廣東省普寧市普師某中學(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

廣東省普寧市普師高級(jí)中學(xué)2023屆高三二模試題

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題(每題5分)

2+1

A={X|X-2X-3<0)JB={X|2'>1)nlCnA=z、

1.已知集合IJ,集合1J,則5八()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)

C.(-a),-l]u[3,+o>)D.-l)U(3,+o))

2.已知三=i/(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在()

A.實(shí)軸上B.虛軸上

C.第一、三象限角平分線上D.第二、四象限的角平分線上

3.設(shè)數(shù)列{4}的前0項(xiàng)和為S“，4=1,{S“+w”}為常數(shù)列，?！?()

12]5—2〃

A.3"TB?"(“+])C(〃+l)(〃+2)3

llUOl

Ciuu1-r

4.設(shè)e是單位向量，AB=3e，CD=-3eAO=3,則四邊形438是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

5.把編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的電影

票超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)為()

A.36B.40C.42D.48

6.已知定義在R上的函數(shù)/(力滿足〃2+x)+/(2-力=0,函數(shù)〃x-l)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

且/⑴=1，則”2023)=()

A.-1B.OC.1D.2

X22

7.已知"，F(xiàn)2分別是雙曲線「：會(huì)—會(huì)v=1(。>。*>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)E的直線分別交雙曲線左、

右兩支于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，C8=36A,平分/[BC,則雙曲線「的離心率為（）

A.幣B.V5C.V3D.72

8.已知定義在R上函數(shù)/（x）=e'+/nr2—相?！?gt;0）,當(dāng)％+馬=1時(shí)，不等式

/（x,）+/（0）>/（々）+/（1）恒成立，則實(shí)數(shù)々的取值范圍是

A.（—co,0）B.（0,—）C.（―,1）D.（l,+oo）

二、多選題（漏選得2分，多選、錯(cuò)選得0分）

9.已知正數(shù)x,滿足x+y=2,則下列選項(xiàng)正確的是（）

11

A.一+一的最小值是2B.孫的最小值是1

xy

C.f+y2的最小值是4D.%（丁+1）的最大值是:

10.函數(shù)/（x）=Asin?x+e）（A>O,0>O,冏<兀）的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

B.若把/（力的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在[-兀,可上增函數(shù)

C.若把函數(shù)/（x）的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

D.Vxeqg，若/（3x）+a2/（《j恒成立，則°的最小值為百+2.

11.下列命題中，正確的命題是（）

A.數(shù)據(jù)1,3,4,5,6,8,10的第60百分位數(shù)為5

B若隨機(jī)變量X~N（3,〃），P（X>2）=0.62,則P（3<X<4）=0.12

C.若隨機(jī)變量X~《7,；）,則P（X=Z）取最大值時(shí)&=3或4

D.某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為9,方差為11；女生成績(jī)的平均數(shù)為

7,方差為8,則該10人成績(jī)的方差為10.5

12.如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動(dòng)

A.滿足MP//平面BDA的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為V2

B.滿足6P_￡AM的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為—

2

C.存在點(diǎn)P滿足尸A+PM=4

D.以點(diǎn)B為球心，Q為半徑的球面與面44c的交線長(zhǎng)為平兀

三、填空題(每題5分)

n-3,n>10

13.已知/(〃)=?，貝M8)=

/(/(n+5)),n<10

14.的展開式中含d項(xiàng)的系數(shù)為.

15.設(shè)拋物線C：9=2*(，>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|心|=2,若以板為直徑的圓過(guò)點(diǎn)

(0,1),則C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為

2342011

XxX尤23420U

16.已知函數(shù)/,(x)=l+x—L+L%—二++---g(x)=l-x+—-—+—-----設(shè)

23420112342011

尸(x)=/(x+3)-g(x-3),且函數(shù)尸(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間［a,"|(a<>a,beZ)內(nèi)，則的最小值為

四、解答題(17題10分，其它每題12分，共70分)

17.已知：S,為｛?！埃那啊?xiàng)和,且滿足an+SN=n.

(1)求證：｛4—1｝成等比數(shù)列；

(2)求

18.在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,。，已知c=a(sinB+cos5).

(1)求角A的大??；

（2）若邊4=夜，求@一’的取值范圍.

19.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=a,且平面ABC。，B4=4.

DC

（1）若在邊8C上存在一點(diǎn)。，使PQLQO,求a的取值范圍；

（2）當(dāng)邊3c上存在唯一點(diǎn)Q,使尸。LQO時(shí)，求二面角A—尸。一Q的余弦值.

20.2020年10月份黃山市某開發(fā)區(qū)一企業(yè)順利開工復(fù)產(chǎn)，該企業(yè)生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)

準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量M單位：g）與尺寸x（單位：mm）之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=c-x"（b、c為大于0的常

數(shù)）.按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)

得數(shù)據(jù)如下：

尺寸M6m）384858687888

質(zhì)量y（g）16.818.820.722.42425.5

質(zhì)量與尺寸的比上0.4420.3920.3570.3290.3080290

X

（1）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記自為取到優(yōu)等品的件數(shù)試求隨機(jī)變量J的分布列和期望;

（2）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

66

Z(In%)2

Z(lnx,」n?)力(Inxj之(In%)

/=1Z=1/=!/=1

75.324.618.3101.4

①根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程；

②已知優(yōu)等品的收益z（單位：千元）與x,y的關(guān)系為z=2y-0.32x,則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收

益z的預(yù)報(bào)值最大？（精確到0.1）

附：對(duì)于樣本（匕,%）。=1,2,,n）,其回歸直線〃=+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

__

、YV'Ui-nVU

b--~-=三>a-u-bv>e?2.7182.

t（匕一寸t片一命

i=li=\

2222

21.已知橢圓。：三+%=1（。>方>0）的離心率與雙曲線。'：5-5=1的離心率互為倒數(shù)，短軸長(zhǎng)為

2血.

（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)直線/與橢圓C相切于點(diǎn)A,A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)8作垂足為M,求

ABM面積的最大值.

22.已知函數(shù)〃x）=lnx-奴

（1）討論了（力的單調(diào)性；

（2）若X],巧，（演<%2）是/（X）的兩個(gè)零點(diǎn)?證明:

2

（Z）%+入2>一；

~a

/..、2-yl—ea

（〃）x2-x,>---------

a

參考答案

一、單選題(每題5分)

1.已知集合Mx—2>3<。｝,集合8=｛幻2F1｝,則“1)

A.[3,+oo)B.(3,+00)

C.(-oo,-l]uf3,+oo)D.(-oo,-l)J(3,+<?)

【答案】A

【解析】

【分析】首先解得集合A,B,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.

【詳解】解：A={X|X2-2X-3<0}={X|-1<%<3},3={尤|2川>1}={x|x>-1},

.1.CBA={x|x>3}=[3,+oo),故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，指數(shù)不等式的解法以及補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知]=i.z(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在()

A.實(shí)軸上B.虛軸上

C.第一、三象限的角平分線上D.第二、四象限的角平分線上

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷，由[=1.2可解得，=-。，則2=4+歷=。一切，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

(a,—。)，即可判斷

【詳解】設(shè)2=。+歷，則z=a-bi，則z=i-z=i《a+Z?i)=-8+ai,即。一份=-/?+5，，b=-a,

z=a+歷mz-ai,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a,一〃)，一定在第二、四象限的角平分線上,

故選:D

3.設(shè)數(shù)列{q}的前"項(xiàng)和為S,，4=1,{S.+%}為常數(shù)列，a“=()

1215-2〃

A，3"TB.〃(〃+[)°++D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由題意知，S“+〃/=2,當(dāng)〃時(shí)，能得到(〃+l)a“=(〃—l)a,i，由此能求出見(jiàn)

【詳解】數(shù)列{凡}的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,

5]+1xq=1+1=2,

{S,+no”}為常數(shù)列,,由題意知，Sn+nan=2,

當(dāng)〃22時(shí)，=(〃-l)a.T,

00a4%_12n-\

從叩--2----3------------

4?2%an-\34n+l

2

.9二而而,當(dāng)〃=1時(shí)上式成立，

2

a

?1-n=一（

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法的合理運(yùn)用.

UUOI

4.設(shè)e是單位向量，AB=3e，CD=-3e，A。=3,則四邊形438是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【解析】

UU11iUUIUI-II-I

【分析】由題知AB=3e=—CO,進(jìn)而得卜耳=|明，ABUCD，再根據(jù)菱形的定義即可得答案.

UUU1

【詳解】解：因?yàn)锳B=3e，CD=—3e，

ULUIuuu|UUH||UUniIT||F>

所以AB=3e=_。，即A8//CO，

所以四邊形ABC。是平行四邊形，

UUUI1]-I

因?yàn)锳O=3,即卜耳=卜。|,

所以四邊形ABC。是菱形.

故選：B

5.把編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的電影

票超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)為（）

A.36B.40C.42D.48

【答案】A

【解析】

【分析】將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.

【詳解】當(dāng)分的票數(shù)為1,1,3這種情況時(shí)：C；x3x8=18

當(dāng)分票數(shù)為L(zhǎng)2,2這種情況時(shí)：一張票數(shù)的人可以選擇1,3,5：C；x&x3=18

不同分法的種數(shù)為36

故答案選A

【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

6.已知定義在R上的函數(shù)/（x）滿足〃2+x）+/（2—x）=0,函數(shù)"x-1）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

且/。）=1，則〃2023）=（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用函數(shù)的周期性及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算求解.

【詳解】由/（2+x）+/（2-x）=0,得/（4+x）=-/（—x）①

又函數(shù)〃x-l）的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，所以函數(shù)“X）的圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，即/（力于'（一X）②

聯(lián)立①②兩式，可得〃4+x）=—/（-x）=—/（x）,所以/（x+8）=/（x）,

所以函數(shù)/（x）的一個(gè)周期為8,又=

所以/（2023）=/（253x8_l）=/（T）=/（l）=l,故A,B,D錯(cuò)誤.

故選：C.

22

7.已知士，入分別是雙曲線「0-*=1（〃>0,。〉0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)￡的直線分別交雙曲線左、

右兩支于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，C3=38A,平分/6BC,則雙曲線廠的離心率為（）

A.不B.75C.gD.五

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圍=3辱4可知CB〃gA,再根據(jù)角平分線定理得到忸耳忸C|的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義

分別把圖中所有線段用表示出來(lái)，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.

因?yàn)镃B=36A,所以八64/72s△耳BC,

設(shè)歸用=2c,則|6C|=4c,設(shè)|M=f,則忸耳|=3t,|AB|=2f.

忸用陽(yáng)場(chǎng)|2c1

因?yàn)槠椒?耳8。，由角平分線定理可知，^=^4-^=---

\BC\\F2C\4C2

所以忸q=2M=6f,所以|4用=||BC|=2t,

由雙曲線定義知|A周一|AK|=2a,即力—r=2a,t=2a,①

又由-\BF^—2a得忸閭=3，—2a=2,,

所以忸用=|=|A閭=2r,即AABF2是等邊三角形,

所以=ZABF2=60°.

|明『+忸川—恒可

在&耳3鳥中,由余弦定理知cos/F；B6=

2?防?防|

14/2+9r2-4c2

H即n一二----------------化簡(jiǎn)得7『=4。2,

22-2r-3r

把①代入上式得6=￡=J7,所以離心率為J7.

a

故選：A.

8.已知定義在R上的函數(shù)/(%)=爐+樞/一機(jī)(帆>0),當(dāng)玉+%=1時(shí)，不等式

/(七)+/(0)>/(/)+/(1)恒成立，則實(shí)數(shù)天的取值范圍是

A.(-℃,0)B.(0,；)C.(pl)D.(1,-Ko)

【答案】D

【解析】

【詳解】由題意得f(再)一得1一%)+/(0)-/(I)>0對(duì)m>0恒成立，

即n?(2x,-2)+(e*—)』+1-e)>0對(duì)根>()恒成立，

2X]—2>0

即｛為1L,.八恒成立，

e'-e'+l-e>0

又爐一+l—e>0單增，且％=0時(shí)，e"+l—e=0，

2X]—2>0

因此｛、玉>1，選口-

e'-e'+1-^>0

點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)

的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，

便于問(wèn)題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)

很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

二、多選題(漏選得2分，多選、錯(cuò)選得0分)

9.已知正數(shù)x,y滿足x+y=2,則下列選項(xiàng)正確的是()

11

A.一+一的最小值是2B.呼的最小值是1

xy

Q

c.f+y2的最小值是4D.M〉+i）的最大值是彳

【答案】AD

【解析】

【分析】A.利用“1”代換求最值

B.直接運(yùn)用基本不等式

C.先把式子變形，再運(yùn)用基本不等式

D.先構(gòu)造x+（y+l）=3,再運(yùn)用基本不等式

VX

【詳解】A.當(dāng)且僅當(dāng)丁=丁，即

2x2y

x=y=l時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確.

=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

C./+,2=@+?2_2盯2（彳+丁?―？1①[=巨±*=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)等號(hào)成立，故

k2J2

選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

D.因?yàn)閤+y=2,所以x+（y+l）=3,則%（仁+1）（+；+1）=￡,當(dāng)且僅當(dāng)x=y+1=|時(shí)等號(hào)成

立，故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

10.函數(shù)/（x）=Asin?x+°）（A>0⑷>0,附<兀）的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

B.若把/（x）的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在[-兀,可上增函數(shù)

C.若把函數(shù)/（X）的圖像向左平移T個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

n兀

D.Vxe若/(3x)+aN/恒成立，則”的最小值為6+2.

~3,3

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)A,由函數(shù)圖像即可算出函數(shù)的周期T，由7=——，即可求出。，再代入一個(gè)最高點(diǎn)即可求出

co

函數(shù)的解析式；對(duì)B、C,由圖像的平移變換即可求得變換后的圖像，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性以及函

數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)D,通過(guò)分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再利用三角函數(shù)知識(shí)即可求得。的最小值.

2冗1

詳解】對(duì)A,由題意知A=2,T=6兀，??.3=—=一，"2兀）=2,

6K3

27r

二/（2兀）=2sin（—+。）=2,

即sin(----F(p)—1,----\-(p=IkuH—(kwZ),cp—2.kn—(keZ),

3326

又.|時(shí)<兀，?=-/，.?./(x)=2sin(；x—F),所以A正確；

2

對(duì)B,把y=/(x)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的耳倍，縱坐標(biāo)不變，

得到的函數(shù)y=2sin(gx-Wj，xe[—7T,it],,

y=2sin｝一F在［一兀，可上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,把y=f（x）的圖像向左平移四個(gè)單位,

2

1(JT)7TX

則所得函數(shù)為y=2sin-x+---=2sin-,是奇函數(shù)，故C正確;

3\2y63

對(duì)D,對(duì)VXE一，/(3x)+〃N/)恒成立，即〃2—,Vxe—y,—恒成立,

兀兀,、/r.兀、兀兀

令g(x)=/-/(3x),xe>WJgM=V3-2sinz(x--),--<%<->

33o33

?e?~~—T?1<g(x)<+2,.0.a>V3+2,

266

?'?a的最小值為G+2，故D正確.

故選：ACD.

11.下列命題中，正確的命題是（）

A.數(shù)據(jù)1,3,4,5,6,8,10的第60百分位數(shù)為5

B.若隨機(jī)變量X~N（3,4）,P（X>2）=0.62,則。（3<X<4）=0.12

C.若隨機(jī)變量x~,則P（X=L）取最大值時(shí)左=3或4

D.某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為9,方差為11；女生成績(jī)的平均數(shù)為

7,方差為8,則該10人成績(jī)的方差為10.5

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A：直接求出第60百分位數(shù)，即可判斷；對(duì)于B：由正態(tài)曲線的對(duì)稱性直接求解；對(duì)于C：

表示出P（X=k）=C；（g）,利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D：由分層隨機(jī)抽樣中方差的計(jì)算公

式直接求解.

【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)1,3,4,5,6,8,10一共有7個(gè).

因?yàn)?x60%=4.2,所以其第60百分位數(shù)為第5個(gè)，為6.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)殡S機(jī)變量X~N（3Q2）,由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：p（X>4）=P（X<2）=1-0.62=0.38,

所以尸（2<X<4）=1-2x038=0.24,

所以P（3<X<4）=0.12.故B正確；

1］、"

對(duì)于C：因?yàn)殡S機(jī)變量X~8=GU=O,1,2,3,4,5,6,7).

（5乙）\乙?）

所以要使P（x=左）最大，只需C［（A=0,1,2,3,4,5,6,7）最大.

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)左=3或4時(shí)，C；=C；最大.故C正確;

對(duì)于D：由題意可得男生成績(jī)的平均數(shù)為9,方差為11,記為％=9,s；=11.

女生成績(jī)的平均數(shù)為7,方差為8,記為兀=7,s；=8.

所以全部10名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為磊x9+^x7=8.

由分層隨機(jī)抽樣中方差的計(jì)算公式可得：

11+（9-8）2+得［8+（7-8）2］=10.5.故D正確.

故選：BCD

12.如圖，已知正方體ABCD-A耳棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)”為CG中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面ABC。上的動(dòng)

點(diǎn)，則（）

A.滿足叱//平面BOA的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為J5

B.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為注

2

C.存在點(diǎn)尸滿足A4+?M=4

D.以點(diǎn)8為球心，夜為半徑的球面與面A4c的交線長(zhǎng)為半兀

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,利用面面平行的性質(zhì)證明線面平面，進(jìn)而求出軌跡長(zhǎng)度；

對(duì)選項(xiàng)B,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直求出點(diǎn)P軌跡，進(jìn)而求出軌跡長(zhǎng)度；

對(duì)選項(xiàng)C,建立空間直角坐標(biāo)系，利用距離公式求出點(diǎn)P軌跡滿足的方程，再結(jié)合二次方程的判別式，進(jìn)而

判斷不存在這樣的點(diǎn)尸；

對(duì)選項(xiàng)D,利用等體積法求出球心點(diǎn)B到面ABQ的距離，進(jìn)而求出交線長(zhǎng)度；

分別取G。，4cl的中點(diǎn)為E,尸，連接及

可得：MFH'D,MEHA\B,

又有：MFC\ME=M.

可得：平面腦方〃平面6DV

故滿足MP//平面BDA,的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為卜V2,故答案A正確;

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz

可得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),R(0,0,2),《2,0,2),2?,(2,2,2),C,(0,2,2),

M(0,2,1).

設(shè)尸(x,y,2),可得：A卷=(—2,2,1)，6/=(x-2,y—2,2),A》=(x—2,y,2),癡=(x,y-2,1>

—>—>

由可得：AM-8P=2(y—x+l)=0?

分別取的中點(diǎn)為G,”，點(diǎn)p滿足2(y—x+l)=0方程，說(shuō)明點(diǎn)P在平面ABCiA內(nèi)的軌跡為

一條線段GH,則滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為|6川=血，故答案B錯(cuò)誤.

—>—?

要使PA+PM=4，只需：PM+PA=4.

222

可得：y](x-2)+y+4+ylx+(y-2^+]=4(0<x<2,0<y<2).

化簡(jiǎn)可得：48x2+32xy-104x+48y2-152j+151=0(0<x<2,0<y<2).

則：A=-256(32/-88y+71)<0,即當(dāng)0<y<2時(shí)，△<().顯然該方程無(wú)解,

故不存在這樣的點(diǎn)尸，故答案C錯(cuò)誤.

VA&C為正三角形，設(shè)點(diǎn)B到平面A8C的距離為d，點(diǎn)與平面ABC的距離為2.

由等體積法，可得：^B-AByC~

可得;另x(2可x爭(zhēng)十源,即公挈

故以點(diǎn)B為球心，0為半徑的球面與面ABC的交線長(zhǎng)為：2x4用一人=半怎

故答案D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】(1)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接

點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖；

(2)用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、

性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比；

三、填空題(每題5分)

n-3,n>10

13.已知/(〃)=<,則火8)=

/(/(n+5)),n<10

【答案】7

【解析】

【分析】由于8<10,所以直8)=用(13)),而13>10,所以式13)=13-3=10,從而可求出48)=人10),進(jìn)而

可求出值.

【詳解】解：因?yàn)?<10,所以代入.穴〃)=胭〃+5)),即膽)=用(13)).

因?yàn)?3>10,所以代入、〃)="-3,得川3)=10,

故得式8)=貝10)=10—3=7.

故答案為：7

【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值，求值時(shí)要注意自變量所在的范圍，屬于基礎(chǔ)題.

14.1%-2］的展開式中含丁項(xiàng)的系數(shù)為_________.

IX)

【答案】-10

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式定理得出含/項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】［一2)的展開式的通項(xiàng)為&=c"-1—2)=(-2)'。"52,由5—2r=3得/'=1，則含F(xiàn)

的項(xiàng)為(一2)七；尤3=-10尤3,系數(shù)為TO

故答案為：-10

15.設(shè)拋物線。：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)M在C上，|Mr|=2,若以"r為直徑的圓過(guò)點(diǎn)

(0,1),則C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.

【答案】2

【解析】

【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，推出圓和)，軸相切，求

出知(2一］,2),代入拋物線方程，求出

【詳解】拋物線C方程為y2=2px(p>0),???焦點(diǎn)尸g,0),準(zhǔn)線方程為x=-g

設(shè)M(x,y),由拋物線性質(zhì)|MF|=x+V=2,可得》=2-"，

22

因?yàn)閳A心是板的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為22_1

-1

2

由已知圓半徑也為1,據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)(0,1),

故圓心縱坐標(biāo)為1,則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

即M(2—$2),代入拋物線方程得4=2p(2-9，所以p=2,

則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2,

故答案為：2

2342011234r201l

16.已知函數(shù)/(x)=l+x-L+土一土++--，g(x)=l-x+-———+—設(shè)

23420112342011

F(x)=/(x+3>g(x-3),且函數(shù)4(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間勿(a<>a,bwZ)內(nèi)，則b-a的最小值為

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)/(幻、g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而確定它們零點(diǎn)所在區(qū)間，得尸(x)

零點(diǎn)所在區(qū)間求解作答.

2011,x=-l

［詳解］/'(幻=］_］+丁_尤3+.+，當(dāng)X<T時(shí)，當(dāng)x>_］

------,x^-\

.1+X

時(shí)，x20">-n

因此/'(無(wú))>o,函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，而y(o)=i>o,/(—1)=-(—；一；——擊<o，

于是得函數(shù)/(X)的唯一零點(diǎn)在(-1,0)內(nèi)，函數(shù)/(X+3)的唯一零點(diǎn)在(T,-3)內(nèi)，

g,(x)=-l+x-x2+x3--x2010=-f'(x)<0,則g(x)是R上的減函數(shù)，WneN*,n>2,

2"2fl+12"(l-n)

--------=--7----<0

n〃+1+

有g(shù)⑴=(;-？+(;-])+

+()>0,

20102011

22239201022011

g(2)=(l-2)+(5一1)++(-----------)<0,

20102011

于是得函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)，函數(shù)g(x-3)的唯一零點(diǎn)在(4,5)內(nèi)，

因此函數(shù)尸(%)=/(x+3)-g(x-3)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間(-4,-3)和(4,5)內(nèi)，都在區(qū)間(T,5),

因函數(shù)下(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間［a,。］(a<b,a,beZ)內(nèi),則(-4,5)三［a,勿,即有aWY,且825,

b-a>9,

所以h—a的最小值為9.

故答案為：9

四、解答題(17題10分，其它每題12分，共70分)

17.已知：S“為｛為｝的前〃項(xiàng)和，且滿足凡+S,,=〃.

(1)求證：｛4-1｝成等比數(shù)列；

(2)求％.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再整理，利用等比數(shù)列地域證明結(jié)果;

（2）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得｛g-1｝通項(xiàng)公式，再求凡.

【詳解】（1）；an+S"="%+]+S?+l=〃+1，/—q+S?+1-S“=1,/.2%-4=1；

2（%T）=4T

因?yàn)閍”+S“=〃，所以4+$=]:.q=

n—11

所以?！耙徽?,4T=J

%T2

因此｛q一1｝構(gòu)成以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列定義、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系，考查基本分析論證求解能力，屬

基礎(chǔ)題.

18.在..A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知c=a（sin6+cosB）.

（1）求角A大??；

（2）若邊應(yīng)，求血一c的取值范圍.

【答案】（1）A=：

4

（2）卜V^,2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理與兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后求解

（2）由正弦定理化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解

【小問(wèn)1詳解】

???在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,

c=a（sinB+cosB）,

caa（sinB+cosB）a（sinB+cosB）

"sinCsinAsinCsin（A+B）'

sinAcosB+sinBcosA=sinAsinB+sinAcosB,即cosA=sinA,

【小問(wèn)2詳解】

a_b_c_A/2_2

,**a=V2，?二sinAsinBsinC夜，

~2

即Z?=2sinB,c=2sinC,且B+C=空，B=--C,(0<C<^

44<4

則'Jlb-c-2^2sin8-2sinC=2^2sinf^--Cj-2sinC

cosC+—sinC]-2sinC

2

7

=2cosC+2sinC—2sinC=2cosC,

3兀F7

?0C*<——,??------<cosC<1???—yp2<2cosC<2?

42

故J%-c的取值范圍是卜3,2).

19.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=a,且用_L平面ABC。，%=4.

(1)若在邊8C上存在一點(diǎn)。，使尸。，?！?,求a的取值范圍；

(2)當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)。，使PQLQO時(shí)，求二面角A—PD—Q的余弦值.

【答案】(1)[4,+8)

⑵為

3

【解析】

【分析】(1)連接4Q,設(shè)8。=/,則CQ=a-f,在RtAAOQ中，有AQ?+DQ?=，即

t2+4+(a—+4=/,利用基本不等式可求a的取值范圍;

（2）過(guò)Q作QM〃C。交A￡>于M,過(guò)M作MNLPO于N,連接NQ,可知/"NQ是二面角A—PC—Q

的平面角，進(jìn)而求出二面角4-P。一。的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，連接AQ,?.?以，平面A8C￡>,則由PQ，。。，必有AQ_LOQ.

設(shè)BQ=r,則CQ=a-r.在RsAB。中，有AQ=F7.

在RSCQQ中，有DQ=/a-ty+4.

在RSAOQ中，有AQ?+。。2=A。？，即/+4+（々一。2+4=/,

即產(chǎn)一雨+4=0，??.a=，+；N4,故”的取值范圍是［4,+8）.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，當(dāng)r=2,”=4時(shí)，

邊8c上存在唯一點(diǎn)Q（。為BC邊的中點(diǎn)），使PQLQD

如圖，過(guò)Q作。M〃CD交AD于M,則。M_LA￡）.

_1_平面ABC。，：.PA±QM,，QM_L平面力￡）.

過(guò)M作MNLPD于N,連接NQ,則QNLPD.

：.ZMNQ是二面角A-PD-Q的平面角.

在等腰Rt△出。中，可求得MN=0，又MQ=2,進(jìn)而NQ=#.

...cosNMNQ=吧=生=昱,即二面角A-PD-Q的余弦值為正.

NQ瓜33

20.2020年10月份黃山市某開發(fā)區(qū)一企業(yè)順利開工復(fù)產(chǎn)，該企業(yè)生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)

準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y（單位：g）與尺寸M單位：mm）之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=c-x〃S、c為大于。的常

數(shù)）.按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)

得數(shù)據(jù)如下:

尺寸384858687888

質(zhì)量y（g）16.818.820.722.42425.5

質(zhì)量與尺寸的比上

0.4420.3920.3570.3290.3080.290

（1）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記J為取到優(yōu)等品的件數(shù)試求隨機(jī)變量J的分布列和期望;

（2）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

6、

6之0n%)￡6(lnxj

/=1X=1/=1/=1

75.324.618.3101.4

①根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求），關(guān)于x的回歸方程；

②已知優(yōu)等品的收益z（單位：千元）與x,y的關(guān)系為z=2y-0.32x,則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收

益z的預(yù)報(bào)值最大？（精確到0.1）

附：對(duì)于樣本（匕,%）（i=l,2,,〃），其回歸直線〃=+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

〃n__

-YViUi-nVU

b=~~-=葉,a=u-bv>e=2.7182.

E（v,-'7）2EV,2-/IV2

I=Ii=l

【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為二3；（2）①②i72.3（/mm、）.

【解析】

【分析】

（I）由題意首先確定g的取值，然后求對(duì)應(yīng)的概率，即可列分布列，求出數(shù)學(xué)期望：

（2）①結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程即可；②結(jié)合計(jì)算求得回歸方程得到收益的函數(shù)，討論函數(shù)的

最值即可得最終結(jié)果.

【詳解】（1）由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即2€（0.302,0.388）

/Jx

則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品.

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)。=0』,2,3

c?c?19

P?=0)=寧■=1)=c:\c廣l

-20J"20

9_1

P4=2)=學(xué)c^c\=

c；20，c：20

自的分布列為

J0123

p1991

20202020

19913

EC)=0x——+lx——+2x——+3x——=—

202020202

(2)對(duì)y=八/(。,00)兩邊取自然對(duì)數(shù)得lny=lnc+Z>lnx,

令匕=lnx,.,%=lny,得u=b-v+a,且a=lnc,

①根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有：

-riv-u

75.3-24.6x18.34-60.271_

b=^---------

101.4-24.62-6-054

22

a=u—bv=H8.3——x24.6j-s-6=1,得(5=Inc=1,故l=e

所求y關(guān)于X的回歸方程為y=e.J

②由①可知，y=e.x^>則2=2e4-0.32x

由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比￡=/I=_±wjS,g]n&e(7,9)，即工右(49,81).

xx7x197J