為0.015×10=0.15，成績在60,70內的頻率為0.020×10=0.2，成績70,80在內的頻率為0.030×10=0.3，成績在80,90內的頻率為0.020×10=0.2，所以成績在80分以下的學生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3=70%，成績在90分以下的學生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3+0.2=90%，所以成績的第75分位數(shù)一定在80,90內，即80+0.75?0.7因此估計參加這次競賽的學生成績的75百分位數(shù)為82.5；(2)因為6×0.30.3+0.2+0.1=3，6×所以從成績在70,80,80,90，90,100內的學生中分別抽取了3人，2人，其中有3人為航天達人，設為a,b,c，有3人不是航天達人，設為d,e,f，則從6人中選擇2人作為學生代表，有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)，(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種，其中2人均為航天達人為(a,b),(a,c),(b,c)共3種，所以被選中的2人均為航天達人的概率為315(3)80,90內的頻率為0.020×10=0.2，90,100內的頻率為0.010×10=0.180,90內的平均數(shù)為85，90,100內的平均數(shù)為95，80,100內的平均數(shù)為0.20.2+0.1又80,90組的方差為12，90,100組的方差為8，所以這次競賽的學生不低于80分的成績方差為10.2+0.1

17.解：(1)證明：設AC邊上的高為?，則S?BCD=1因為直線BD平分∠ABC，所以∠CBD=∠ABD，所以S?BCD所以CDAD

(2)①設∠CBD=∠ABD=θ(0<θ<π2因為AD=1，CD=2，所以由(1)可知a=2c，在?ABC中，由余弦定理得AC所以9=5c2?4所以S===18令t=tanθ，則當且僅當9t=1t，即所以S的最大值為3；②在?ABC中，因為AD=1，CD=2，所以BD=所以BD2所以9BD在?ABC中，由余弦定理得9=5c所以BD因為S?BAD=1所以r=?所以rR=1?=1?1因為c+2c>3，且c+3>2c，所以1<c<3，所以0<c?1<2，則1<所以4<2所以0<1所以?1所以34<1?1

18.解：(1)取DC的中點O，連接A1又E為AB的中點，所以OC//BE，OC=BE，四邊形EBCO是平行四邊形，所以OE/?/BC，所以∠OEA1為異面直線A1又A1C=2，A1所以A1C2從而可得A1又A1E=2，所以?A1EO所以異面直線A1E與BC的的夾角

(2)如圖1，連接AC交DF于F．因為AB=22，且E為AB的中點，在矩形ABCD中，因為AD=2，所以AEAD所以?EAD～?CBA，所以∠ADE=∠BAC，所以∠AFD+∠BAC=∠AED+∠ADE=90即∠AFE=180°?(∠AED+∠CAB)=由題意可知DE⊥A1F,DE⊥FC,A1所以DE⊥平面A1FC，因為A1C?平面

(3)如圖2，過A1作A1H⊥FC，垂足為H，過H作HG⊥DC，垂足為G，連接因為DE⊥平面A1FC，A1H?平面又因為A1H⊥FC,FC∩DE=F，F(xiàn)C,DE?平面BCDE，所以A1因為CD?平面BCDE.所以A1又因為HG⊥CD,A1H∩HG=H，A所以CD⊥平面A1GH.因為A1G?平面所以∠A1GH所以∠A1GH=π4設A1H=HG=x，由?CGH～?ADC，可得GHAD由(1)可得AF=233，從而可得所以FH+HC=(2所以四棱錐A1?BCDE的體積

19.解：(1)由A：?1,?1,1,?1,1,1，可得T(A):?1,1,?1,1,1,?1，T2∴A?T(2)∵A?T(A)=a由數(shù)列A為?n數(shù)列，所以a對于數(shù)列A:a1，a2，…，a令an+1=a1，若ai=a記aiai+1i=1,2,?,n中有t個?1，有n?t個因為n?2t與n的奇偶性相同，而n?3與n的奇偶性不同，故不存在適合題意的數(shù)列A；(3)首先證明A?T(A)=T對