高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2-2-1等差數(shù)列同步課件新人教A版必修5

2.2等差數(shù)列第1課時(shí)等差數(shù)列

主題1等差數(shù)列的概念1.觀察下面幾組數(shù)列,思考每個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差滿足什么條件?(1)2,4,6,8,10,12,…(2)1,1,1,1,1,1,…(3)1,3,5,7,9,11,…提示:上述每個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).2.若滿足上述條件的數(shù)列我們稱之為等差數(shù)列,試判斷滿足2A=a+b的三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列嗎?提示:因?yàn)?A=a+b,所以A-a=b-A,故a,A,b成等差數(shù)列.結(jié)論:1.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于___________,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.同一個(gè)常數(shù)(2)公差:這個(gè)_____叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母__表示.常數(shù)d2.等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)a,A,b構(gòu)成等差數(shù)列,則A叫做a,b的等差中項(xiàng),并且A=.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知a=1,b=3,則a,b的等差中項(xiàng)為 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B..【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知a=1,b=3,則a,b的等差中項(xiàng)為 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B..2.下列數(shù)列是等差數(shù)列的是 (

)A. B.C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0【解析】選D.因?yàn)?故排除A;又,故排除B;又-1-1≠1-(-1),故排除C.3.lg()與lg()的等差中項(xiàng)是________.

【解析】等差中項(xiàng)A=答案:0主題2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1.由等差數(shù)列的定義知a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d……由此你能寫出an與n,d的關(guān)系式嗎?提示:an=a1+(n-1)d.2.除了上述方法外,你還能用其他方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?提示:能.方法如下:因?yàn)?.除了上述方法外,你還能用其他方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?提示:能.方法如下:因?yàn)閷⒁陨?n-1)個(gè)等式兩邊分別相加,可得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.結(jié)論:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)條件:等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.(2)通項(xiàng)公式:____________.an=a1+(n-1)d【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.在等差數(shù)列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,則a1等于 (

)A.-9 B.-8 C.-7 D.-4【解析】選B.方法一:由題意,得解得a1=-8.方法二:由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),得d=,所以d==3,a1=a2-d=-8.2.已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3-4n,則數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差分別是 (

)A.1,4 B.-1,-4 C.4,1 D.-4,-1【解析】選B.當(dāng)n=1時(shí),a1=-1,當(dāng)n=2時(shí),a2=3-4×2=-5,所以公差d=a2-a1=-4.3.等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=3,公差d=3,若an=2016,則n=________.

【解析】由題意知,an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=2016,解得n=672.答案:672類型一等差數(shù)列的判定與證明【典例1】已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4-(n>1,n∈N*),記bn=,試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?說明理由.【解題指南】欲判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列,只需說明bn+1-bn為常數(shù)是否成立.【解析】數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.因?yàn)閎n+1-bn=

又b1=所以數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.【方法總結(jié)】1.定義法判定等差數(shù)列(1)條件:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)或an-an-1=d(常數(shù))(n>1,n∈N*).(2)結(jié)論:{an}是等差數(shù)列.(3)應(yīng)用范圍:通常用于解答題.2.通項(xiàng)公式法判定等差數(shù)列(1)條件:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式滿足函數(shù)關(guān)系式an=kn+b(k,b是常數(shù)).(2)結(jié)論:{an}是等差數(shù)列.(3)應(yīng)用范圍:通常用于選擇、填空題.【跟蹤訓(xùn)練】已知a,b,c成等差數(shù)列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列?【解析】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.又因?yàn)閍2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a).所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=10+lg2n

(n∈N*),求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列.【證明】因?yàn)閍n=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.類型二等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【典例2】(1)等差數(shù)列1+x,2x+2,5x+1,…,的第四項(xiàng)等于 (

)A.10 B.6 C.8 D.12(2)在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.【解題指南】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義,求出x的值,再求第四項(xiàng).(2)根據(jù)5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,利用等差中項(xiàng)的計(jì)算公式求解.【解析】(1)選C.由題意可得,(1+x)+(5x+1)=2(2x+2)解得x=1,所以這個(gè)數(shù)列為2,4,6,8,…,即第四項(xiàng)為8.(2)因?yàn)?1,a,b,c,7成等差數(shù)列,所以b是-1與7的等差中項(xiàng),則b==3,又a是-1與3的等差中項(xiàng),所以a==1.又c是3與7的等差中項(xiàng),所以c==5.所以該數(shù)列為-1,1,3,5,7.【方法總結(jié)】等差中項(xiàng)的求法及應(yīng)注意的兩個(gè)問題(1)求法:已知實(shí)數(shù)a,b,求a,b的等差中項(xiàng)A,只需求出a與b的算術(shù)平均數(shù)即可,即A=.(2)注意:①唯一性:任意兩個(gè)常數(shù)存在唯一的等差中項(xiàng);②任意性:等差數(shù)列中不連續(xù)的三項(xiàng),如ak-s,ak,ak+s中,ak是ak-s與ak+s的等差中項(xiàng),因?yàn)槠湎聵?biāo)k-s,k,k+s成等差數(shù)列.提醒:等差數(shù)列中項(xiàng)的下標(biāo)成等差數(shù)列,相應(yīng)項(xiàng)也成等差數(shù)列.【跟蹤訓(xùn)練】已知數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列,則a,b,c的值分別為________,________,________.

【解析】因?yàn)?,a,2,b,c是等差數(shù)列,所以解得答案:5

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-4類型三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【典例3】已知等差數(shù)列{an},滿足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解題指南】三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是b=(或2b=a+c),可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題.如若證{an}為等差數(shù)列,可證2an+1=an+an+2(n∈N*).【解析】在等差數(shù)列{an}中,因?yàn)閍2+a3+a4=18,所以3a3=18,a3=6.所以解得當(dāng)時(shí),a1=16,d=-5.an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.當(dāng)時(shí),a1=-4,d=5.an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.

【方法總結(jié)】求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四個(gè)步驟【跟蹤訓(xùn)練】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.設(shè)bn=.(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由已知an+1=2an+2n得bn+1===+1=bn+1.又b1=a1=1,因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n,又bn=,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n·2n-1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6為方程x2-10x+16=0的兩個(gè)實(shí)根.(1)求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)?若是,是第幾項(xiàng)?若不是,說明理由.【解題指南】(1)由于數(shù)列{an}是等差數(shù)列,只要確定它的首項(xiàng)a1及公差d的值,將其代入通項(xiàng)公式中,即可得an.(2)268是否為該等差數(shù)列中的項(xiàng),關(guān)鍵是看an=268是否有正整數(shù)解.【解析】(1)因?yàn)榧唇獾霉蔭n=-2+2(n-1)=2n-4.(2)268是此數(shù)列中的項(xiàng).令an=2n-4=268得2n=272,故n=136.因此268是此數(shù)列中的第136項(xiàng).【知識(shí)思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請您欣賞(2)268是此數(shù)列中的項(xiàng).令an=2n-4=268得2n=272,故n=136.因此268是此數(shù)列中的第136項(xiàng).【解題指南】(1)由于數(shù)列{an}是等差數(shù)列,只要確定它的首項(xiàng)a1及公差d的值,將其代入通項(xiàng)公式中,即可得an.(2)268是否為該等差數(shù)列中的項(xiàng),關(guān)鍵是看an=268是否有正整數(shù)解.2.若滿足上述條件的數(shù)列我們稱之為等差數(shù)列,試判斷滿足2A=a+b的三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列嗎