高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3-2立體幾何中的向量方法一素養(yǎng)課件新人教A版選修2-1

3.2立體幾何中的向量方法(一)目標(biāo)定位重點(diǎn)難點(diǎn)1.理解直線的方向向量、平面的法向量，會求平面的法向量2.能利用直線的方向向量和平面的法向量解決平行問題3.能利用直線的方向向量和平面的法向量解決垂直問題重點(diǎn)：用向量方法解決平行與垂直問題難點(diǎn)：用向量方法解決立體幾何問題1．直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線___________向量．2．平面的法向量直線l⊥α，取直線l的__________a，則a叫作平面α的法向量．平行的非零方向向量3．空間中平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?_______?______________________________.(2)線面平行設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，若l?α，則l∥α?a⊥u?_________?____________________.a＝kba1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra·u＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(3)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?________?______________________________.4．空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?________?________?____________________.u＝kva1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?u∥v?________.(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?______?________?___________________.u＝kvu⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝01．設(shè)平面α內(nèi)兩個向量的坐標(biāo)分別為(1,2,1)，(－1,1,2)，則下列向量中是平面α的法向量的是(

)A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【答案】B【解析】∵(－1,1，－1)·(1,2,1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1,1,2)＝1＋1－2＝0，∴向量(－1,1，－1)是平面α的法向量．故選B.2．若平面α與β的法向量分別是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，則平面α與β的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．無法判斷【答案】A【解析】∵a＝(1,0，－2)＝－(－1,0,2)＝－b，∴a∥b.∴α∥β.【答案】B【解析】∵α⊥β，則它們的法向量也互相垂直，∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.【答案】B【解析】∵α⊥β，則它們的法向量也互相垂直，∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.【例1】

如下圖，在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點(diǎn)P在棱AA1上且AP＝2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上且SB1＝2BS，點(diǎn)Q，R分別是棱O1B1，AE的中點(diǎn)，求證：PQ∥RS.利用空間向量解決平行問題【解題探究】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明方向向量共線．證明兩直線平行，即證兩直線的方向向量共線且不共點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個表面的中心，求證：平面EFG∥平面HMN.1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個表面的中心，求證：平面EFG∥平面HMN.利用空間向量解決垂直問題【解題探究】(1)證明兩直線垂直，即證兩直線方向向量垂直；(2)利用向量數(shù)量積求夾角．【解析】以D為原點(diǎn)，線段DA，DC，DD′所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．證明兩直線垂直，即證兩直線的方向向量垂直，即證兩個向量的數(shù)量積為0，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面PAB.【證明】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E(a,0,0)，其中a>0,則C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0，0,1)，1．直線的方向向量和平面的法向量是用空間向量解決立體幾何問題的兩個重要工具，是實(shí)現(xiàn)空間問題的向量解法的媒介．2．用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直問題，主要運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量，同時也要借助空間中已有的一些關(guān)于平行、垂直的定理．3．用向量方法證明平行、垂直問題的步驟(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系，也可以不建系)，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面；(2)通過向量運(yùn)算研究平行、垂直問題；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．1．若兩個不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，則(

)A．α，β相交但不垂直 B．α⊥βC．α∥β D．以上均不正確【答案】B

【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故選B．2．在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于(

)A．AC B．BDC．A1D D．A1A【答案】B3．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z的值為(

)A．3

B．6

C．－9

D．9【答案】C

【解析】∵l⊥平面α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.【答案】1

0

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強(qiáng).勵志名言請您欣賞3．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z的值為(

)A．3

B．6

C．－9

D．9【答案】C

【解析】∵l⊥平面α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.1．若兩個不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，則(

)A．α，β相交但不垂直 B．α⊥βC．α∥β D．以上均不正確【答案】B

【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故選B．(3)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?________?______________________________.4．空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?________?________?____________________.u＝kva1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．設(shè)平面α內(nèi)兩個向量的坐標(biāo)分別為(1,2,1)，(－1,1,2)，則下列向量中是平面α的法向量的是