湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月聯(lián)考試卷

湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月聯(lián)考試卷時量：120分鐘滿分：150分得分______一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，若球與圓柱的體積之比為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.26.已知，設(shè)，則（）A. B.0 C.1 D.27.已知雙曲線：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又雙曲線與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為右支上一動點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.若，則下列說法正確的是（）A.B.雙曲線的漸近線方程為C.若，則的面積為1D.雙曲線的離心率為8.高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿意，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.999 B.749 C.499 D.249二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參與了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成果統(tǒng)計(jì)，發(fā)覺抽取的學(xué)生的成果都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）A.在被抽取的學(xué)生中，成果在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B.圖中的值為0.020C.估計(jì)全校學(xué)生成果的中位數(shù)約為86.7D.估計(jì)全校學(xué)生成果的80%分位數(shù)為9510.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.在上的值域?yàn)镃.若，則，D.將的圖象向右平移個單位長度得的圖象11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上不具有單調(diào)性B.不是周期函數(shù)C.函數(shù)為偶函數(shù)D.當(dāng)時，函數(shù)的最小值是012.如圖，在直角梯形中，，，，將沿翻折，得到大小為的二面角，，分別是，的中點(diǎn).則（）A.B.異面直線與所成角的正弦值為C.二面角的大小為D.三棱錐的表面積為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.如圖，四邊形是邊長為8的正方形，若，且為的中點(diǎn)，則______.14.若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線重合，則______.15.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為.設(shè)，直線與相交于點(diǎn).若，且的面積為，則直線的斜率______，拋物線的方程為______.16.已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則函數(shù)的圖象的對稱中心是______.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.18.（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不等于零，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證（且）19.（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點(diǎn)，使得，分別過點(diǎn)，作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.20.（12分）2024年卡塔爾世界杯將于當(dāng)?shù)貢r間11月20日開賽，某國家隊(duì)為了考察甲球員對球隊(duì)的貢獻(xiàn)，現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：甲球隊(duì)總計(jì)勝負(fù)未參與競賽3070參與競賽10總計(jì)70（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該球隊(duì)成功與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)？（2）依據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員能夠勝任前鋒、中場、后衛(wèi)三個位置，且出場率分別為：0.2，0.5，0.3；在甲出任前鋒、中場、后衛(wèi)的條件下，球隊(duì)輸球的概率依次為：0.2，0.2，0.7，則：①當(dāng)甲參與競賽時，求該球隊(duì)某場競賽輸球的概率；②當(dāng)甲參與競賽時，在球隊(duì)輸了某場競賽的條件下，求甲球員擔(dān)當(dāng)中場的概率；③假如你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)學(xué)問，該如何運(yùn)用甲球員？附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828.21.（12分）已知函數(shù)，（1）求和的極值；（2）證明：22.（12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.，是該橢圓的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且，若該橢圓的離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線：交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)下方），過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求證：為定值.名校聯(lián)考聯(lián)合體2024年秋季高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案DACBBDCAACDBDCDACD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.D【解析】因?yàn)?，所以，虛部?故選D.2.A【解析】因?yàn)?，，所?故選A.3.C|【解析】因?yàn)椋?，所?故選C.4.B【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高.則球的體積，圓柱的體積，∴.所以，則其準(zhǔn)線方程為，故選B.5.B【解析】依題意，，，，故選B.6.D【解析】因?yàn)椋杂山M合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即.令，得，所以，故選D.7.C【解析】因?yàn)殡p曲線：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則，所以雙曲線方程為：，由可得，設(shè)，，則，即，∴，設(shè)則，，所以，即，又，，，所以，∴，即，故A錯誤；所以雙曲線：，，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故B錯誤，D錯誤；若，則，所以，的面積為1，故C正確.故選C.8.A【解析】由，得，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列，則；①由得，，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則，②由①②聯(lián)立可得.因?yàn)?，所以即，所以故所以，則.故選A.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）9.ACD【解析】由題意，成果在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯誤；設(shè)中位數(shù)為，則，得，故C正確；低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，則，解得，故D正確.故選ACD.10.BD【解析】由題得，令，則，，故A錯誤；當(dāng)時，，.故B正確；因?yàn)榈闹芷?，所以若，則，，故C錯誤；將的圖象向右平移個單位長度得的圖象，故D正確.故選BD.11.CD【解析】對于A，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，A錯誤；對于B，定義域是，，因此是函數(shù)的一個周期，B錯誤；對于C，由得，函數(shù)定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，，∴，所以函數(shù)為偶函數(shù)，C正確；對于D，當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時，取得最小值0，D正確.12.ACD【解析】由題意知，，，，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，分別為，的中點(diǎn)，所以，，又，所以，如圖，以為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以所以，故A正確；由，設(shè)異面直線與所成的角為，則，，故B錯誤；設(shè)平面的一個法向量為，又，由得令，得，，則，又易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則又易知二面角為銳角，故，，故C正確；由，，，則為等腰三角形，所以又，，在中，由余弦定理得，，，所以又，，所以三棱錐的表面積為，故D正確，故選ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.20【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，則，，所以.14.0|（解析]由切點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即；由切點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即由題知：兩條直線是同一條直線，則：化簡得：.∴15.（隨意填對一空得3分）【解析】如圖所示，，，所以∵軸，，，∴所以四邊形為平行四邊形，∴，，∴解得，代入可取，∴解得，∴，∴16.【解析】已知，則，故函數(shù)在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)，令，則，則在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，則最小值為，則的最大值為，最小值為，則，∴，.∴當(dāng)時，，∴關(guān)于中心對稱.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.【解析】（1）因?yàn)?，所以所以，?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周長為.18.【解析】（1）易得所以，所以.（2）由題意，.故又對且時，∴得證.19.【解析】（1）由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點(diǎn)，∴底面圓，則，且，而，∴平面.又平面，∴平面平面（2）設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，又，可得，∴，，，所以，，若是平面的一個法向量，則令，則由于直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得或由題知，為與平面的交點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的倍，又平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到直線的距離，在中，，，故點(diǎn)到直線的距離為則點(diǎn)到平面的距離為∴點(diǎn)到平面的距離為或20.【解析】（1）依題意，，，，，零假設(shè)為：球隊(duì)成功與甲球員參賽無關(guān)，則觀測值依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該球隊(duì)成功與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.（2）①設(shè)表示“甲球員擔(dān)當(dāng)前鋒”；表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中場”；表示“甲球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”；表示“球隊(duì)輸?shù)裟硤龈傎悺?，有，，，，則所以該球隊(duì)某場競賽輸球的概率是0.35.②由①知，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，甲球員擔(dān)當(dāng)中場的概率③由①知，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，甲球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率球隊(duì)輸?shù)臈l件下，甲球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)的概率由②知，所以，應(yīng)當(dāng)多讓甲球員擔(dān)當(dāng)前鋒.21.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，無微小值；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，有極大值，無微小值.（2）令則令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即所以時，，，單調(diào)遞減，時，，，單調(diào)遞增，令，則在