高中數(shù)學第二章數(shù)列2-2-1等差數(shù)列同步課件新人教A版必修5

2.2等差數(shù)列第1課時等差數(shù)列

主題1等差數(shù)列的概念1.觀察下面幾組數(shù)列,思考每個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差滿足什么條件?(1)2,4,6,8,10,12,…(2)1,1,1,1,1,1,…(3)1,3,5,7,9,11,…提示:上述每個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù).2.若滿足上述條件的數(shù)列我們稱之為等差數(shù)列,試判斷滿足2A=a+b的三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列嗎?提示:因為2A=a+b,所以A-a=b-A,故a,A,b成等差數(shù)列.結(jié)論:1.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于___________,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.同一個常數(shù)(2)公差:這個_____叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母__表示.常數(shù)d2.等差中項若三個數(shù)a,A,b構(gòu)成等差數(shù)列,則A叫做a,b的等差中項,并且A=.【對點訓練】1.已知a=1,b=3,則a,b的等差中項為 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B..【對點訓練】1.已知a=1,b=3,則a,b的等差中項為 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B..2.下列數(shù)列是等差數(shù)列的是 (

)A. B.C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0【解析】選D.因為,故排除A;又,故排除B;又-1-1≠1-(-1),故排除C.3.lg()與lg()的等差中項是________.

【解析】等差中項A=答案:0主題2等差數(shù)列的通項公式1.由等差數(shù)列的定義知a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d……由此你能寫出an與n,d的關(guān)系式嗎?提示:an=a1+(n-1)d.2.除了上述方法外,你還能用其他方法推導等差數(shù)列的通項公式嗎?提示:能.方法如下:因為2.除了上述方法外,你還能用其他方法推導等差數(shù)列的通項公式嗎?提示:能.方法如下:因為將以上(n-1)個等式兩邊分別相加,可得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.結(jié)論:等差數(shù)列的通項公式(1)條件:等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.(2)通項公式:____________.an=a1+(n-1)d【對點訓練】1.在等差數(shù)列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,則a1等于 (

)A.-9 B.-8 C.-7 D.-4【解析】選B.方法一:由題意,得解得a1=-8.方法二:由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),得d=,所以d==3,a1=a2-d=-8.2.已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3-4n,則數(shù)列{an}的首項與公差分別是 (

)A.1,4 B.-1,-4 C.4,1 D.-4,-1【解析】選B.當n=1時,a1=-1,當n=2時,a2=3-4×2=-5,所以公差d=a2-a1=-4.3.等差數(shù)列{an}中,首項a1=3,公差d=3,若an=2016,則n=________.

【解析】由題意知,an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=2016,解得n=672.答案:672類型一等差數(shù)列的判定與證明【典例1】已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4-(n>1,n∈N*),記bn=,試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?說明理由.【解題指南】欲判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列,只需說明bn+1-bn為常數(shù)是否成立.【解析】數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.因為bn+1-bn=

又b1=所以數(shù)列{bn}是以為首項,為公差的等差數(shù)列.【方法總結(jié)】1.定義法判定等差數(shù)列(1)條件:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)或an-an-1=d(常數(shù))(n>1,n∈N*).(2)結(jié)論:{an}是等差數(shù)列.(3)應用范圍:通常用于解答題.2.通項公式法判定等差數(shù)列(1)條件:數(shù)列{an}的通項公式滿足函數(shù)關(guān)系式an=kn+b(k,b是常數(shù)).(2)結(jié)論:{an}是等差數(shù)列.(3)應用范圍:通常用于選擇、填空題.【跟蹤訓練】已知a,b,c成等差數(shù)列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列?【解析】因為a,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.又因為a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a).所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.【補償訓練】若數(shù)列{an}的通項公式為an=10+lg2n

(n∈N*),求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列.【證明】因為an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.類型二等差中項及其應用【典例2】(1)等差數(shù)列1+x,2x+2,5x+1,…,的第四項等于 (

)A.10 B.6 C.8 D.12(2)在-1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c,使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.【解題指南】(1)根據(jù)等差中項的定義,求出x的值,再求第四項.(2)根據(jù)5個數(shù)成等差數(shù)列,利用等差中項的計算公式求解.【解析】(1)選C.由題意可得,(1+x)+(5x+1)=2(2x+2)解得x=1,所以這個數(shù)列為2,4,6,8,…,即第四項為8.(2)因為-1,a,b,c,7成等差數(shù)列,所以b是-1與7的等差中項,則b==3,又a是-1與3的等差中項,所以a==1.又c是3與7的等差中項,所以c==5.所以該數(shù)列為-1,1,3,5,7.【方法總結(jié)】等差中項的求法及應注意的兩個問題(1)求法:已知實數(shù)a,b,求a,b的等差中項A,只需求出a與b的算術(shù)平均數(shù)即可,即A=.(2)注意:①唯一性:任意兩個常數(shù)存在唯一的等差中項;②任意性:等差數(shù)列中不連續(xù)的三項,如ak-s,ak,ak+s中,ak是ak-s與ak+s的等差中項,因為其下標k-s,k,k+s成等差數(shù)列.提醒:等差數(shù)列中項的下標成等差數(shù)列,相應項也成等差數(shù)列.【跟蹤訓練】已知數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列,則a,b,c的值分別為________,________,________.

【解析】因為8,a,2,b,c是等差數(shù)列,所以解得答案:5

-1

-4類型三等差數(shù)列的通項公式及應用【典例3】已知等差數(shù)列{an},滿足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求數(shù)列{an}的通項公式.【解題指南】三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是b=(或2b=a+c),可用來進行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項的計算問題.如若證{an}為等差數(shù)列,可證2an+1=an+an+2(n∈N*).【解析】在等差數(shù)列{an}中,因為a2+a3+a4=18,所以3a3=18,a3=6.所以解得當時,a1=16,d=-5.an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.當時,a1=-4,d=5.an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.

【方法總結(jié)】求等差數(shù)列通項公式的四個步驟【跟蹤訓練】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.設(shè)bn=.(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】(1)由已知an+1=2an+2n得bn+1===+1=bn+1.又b1=a1=1,因此{bn}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n,又bn=,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n·2n-1.【補償訓練】已知等差數(shù)列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6為方程x2-10x+16=0的兩個實根.(1)求此數(shù)列{an}的通項公式.(2)268是不是此數(shù)列中的項?若是,是第幾項?若不是,說明理由.【解題指南】(1)由于數(shù)列{an}是等差數(shù)列,只要確定它的首項a1及公差d的值,將其代入通項公式中,即可得an.(2)268是否為該等差數(shù)列中的項,關(guān)鍵是看an=268是否有正整數(shù)解.【解析】(1)因為即解得故an=-2+2(n-1)=2n-4.(2)268是此數(shù)列中的項.令an=2n-4=268得2n=272,故n=136.因此268是此數(shù)列中的第136項.【知識思維導圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞(2)268是此數(shù)列中的項.令an=2n-4=268得2n=272,故n=136.因此268是此數(shù)列中的第136項.【解題指南】(1)由于數(shù)列{an}是等差數(shù)列,只要確定它的首項a1及公差d的值,將其代入通項公式中,即可得an.(2)268是否為該等差數(shù)列中的項,關(guān)鍵是看an=268是否有正整數(shù)解.2.若滿足上述條件的數(shù)列我們稱之為等差數(shù)列,試判斷滿足2A=a+b的三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列嗎