2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的概念與線性運算教師用書

第一節(jié)平面對量的概念與線性運算考試要求：1．了解平面對量的實際背景，理解平面對量的意義和兩個向量相等的含義．2．理解平面對量的幾何表示和基本要素．3．駕馭平面對量加、減運算，數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量向量由方向和長度確定，與位置沒有關(guān)系零向量長度為0的向量其方向是隨意的，記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±a平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行(或共線)相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0解決向量概念問題要留意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否滿意條件，要特殊留意零向量的特殊性．2．平面對量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法則減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運算叫做向量的減法三角形法則數(shù)乘實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|．(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa．4．常用結(jié)論(1)設(shè)P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則OP＝12(2)若G是△ABC的重心，D是BC邊的中點，則①GA+GB+②AG＝13③GD＝12(GB(3)在四邊形ABCD中，若E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，則AB+DC＝2(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ為實數(shù))，點A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．二、基本技能·思想·活動閱歷1．推斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?(√)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c. (×)(3)若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(×)(4)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反． (×)2．如圖，設(shè)P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達式錯誤的是()A．AP＝13AB B．AQC．BP＝－23AB DD解析：由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯誤．3．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，BC＝3CD，則()A．AD＝－1B．AD＝1C．AD＝4D．AD＝4A解析：由題意得AD＝AC+CD＝AC+134．已知□ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且OA＝a，OB＝b，則DC＝________，BC＝___________．(用a，b表示)b－a－a－b解析：如圖，DC＝AB＝OB-OA＝b－a，BC＝OC-OB＝－OA-5．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝_________．12解析：因為向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則λ=μ，1=2μ，解得λ＝考點1向量的相關(guān)概念——基礎(chǔ)性1．下面說法正確的是()A．平面內(nèi)的單位向量是唯一的B．全部單位向量的終點的集合為一個單位圓C．全部的單位向量都是共線的D．全部單位向量的模相等D解析：因為平面內(nèi)的單位向量有多數(shù)個，所以選項A錯誤．當(dāng)單位向量的起點不同時，其終點就不肯定在同一個圓上，所以選項B錯誤．當(dāng)兩個單位向量的方向不相同也不相反時，這兩個向量就不共線，所以選項C錯誤．因為單位向量的模都等于1，所以選項D正確．2．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，肯定是共線向量；②λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中假命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3D解析：①假命題，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點．②假命題，當(dāng)a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.③錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是隨意向量．故假命題有3個，故選D.3．(多選題)下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點，則AB＝DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．兩向量a，b相等的充要條件是|a|＝|b|且a∥bBC解析：A不正確．兩個向量的模相等，但它們的方向不肯定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.B正確．若AB＝DC，則|AB|＝|DC|且AB∥DC.又因為A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD是平行四邊形．反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC且AB＝DC，又AB與DC方向相同，因此AB＝DC.C正確．因為a＝b，所以a，b的長度相等且方向相同．因為b＝c，所以b，c的長度相等且方向相同．所以a，c的長度相等且方向相同，所以a＝c.D不正確．當(dāng)a∥b，但方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件．1．解答此類問題的關(guān)鍵是精確理解向量的有關(guān)概念，否則易出錯．如第2題第③項易忽視λ＝μ＝0時a，b為隨意向量而致錯；第3題中的A選項易誤認為“模相等，兩個向量就相等”而忽視方向．2．對平面對量概念理解的幾點留意(1)平行向量就是共線向量，二者是等價的，它們均與起點無關(guān)；非零向量的平行具有傳遞性；相等向量肯定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有傳遞性．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負數(shù)，可以比較大?。?3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．(4)非零向量a與aa的關(guān)系：aa是與考點2平面對量的線性運算——綜合性考向1向量的線性運算(1)設(shè)非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|A解析：方法一：因為|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.所以a·b＝0.所以a⊥b.方法二：利用向量加法的平行四邊形法則．在□ABCD中，設(shè)AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M為BC的中點，則AM＝()A．12ABC．34ABB解析：因為AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中點，所以AM＝12(AB+AC)＝11．本例(2)條件不變，用AB，AD表示解：DM＝DC+CM＝12(AB+CB)＝12(2．本例(2)中，若CM＝2MB，其他條件不變，用AB，AC表示解：AM＝AB+BM＝AB+131．平面對量的線性運算技巧(1)不含圖形的狀況：可干脆運用相應(yīng)運算法則求解．(2)含圖形的狀況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．三種運算的關(guān)注點(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點相同”．(2)減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向被減向量．(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算．考向2利用向量的線性運算求參數(shù)問題在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點．若AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B．1C．13 D解析：由于AB＝2，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，所以BD＝1.由題意易得AD＝AB+BD＝AB+13BC，則2AO＝AB+13BC，即AO＝12AB+16BC.所以依據(jù)平面對量的線性運算求參數(shù)問題可以探討向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值或范圍．1．(2024·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB解析：如圖，CD＝CA+AD＝CA+12所以12CB＝32CD-CA，即CB＝3CD－22．(2024·聊城模擬)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，D不重合)．若AO＝xAB＋(1－x)AC，則x的取值范圍是()A．0，1C．-12D解析：設(shè)CO＝y(tǒng)BC，因為BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，所以y∈0，13，所以AO＝AC+CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC-AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.因為AO＝xAB＋(1－x)AC，所以x考點3共線向量定理及應(yīng)用——應(yīng)用性設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值．(1)證明：因為AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，所以AB與BC共線，且有公共點B.所以A，B，C三點共線．(2)解：因為8a＋kb與ka＋2b共線．所以存在實數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，所以(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因為a與b不共線，所以8-λk=0，k-2λ=0?所以k＝2λ＝±4.即實數(shù)k的值為4或－4.1．證明向量共線的方法應(yīng)用向量共線定理．對于向量a，b(b≠0)，若存在實數(shù)λ，使得a＝λb，則a與b共線．2．證明A，B，C三點共線的方法若存在實數(shù)λ，使得AB＝λAC，則A，B，C三點共線．3．解決含參數(shù)的共線問題的方法常常用到平面幾何的性質(zhì)，構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)值．1．設(shè)a，b是不共線的兩個向量，已知BA＝a＋2b，BC＝4a－4b，CD＝－a＋2b，則()A．A，B，D三點共線B．B，C，D三點共線C．A，B，C三點共線D．A，C，D三點共線D解析：因為CA＝BA-BC＝－3a＋6b，所以CA＝3CD，所以CA與CD共線．又因為它們有公共點C，所以A，C，2．(2024·日照月考)已知O為△ABC內(nèi)一點，且AO＝12(OB+OC)，AD＝tAC.若B，OA．14 C．12 B解析：如圖，以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形，其對角線相交于點E.因為AO＝12(OB+OC因為AD＝tAC，B，O，D三點共線，所以AO＝λAB＋(1－λ)AD＝λAB＋(1－λ)tAC.又AO＝12AE＝12×12(AB+3．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別與AB，AC所在直線交于不同的兩點M，N.若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋A．1 B．2C．3 D．4B解析：連接AO，如圖．因為O為BC的中點，所以AO＝12(AB因為M，O，N三點共線，所以m2+n2＝1，所以在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若AC＝a，BD＝b，則AF＝()A．14a＋12b B．23aC．12a＋14b D．13a[四字程序]讀想算思用基底表示AF1．三角形法則，平行四邊形法則．2．以誰為基底選擇不同的三角形，利用三角形法則轉(zhuǎn)化與化歸O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，E是OD的中點，AE的延長線與CD交于F1．AF＝AG+GF，如何表示2．＝AC+CF，如何表示3．＝AD+DF，如何表示4．利用方程組思想與向量相等解決1．在△AGF中表示．2．在△ACF中表示．3．在△ADF中表示．4．干脆設(shè)AF＝xAC＋yBD，利用向量相等求系數(shù)1．向量的線性運算法則．2．向量相等的條件．3．平行線的性質(zhì)思路參考：利用AG，GF表示B解析：由題意可知△DEF∽△BEA，所以DEBE＝DFBA＝13.又由AB＝CD可得DF所以DFFC＝1如圖，作FG∥BD交AC于點G，所以FGDO＝CGCO＝CFCD所以GF＝23OD＝13BD因為AG＝AO+OG＝AO+13OC＝1所以AF＝AG+GF＝23a＋思路參考：利用AC，CF表示B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是CF＝23CD＝23×12(b－a)＝所以AF＝AC+CF＝23a＋思路參考：利用AD，DF表示B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是DF＝13DC＝那么AF＝AD+DF＝12a+12思路參考：利用AC，BD表示B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，故AF＝AD+DF＝AD+設(shè)AF＝xAC＋yBD.因為AC＝AD+AB，所以AF＝(x＋y)AD＋(x－y)AB，于是x+y=1，x-y=所以AF＝23AC+13BD＝1．本題考查利用已知向量作基底表示向量問題，解法敏捷多變，基本解題策略是借助三角形法則或平行四邊形法則，逐步對向量進行變形，直至用所給基底表達出來；或選用不同基底分別表示，再利用向量相等解決．2．本題考查向量的線性運算問題，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性．同時，解題的過程須要學(xué)問之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性．3．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般須要良好的讀圖識圖實力、運算求解實力、推理實力．本題的解答體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．如圖，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，則2A．1 B．2C．3 D．4C解析：解法一：由題圖可得AE＝AB+BE＝AB+23BC＝AB+23(BA+AD+DC)＝13AB+23AD+DC＝1解法二：因為BE＝2EC，所以AE-AB＝2(AC-AE)，整理，得AE＝13解法三：如圖，延長AD，BC交于點P，則由DC＝14AB得DC∥AB，且AB＝4DC.又BE＝2EC，所以E為PB的中點，且AP＝43AD.于是，AE＝12解法四：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由AE＝rAB＋sAD，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以4m=4mr+3ms解得r=所以2r＋3s＝1＋2＝3.課時質(zhì)量評價(二十六)A組全考點鞏固練1．設(shè)a，b是非零向量，則“a＝2b”是“aa＝bA．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件B解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，aa，bb表示a，b方向上的單位向量，所以2．(2024·泰安模擬)已知向量a和b不共線，向量AB＝a＋mb，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，若A，B，D三點共線，則m＝()A．3 B．2C．1 D．－2A解析：由題意得BD＝BC+CD＝2a＋6b＝λAB＝λ(a＋mb)，解得3．(多選題)設(shè)a，b都是非零向量，則下列四個條件中，肯定能使aa+bA．a(chǎn)＝－2b B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝－bAD解析：∵aa+bb＝0，∴∴a與b的方向相反．故選AD.4．向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a－b＝()A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2C解析：結(jié)合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.5．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，AD＝－12AB+32AC.若BC＝λCD(A．－2 B．－3C．2 D．3C解析：因為BC＝λCD(λ∈R)，所以AC-AB＝λAD－λAC，即AD＝－1λAB+λ+1λAC.又因為6．若AP＝12PB，AB＝(λ＋1)BP－52解析：因為AP＝12PB，所以AP+PB＝AB＝32PB＝－32BP7．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且滿意BE＝EC，CD＝2CF，則|3解析：依據(jù)題意，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，則∠BAC＝60°，必有AC＝2，又由BE＝EC，CD＝2則E是BC的中點，F(xiàn)是CD的中點，則AE＝AB+BE，則AE+AF＝AB+BE+AD+DF＝8．經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求解：設(shè)OA＝a，OB＝b，則OG＝13(a＋b)，PQ＝OQ-OP＝nb－ma，PG＝OG-OP＝13(a＋b)－ma＝由P，G，Q共線得，存在實數(shù)λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，則-m=λ139．已知a，b不共線，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，設(shè)t∈R，假如3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值；若不存在，請說明理由．解：由題設(shè)知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因為a，b不共線，所以有t-3+3k=0，t-2k=0，解得故存在實數(shù)t＝65使C，D，EB組新高考培優(yōu)練10．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的三等分點，AB＝a，AC＝b，則AD＝()A．a(chǎn)－12b B．12aC．a(chǎn)＋12b D．12aD解析：連接CD(圖略)，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且CD＝12AB＝12a，所以AD＝AC+CD＝11．(2024·北京東城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，點E在線段CD上．若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是()A．[0，1] B．[0，3]C．0，1C解析：如圖所示，過點C作CF⊥AB，垂足為F.在Rt△BCF中，∠B＝30°，BC＝2，所以CF＝1，BF＝3.因為AB＝23，所以AF＝3.由四邊形AFCD是平行四邊形，可得CD＝AF＝3＝12AB.因為AE＝AD+DE＝AD＋μAB，所以DE＝μAB.因為DE∥DC，DC＝112．(多選題)設(shè)a，b是不共線的兩個平面對量，已知PQ＝a＋sinα·b，其中α∈(0，2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三點共線，則角α的值可以為()A．π6