高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2-5-1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和同步課件新人教A版必修5

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和主題1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1.已知數(shù)列1,21,22,23,…如何求其前64項(xiàng)和S64=1+21+22+23+…+263?提示:用2乘以等式的兩邊,得:2S64=21+22+23+…+263+264,作差得S64=264-1.2.參照1的求法,如何求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn?提示:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公比是q,前n項(xiàng)和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1·qn-1,

①則qSn=a1q+a1q2+…+a1·qn-1+a1·qn,

②由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn,當(dāng)q≠1時(shí),Sn=,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.即Sn=結(jié)論:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=或Sn=

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=8,公比q=,那么它的前5項(xiàng)的和S5的值是 (

)

A. B. C. D.【解析】選A.S5====.【解析】選A.S5====.2.等比數(shù)列{an}中,a1=-1,a4=64,則數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和S3= (

)A.13 B.-13 C.-51 D.51【解析】選B.設(shè)公比為q,由題意,等比數(shù)列{an}中,a1=-1,a4=64,所以a4=-1×q3=64,解得q=-4,所以數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和S3==-13.3.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}中,a2·a6=16,a3+a5=10,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn= (

)A.2n-2- B.2n-1-C.2n-1 D.2n+1-2【解析】選B.因?yàn)閍2·a6=16,所以a3·a5=16,又因?yàn)閍3+a5=10,等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增,所以a3=2,a5=8,所以公比q=2,a1=,所以Sn==2n-1-.主題2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)給定等比數(shù)列{an}:1,2,22,23,…,2n,…1.計(jì)算{an}的前n項(xiàng)和Sn,觀察前n項(xiàng)和有什么特點(diǎn)?提示:Sn===2n-1,Sn是由一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的.2.計(jì)算S4,S8,S12,并判斷S4,S8-S4,S12-S8是否構(gòu)成等比數(shù)列.提示:S4==24-1,S8==28-1,S12==212-1.2.計(jì)算S4,S8,S12,并判斷S4,S8-S4,S12-S8是否構(gòu)成等比數(shù)列.提示:S4==24-1,S8==28-1,S12==212-1.S8-S4=28-24=24(24-1),S12-S8=212-28=28(24-1),所以==24.故S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.結(jié)論:等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)當(dāng)q≠1時(shí),Sn=,若設(shè)A=,則Sn=-Aqn+A,故Sn是由一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)式和一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的,且指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).(2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成公比為qm的等比數(shù)列.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,S2=7,S6=91,則S4為

(

)A.28 B.32C.21 D.28或-21【解析】選A.因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以S2,S4-S2,S6-S4也為等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4成等比數(shù)列,所以(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21.因?yàn)镾4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,所以S4=28.2.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4=1,S8=3,則S12=________.

【解析】由Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,所以(S8-S4)2=S4·(S12-S8),即(3-1)2=1×(S12-3),所以S12=7.答案:73.在數(shù)列{an}中,an+1=can(c為非零常數(shù)),且前n項(xiàng)和為Sn=3n+k,則實(shí)數(shù)k=________.

【解析】方法一:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+k,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=3n-3n-1=2·3n-1.由已知知{an}為等比數(shù)列,所以a1=3+k=2,則k=-1.方法二:由已知知,{an}是等比數(shù)列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,由=a1a3得18(3+k)=36,解得k=-1.答案:-1類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算【典例1】(2019·成都高二檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=6,b2·b4=a16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.【解題指南】(1)由a1=1,a2+a4=6,可得公差d的值,可得等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)由(1)中結(jié)論,可得b2·b4=a16=16,可得q2=4,可得{b2n-1}是以1為首項(xiàng),以q2=4為公比的等比數(shù)列,可得b1+b3+b5+…+b2n-1的值.【解析】(1)由題意可知,a1=1,a2+a4=1+d+1+3d=6,解得,d=1,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)中結(jié)論,可得a16=16,所以b2·b4=q·q3=16,所以q2=4,所以{b2n-1}是以1為首項(xiàng),以q2=4為公比的等比數(shù)列,通項(xiàng)公式為b2n-1=4n-1,所以b1+b3+b5+…+b2n-1==.【方法總結(jié)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),首先要對(duì)公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.(2)當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列是常數(shù)列,所以Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)公式.當(dāng)已知a1,q與n時(shí),用Sn=比較方便;當(dāng)已知a1,q與an時(shí),用Sn=比較方便.【跟蹤訓(xùn)練】

(2019·昆明高一檢測(cè))在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知得

=a1a5,則(a1+d)2=a1(a1+4d),將a1=1代入并化簡(jiǎn)得d2-2d=0,解得d=2,d=0(舍去).所以an=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)知bn=22n-1,所以bn+1=22n+1,所以=22n+1-(2n-1)=4,所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列.所以Sn=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q.【解析】若q=1,則S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但S3+S6≠2S9,所以q≠1.由求和公式得,整理得q3(2q6-q3-1)=0.因?yàn)閝≠0,所以2q6-q3-1=0.因?yàn)閝≠1,所以q=-.2.在遞增的等比數(shù)列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n項(xiàng)和為Sn=42,則n= (

)A.3

B.4

C.5

D.6【解析】選A.因?yàn)閍1+an=34,a1an=a3an-2=64,所以a1=2,an=32=a1qn-1,所以Sn==42,所以q=4,所以n=3.類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例2】(1)在等比數(shù)列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,則S3n=________.

(2)已知等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為1,且公比q=2,求前12項(xiàng)的和.【解題指南】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列求S3n.(2)根據(jù)S4,S8-S4,S12-S8的關(guān)系求S12.【解析】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列得(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),所以S3n=63.答案:63(2)因?yàn)镾4=1,q=2,所以S8-S4=a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16,解得S8=17.又因?yàn)镾4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,所以(S8-S4)2=S4·(S12-S8),即162=S12-17,所以S12=273.【方法總結(jié)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題時(shí),若條件含有奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的時(shí)候,如果項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),可考慮利用奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之間的關(guān)系求解.(2)當(dāng)已知條件含有片段和時(shí),要考慮性質(zhì)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比數(shù)列.【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S5=10,S10=50,則S20等于 (

)

A.90 B.250 C.210 D.850【解析】選D.由已知,數(shù)列的公比q≠1,設(shè)首項(xiàng)為a1,因?yàn)镾5=10,S10=50,所以=10,=50,兩式相除可得1+q5=5,所以q5=4,S20=【補(bǔ)償訓(xùn)練】各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},前n項(xiàng)和記為Sn,若S10=10,S30=70,求S40.【解析】由題意知q≠±1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比為q10的等比數(shù)列,則S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10,即q20+q10-6=0,得q10=2或q10=-3(舍),所以S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10×(1+2+22+23)=150.類型三等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用【典例3】從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬(wàn)元,以后每年投入將比上年減少,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元,由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第1年)總投入Sn萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為Tn萬(wàn)元,寫出Sn,Tn的表達(dá)式.(2)至少要經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?【解題指南】(1)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題求解.(2)只需求出Tn>Sn的最小正整數(shù)n即可.【解析】(1)第1年投入800萬(wàn)元,第2年投入800×萬(wàn)元,…,第n年投入800×萬(wàn)元.所以,n年內(nèi)的總投入Sn=800+800×+…+800×=4000×.第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元,第2年旅游業(yè)收入為400×萬(wàn)元,…,第n年旅游業(yè)收入為400×萬(wàn)元.所以,n年內(nèi)的總收入Tn=400+400×+…+400×=1600×.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入,因此Tn-Sn>0,即1600×-4000×>0,化簡(jiǎn)得5×+2×-7>0,即<,可得n≥5.所以,至少要經(jīng)過(guò)5年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.【方法總結(jié)】解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意.(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.具體解題步驟用框圖表示如下:【跟蹤訓(xùn)練】《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題:今有蒲生一日,長(zhǎng)三尺,莞生一日,長(zhǎng)一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等?意思是:今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺,莞第一天長(zhǎng)高1尺,以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半,莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍.若蒲、莞長(zhǎng)度相等,則所需時(shí)間為 (

)(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771.)A.2.2天 B.2.4天 C.2.6天 D.2.8天【解析】選C.設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an},其a1=3,公比為,其前n項(xiàng)和為An,則An=.莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn},其b1=1,公比為2,其前n項(xiàng)和為Bn.則Bn=,由題意可得:=,整理得:2n+=7,解得2n=6,或2n=1(舍去).所以n=log26==1+≈2.6.所以估計(jì)2.6天蒲、莞長(zhǎng)度相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對(duì)穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問(wèn)何日相逢,各穿幾何?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半.”如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞之和,則Sn=

尺.

【解析】大老鼠每日打洞的距離是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,小老鼠每日打洞的距離是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,故Sn=.答案:【知識(shí)思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.