2017-2018學(xué)年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

2017-2018學(xué)年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題（共8小題，共8X5=40分）

1.（5分）（2019?紅橋區(qū)一模）若p：VxGR,sinxWl,貝!J（）

A.-?p：3xo￡R,sinxo>lB.「p：VxGR,sinx>1

C.ip：3xo￡R,sinxo^lD.「p：VxER,sinxNl

x2

2.（5分）（2018秋?濰坊期末）雙曲線方程為一-/=1,則漸近線方程為（）

4

11

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±xD./

3.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）下列命題中的假命題是（）

A.V.x-GR,2x-1>0B.VxeR,（x-1）2>0

C.3x6R,Zgx<lD.3xGR,tanx=2

4.（5分）（2010?天津），是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)--;=（）

1-1

A.l+2iB.2+4，C.-l-2zD.2-z

5.（5分）（2017?豐臺(tái)區(qū)二模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形，則該

幾何體最大的側(cè)面的面積為（）俯視圖

A.1B.V2C.V3D.2

6.(5分)(2017?山西二模)函數(shù)/(無)=log2%+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）“x>0”是“x+siiu>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ALBICIDI中,

點(diǎn)、E、F是棱BC、CG的中點(diǎn)，尸是底面ABC。上（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，滿足4PLER

A.[1,字]B.俘，1]C.[1,V3]D.[V2,V3]

二、填空題（共6小題，共6X5=30分）

9.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）復(fù)數(shù)z=1-2i（其中i為虛數(shù)單位）的虛部為.

10.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）命題“若xWO,則/>0”的逆否命題為.

11.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）拋物線?=4y上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為.

12.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知對(duì)VxeR,af-x+l〉。恒成立，則°的取值范

圍是.

13.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在下列四個(gè)命題：

①VxCR,/+3]+1>0；

②VxEQ,-x2+2-^+1是有理數(shù)；

（3）3a,PER,使sin（a+0）=sina+sin0；

（4）3x,yGZ,使3x-2y=10

真命題的序號(hào)是.

f4

2a—（%+-）/x<a

14.（5分）（2017?石景山區(qū)一模）已知f（%）=?彳”.

x——，x>a

\x

①當(dāng)〃=1時(shí)，f（x）=3,則％=；

②當(dāng)時(shí)，若/G）=3有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則〃=.

三、解答題（共6小題，共80分）

15.（13分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)命題p：y=ln（?+（a-1）x+1）的定義域?yàn)镽；

命題q：復(fù)數(shù)z=a-1+（a-2）i（oeR）表示的點(diǎn)在第四象限.若p\/q為真，p/\q為

假，求a的取值范圍.

16.（13分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c.已

知3cosA-2=0,sin(A+C)=V5cosC.

(/)求tanC的值；

(〃)若a=2,求△ABC的面積.

17.（13分）（2016秋?通州區(qū)期末）在四棱錐P-ABC?中，△以8為正三角形，四邊形A3CD

為矩形，平面出8,平面ABC。，AB=2AD,M,N分別為PB,PC中點(diǎn).

（I）求證：〃平面PAD；

（II）求二面角3-AM-C的大??；

BE

（III）在8C上是否存在點(diǎn)E,使得平面AMN?若存在，求一的值；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

18.（14分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)/（x）=^siiu--ax.

（1）若a=0,求曲線y=/（x）在（0,f（0））處的切線方程；

7T

（〃）若/（無）在［0,不上為單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍.

19.（14分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓）+9=1（〃＞匕＞0）長(zhǎng)軸為A3,如

azbz

圖所示，直線/：x=2與橢圓相切與8點(diǎn)，且橢圓的離心率為6=苧.

（/）求橢圓方程；

（〃）設(shè)尸點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過P做x軸的垂線，垂足為延長(zhǎng)HP到。，使得|尸司

=\PQ\,直線AQ與直線/交于點(diǎn)M,N為線段MB的中點(diǎn)，判斷直線QV與以A8為直

徑的圓的位置關(guān)系，并給出證明.

20.（13分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)｛珈｝為至少有三項(xiàng)的有限數(shù)列，若它滿足：

①0Wm<a2<…<帆

②Vi,JEN*,iWiW/Ww,勾+山與勾-山至少有一個(gè)是數(shù)列｛麗｝中的某一項(xiàng)則稱該數(shù)列為

8-數(shù)列

（1）判斷數(shù)列①1,2,4；②0,2,4,6是否為B-數(shù)列.

nag

（〃）設(shè)數(shù)列的，a2,…即是B-數(shù)列，求證a】+a2H---1-an=Ci+>0

dll'）求證："數(shù)列m,。2,…珈為3-數(shù)列”是“m,碓，…即是等差數(shù)列”的充分不

必要條件.

2017-2018學(xué)年北京市清華附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，共8×5=40分）

1.（5分）（2019?紅橋區(qū)一模）若p：VxGR,sinxWl,則（）

A.-ip：BxoER,sinxo>lB.->p：VxGR,sinx>1

C.~<p：BxoER,sinxo^lD.->p：VxGR,sinx》l

【考點(diǎn)】2H：全稱量詞和全稱命題；2J：命題的否定.

【專題】29：規(guī)律型.

【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，分別對(duì)量詞和命題的結(jié)論分別進(jìn)行否定即可

求解

【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可知，

VxGR,sinxWl的否定為：sinx>1

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)試題

%2

2.（5分）（2018秋?濰坊期末）雙曲線方程為一-/=1,則漸近線方程為（）

4

11

A.y——~xB.y=±2xC.y=+xD.y=

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專題】11：計(jì)算題.

【分析】把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方程，化簡(jiǎn)即可得到所求.

【解答】解：???雙曲線方程為—~y2*4=l,則漸近線方程為丁-/=0,即丫=土芳,

44/

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程中的1換成0即得漸近線方程.

3.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）下列命題中的假命題是（）

A.V.rGR,2xl>0B.V.reR,（x-1）2>0

C.BxeR,lgx<lD.3xGR,tanx=2

【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】由指數(shù)函數(shù)的值域，可判斷A；由完全平方數(shù)非負(fù)，可判斷&

1,,

由x=lgx<Of可判斷G由tanx=2可得x=hr+arctan2,%￡Z,可判斷￡）.

【解答】解：由指數(shù)函數(shù)的值域可得，VxeR,2］一1>0,即A正確；

VxGR,（x-1）2>0,不正確，比如％=1,則（x-1）2=0,則5不正確；

_1

lgx<1,正確，比如x=lgx<0,即。正確；

由tanr=2可得了=E+arctan2,依Z,則D正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、正切

函數(shù)的性質(zhì)，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

3+i

4.（5分）（2010?天津），是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)--;=（）

1-1

A.l+2iB.2+4/C.-l-2zD.2-i

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要分子、分母同時(shí)乘以分母的共粗復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可.

3+i(3+i)(l+i)2+4i

【解答】解：-1+2i.

(1-0(1+02

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題.

5.（5分）（2017?豐臺(tái)區(qū)二模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形，則該

幾何體最大的側(cè)面的面積為（）俯視圖

A.1B.V2C.V3D.2

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】判斷幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解最大側(cè)面面積即可.

【解答】解：由三視圖可知幾何體是一條側(cè)棱與底面垂直，底面是正方形，四棱錐的高

為2,底面正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為2,

111

四棱錐的4個(gè)側(cè)面面積分別為：-xV2x2=V2；-xV2x2=V2；-x42x

y/4-+2=V^；-xV2xV4+2=Vs-

最大側(cè)面面積為：V3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的側(cè)面面積，考查數(shù)形結(jié)合以及空間想象能力計(jì)算

能力.

6.(5分)(2017?山西二模)函數(shù)/(%)=log4+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【專題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由題意知函數(shù)/(x)=log“+尤-2在(0,+8)上連續(xù)，再由函數(shù)的零點(diǎn)的判

定定理求解.

【解答】解：函數(shù)/(x)=log2x+x-2在(0,+8)上連續(xù)，

f(1)=0+1-2<0；

f(2)=1+2-2>0；

故函數(shù)/(x)=log2x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)(2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)“x>0”是“x+siiu:>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】問題轉(zhuǎn)化為y=-x和y=sii?的圖象的位置，畫出函數(shù)的圖象，讀圖即可得到

答案.

【解答】解：若x+sinx>0,

只需y=-尤的圖象在y=sinx的下方即可，

畫出函數(shù)>=-》和>=5111%的圖象，如圖示：

由圖象得：x>0是x+siiu>0的充要條件，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-AiBiCiDi中,

點(diǎn)E、尸是棱BC、CC1的中點(diǎn)，P是底面ABC。上（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，滿足4PLER

則線段4P長(zhǎng)度的取值范圍是（）

B?俘，J

A.[1,C.[1,V3]D.[V2,V3]

【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.

【專題】39：運(yùn)動(dòng)思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】連接BCi,A\D,可得EF〃BCi,AiD±BCi,則AiO_LEF,再由已知正方體可

得DCVEF,得EP_L平面A1DC,則A1CA.EF,得到當(dāng)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有AiP

VEF,進(jìn)一步得到當(dāng)尸與。重合時(shí)，4尸有最小值為魚，當(dāng)P與C重合時(shí)，A1P有最大

值為

【解答】解：如圖，

連接8C1,A1D,可得EFV/BCi,A1D1BC1,

：.A1D±EF,

又DCLEF,可得EF_L平面AiDC,貝！IAiC_LER

當(dāng)尸在線段。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

當(dāng)尸與。重合時(shí)，A1P有最小值為a,當(dāng)尸與C重合時(shí)，4尸有最大值為次.

，線段4P長(zhǎng)度的取值范圍是［/，V3］.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，解

決本題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造平行平面尋找尸點(diǎn)位置，屬中檔題.

二、填空題（共6小題，共6×5=30分）

9.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）復(fù)數(shù)z=l-2式其中i為虛數(shù)單位）的虛部為-2.

【考點(diǎn)】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念即可得到答案.

【解答］解：數(shù)z=l-2,?的虛部為-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）命題“若尤W0,則/>0”的逆否命題為“若X2

W0,則x=0”.

【考點(diǎn)】21：四種命題.

【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；40：定義法；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】根據(jù)命題“若p,則的逆否命題為“若「g,則「p”，寫出即可.

【解答】解:命題“若尤W0,則/>0”的逆否命題為

“若/W0,則尤=0”.

故答案為：“若/W0,貝Ux=o”.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與它的逆否命題應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

11.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）拋物線/=4y上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為

【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；40：定義法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】根據(jù)拋物線的定義與性質(zhì)，結(jié)合圖象求出拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離.

【解答】解：設(shè)拋物線/=4y上的點(diǎn)為尸（x,y）,y'O；

則點(diǎn)尸到其焦點(diǎn)尸（0,1）的距離，等于到其準(zhǔn)線y=-1的距離，

??d=\y-（-1）|=|y+l|Nl,

???最短距離為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

12.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知對(duì)VxER,o?恒成立，則〃的取值范

圍是?

【考點(diǎn)】73：一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；47：判別式法；59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】利用判別式求出不等式a?-X+1>O恒成立時(shí)a的取值范圍.

【解答】解：對(duì)VxER,a/_冗+1>0恒成立，

.（a>0

.[△<0

即2>°,

ll-4a<0

1

解得〃〉波;

：.a的取值范圍是

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式恒成立問題，是基礎(chǔ)題.

13.（5分）（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在下列四個(gè)命題：

①R,/+3x+1>0；

11

②VxCQ,-x2+2^+1是有理數(shù)；

③三支，pGR,使sin（a+p）=sina+sin0；

（4）3x,yCZ,使3尤-2y=10

真命題的序號(hào)是②⑶⑷.

【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；49：綜合法；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】舉例說明①錯(cuò)誤，③④正確；利用有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)說明②正確.

【解答】解：當(dāng)x=-1時(shí)，/+3x+l=-1<0,故①為假命題；

VxeQ,J1+分1+i是有理數(shù)，故②為真命題；

取a=2E（A：eZ）,則sin（a+0）=sina+sin0成立，故③為真命題；

取尤=10,j=10,則使3x-2y=10成立，故④為真命題.

綜上可得：②③④是真命題.

故答案為：②③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷、實(shí)數(shù)的理論及其三角函數(shù)，考查了推理能力，屬

于中檔題.

4

2a—(%+-)/x<a

14.(5分)(2017?石景山區(qū)一模)已知/(無)=

4、

x——，x>a

x

①當(dāng)〃=1時(shí)，f(x)=3,則丘=4

②當(dāng)-1時(shí)，若/(x)=3有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則

【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】①當(dāng)〃=1時(shí)，，(x)=3,利用分段函數(shù)建立方程，即可求出x的值；

②由/(%)=3,求得x=-l,或x=4,根據(jù);aVx2〈x3,且它們依次成等差數(shù)列，可

得aW-1,/(-6)=3,由此求得Q的值.

【解答】解：①x—1=3,可得％=4；%V1,2-(x+^)=3,即/+%+4=0無解，

故x=4；

4

②由于當(dāng)時(shí)，解方程/(%)=3,可得％-1=3,求得x=-l,或x=4.

Vxi<X2<X3,且它們依次成等差數(shù)列，，雙=-1,%3=4,XI=-6,.?.aW-L

???xV〃時(shí)，方程/(x)=3只能有一個(gè)實(shí)數(shù)根為-6,

?11

再根據(jù)/(-6)=2〃+6+@=3,求得〃=—萬,溺足aW~1.

故答案為4,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，等差數(shù)列的性質(zhì)，

體現(xiàn)了分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

三、解答題(共6小題，共80分)

15.(13分)(2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)設(shè)命題p：y=^(7+(〃-l)x+l)的定義域?yàn)镽；

命題q：復(fù)數(shù)z=a-1+(〃-2)i(〃CR)表示的點(diǎn)在第四象限.若p\lq為真，pAq為

假，求〃的取值范圍.

【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題及其真假.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】求出命題p,q為真命題的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答］解：若y=/〃(/+(。-1)x+1)的定義域?yàn)镽,則/+(〃-1)l+1>0恒成立，

即判別式4=(。-1)2-4V0,得(〃-1)2<4,得-2<a-1<2,即-1<。<3,即p：

-1<?<3,

若復(fù)數(shù)Z=〃-1+(4-2)i(tzGR)表示的點(diǎn)在第四象限.

貝嚴(yán)-1>0,得卜>1,即即q：1V〃V2,

Q—2Vola<2

若pVg為真，p/\g為假，

則P，g一個(gè)真，一個(gè)假，

若〃真q假，貝41,得2Wa<3或-

la>2或a<1

右p假g真，貝3，此時(shí)無解，

ll<a<2

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是2Wa<3或-l<aWl.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的求解，求出命題為真命題的等價(jià)條件是解決

本題的關(guān)鍵.

16.(13分)(2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c.已

知3cosA-2=0,sin(A+C)=V5cosC.

(Z)求tanC的值；

(〃)若a=2,求△ABC的面積.

【考點(diǎn)】HU：解三角形.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形.

【分析】(I)推導(dǎo)出sinA=由正弦加法定理得sinAcosC+cosAsinC=V^cosC,從而

y/S2

—cosC+sinC=yjScosC,由此能求出tanC.

33

2c__

(〃)由正弦定理得：——=——，從而求出。=遍，再由余弦定理求出。=2+VL由

sinAsinC

此能求出△ABC的面積.

【解答】解：(I)??,在△A3C中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊為〃，b,c,

3cosA-2=0,sin(A+C)=75cosC.

cosA=等sinA=J1—(令2=亭，

sinAcosC+cosAsinC=y/ScosC,

,V52r-

—cosC+nsinC=7'cosC,

33

.2廠

—十一tanC=V5,

33

解得tanC=V5.

（〃）VtanC=V5,.入出。=鐺

2c

由正弦定理得:

sinAsinC

.2sinC2x^|^7

^c=H^A=~/^~=yj6,

T

??c?4b+c2-tz22￡)2+6—4

?4=2,..COSA=----即----一----=------

2bc32&-V6'

解得b=2+a,

...△ABC的面積:

-1-1V30V30+715

S=2absinC=々x2x(2+V2)x

63

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的正切值的求法，考查三角形的面積的求法，考查正弦加法定理、

正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

17.（13分）（2016秋?通州區(qū)期末）在四棱錐P-ABCD中，AEAB為正三角形，四邊形ABCD

為矩形，平面平面ABC。，AB=2AD,M,N分別為PB,PC中點(diǎn).

（I）求證：MN〃平面PAD；

（II）求二面角8-AM-C的大小;

BE

（IID在上是否存在點(diǎn)E‘使得EN,平面若存在’求而的值；若不存在'

請(qǐng)說明理由.

二面角的平面角及求法.

【專題】14：證明題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角.

【分析】（I）推導(dǎo)出MN//BC//AD,由此能證明MN〃平面PAD.

（II）過點(diǎn)尸作尸。垂直于42,交42于點(diǎn)。，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求

出二面角AM-C的大小.

（III）設(shè)E（l,入，0）,則無=（W1易，由此利用向量法能求出在2c存在

BE1

點(diǎn)E,使得ENL平面AMN,此時(shí)一=

BC2

【解答】（本小題滿分14分）

證明：（I）,：M,N分別是PC中點(diǎn)

C.MN是AABC的中位線

.,.MN//BC//AD

又「AOu平面PAD,MNC平面PAD

所以MN〃平面必.（4分）

解：（H）過點(diǎn)P作PO垂直于A8,交A8于點(diǎn)。，

因?yàn)槠矫鍱4B_L平面ABC。，所以尸O_L平面ABC。，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A8=2,貝!JA(-1,0,0),C(1,1,0),

1V3

M(一，0,—),

22

11V3

B(1,0,0),N(一，一，—)，

222

TT2

則"=(2,L0),AM=(右0,

設(shè)平面CAM法向量為元=（%「力,Zi）,

(2/+%=0

,Hi-AC=0

由二-，得3工門

--z=o'

%?AM=0尹1+2i

令無1=1,則%=-2,zt--V3,即%=(1,-2,-V3)

平面A3M法向量R=（0,1,0）

TTI-

所以，二面角B-AM-C的余弦值忙”田=粵生-=￥

因?yàn)槎娼荁-AM-C是銳二面角，

所以二面角8-AM-C等于45°….（10分）

（IID存在點(diǎn)E,使得EN_L平面….（11分）

設(shè)E（l,入，0）,則加=（一2|-2,瞪），

—>—>

由硬勺=0可得2J

(EN-MN=0

所以在BC存在點(diǎn)E,使得ENL平面AMN,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的

判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.

18.(14分)(2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)/(尤)=/sinx-ax.

(/)若a=0,求曲線y=/(x)在(0,f(0))處的切線方程；

7T

(〃)若/(無)在［0,/上為單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍.

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】(I)根據(jù)題意，將a=0代入函數(shù)解析式，可得/(x)="siiu,計(jì)算可得了(0)

=0,即可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出了(尤)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算/(0)的值，可得切線的斜率，由直

線的點(diǎn)斜式方程計(jì)算可得答案；

(II)根據(jù)題意，求出了(無)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)g(尤)—f(x)="(sin%+cosx)-a,求出

7T

g(X)的導(dǎo)數(shù)，分析可得g(尤)在區(qū)間［0,萬］上為增函數(shù)，據(jù)此可得g(x)的最值，由

71

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得g(x)20或g(x)W0在［0,萬］上恒成立，分析可得答

案.

【解答】解：(I)根據(jù)題意，。=0時(shí)，f(x)=e*sinr,

則/(0)=0,即切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),

f'(x)=^sinx+e^cosx=(sinx+cosx),則，(0)=1,即切線的斜率為1,

則切線的方程為丁=心

(II)函數(shù)/(x)=^siiix-ax,則，(x)="(sinx+cosx)-a,

令g(%)=f(x)=，(sirix+cosx)-a,

則g'(x)=2dcosx,

7T

又由xe［0,-］,則g'(x)NO,則函數(shù)g(x)為增函數(shù)，則g(x)的最小值為g(0)

n匹

=1-a,g(x)的最大值為g(―)=e2-a,

nn

若/(x)在［0,萬］上為單調(diào)函數(shù)，則g(x)20或g(x)W0在［0,萬］上恒成立；

若g(無)20恒成立，則有1“三0,必有aWl；

7171

若g(x)W0恒成立，則有e2—aWO,必有e2,

71

綜合可得：。的取值范圍為(-8,i］(j|e2,+8)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性以及計(jì)算函數(shù)的切線方程，注意對(duì)a的值

進(jìn)行分情況討論.

19.(14分)(2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓二+三=1(〃＞人＞0)長(zhǎng)軸為AB,如

azbz

圖所示，直線/：尤=2與橢圓相切與8點(diǎn)，且橢圓的離心率為6=苧.

(D求橢圓方程；

(〃)設(shè)尸點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過P做x軸的垂線，垂足為延長(zhǎng)HP到。，使得|尸司

=\PQ\,直線AQ與直線/交于點(diǎn)M,N為線段MB的中點(diǎn)，判斷直線QN與以A8為直

徑的圓的位置關(guān)系，并給出證明.

【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(/)運(yùn)用橢圓的離心率公式和a,b,c的關(guān)系，可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程；

(〃)設(shè)P(xo,yo)代入橢圓方程，進(jìn)而表示出。的坐標(biāo)，求得|。0|推斷出。點(diǎn)在以。

為圓心，2為半徑的圓上.根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出直線AQ的方程，令x=0,表示出M

->—>

和N的坐標(biāo)，代入OQ?NQ求得結(jié)果為0,進(jìn)而可推知OQLQN,推斷出直線。N與圓。

相切.

【解答】解：⑺由題意可得。=2,e*=號(hào),

可得c=V5,b=Va2—c2=1,

%2

則橢圓方程為7+y2=l；

4

X2

(〃)設(shè)尸(xo,yo),則旦+^^二：!，

4

；HP=PQ,：.Q(xo,2yo).

22

OQ=y/x0+4y0=2,

點(diǎn)在以。為圓心，2為半徑的圓上.

即。點(diǎn)在以為直徑的圓。上.

又A(-2,0),

直線AQ的方程為y=%(x+2),

為0十」

8Vn

令x=2,得M(2,--).

2+XQ

又B(2,0),N為的中點(diǎn)，

4yo

：.N(2,--),

XQ+2

tt2xy

.\OQ=(xo,2yo),NQ=(xo-2,----o---n-),

2+%o

x2

：.OQ-NQ=xo(xo-2)=xo(xo-2)+o(^-^o)

7

2+x02+x0

=xo(尤o-2)+尤o(2-xo)0,

即OQLNQ,

直線QN與圓。相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了考生綜合分析問題和基本

的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.(13分)(2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)設(shè)｛金｝為至少有三項(xiàng)的有限數(shù)列，若它滿足：

@0^ai<a2<"'<an

②V3jeN*,iWz.WjWm勾+由與勾-at至少有一個(gè)是數(shù)列｛斯｝中的某一項(xiàng)則稱該數(shù)列為

8-數(shù)列

(/)判斷數(shù)列①1,2,4；@0,2,4,6是否為B-數(shù)列.

(〃)設(shè)數(shù)列＜72,…即是B-數(shù)列，求證a1+a2+—卜a"=

(HD求證：“數(shù)列m,及，…而為8-數(shù)列”是及，…以是等差數(shù)列”的充分不

必要條件.

【考點(diǎn)】8B：數(shù)列的應(yīng)用.

【專題】11：計(jì)算題；14：證明題；49：綜合法；55：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.

【分析】(I)由題意判斷①是B-數(shù)列，②是數(shù)列；

(II)根據(jù)8-數(shù)列的定義，推理并計(jì)算。1+。2+。3+…+?！?今(Gl+an);

數(shù)列m,及，…，即構(gòu)成等差數(shù)列，

舉例說明等差數(shù)列m,及，…，即不一定是8-數(shù)列.

【解答】解：(I)由題意，數(shù)列單調(diào)遞增，且對(duì)任意i,j(IWZWJWW),aj+ai與aj-ai

兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的項(xiàng)，

對(duì)于①數(shù)列1,2,4；單調(diào)遞增，且滿足。3-。2=4-2=2是該數(shù)列中的數(shù)，.?.是B-數(shù)

列；

②數(shù)列0,2,4,6；單調(diào)遞增，且滿足勾+劣與勾-4(lWiWjW3)都是該數(shù)列中的項(xiàng)，

數(shù)列0,2,4,6是B-數(shù)列；

(II)證明：令j=n,i＞1,則由“a+q與勾-由兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于B-數(shù)列”，

:.紇+可不屬于B-數(shù)列”an-5屬于B-數(shù)列；

令="-1,那么斯-即一1是集合B-數(shù)列中某一項(xiàng)，m不行，。2可以；

如果是。3或者04,那么可知a”-。3=而-1,那么珈-。2＞而-。3=。"-1，只能是等于a,”

矛盾；

所以令-1可以得到an=ai+an-\,

同理，令i=n-2、n-3,…,2,可以得到一，，

，倒序相加即可得到ai+a2+a3+--+an=(ai+a”)；

(III)證明：由(II)可知，an=ai+an+l-i,(i=1,2,…，〃)；

??Cln-1~di+dn-i.

??ClnCln-1~Cln+l-i-Cln-it(i=l，2,3,…,W);

'.a\,ai,-??,。"構(gòu)成等差數(shù)列；

若數(shù)列ai,及，…斯為等差數(shù)列，

則是。2,…初不一定是8-數(shù)列，

如0,1,3是等差數(shù)列，但不是B-數(shù)列，

???是充分不必要條件.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列與應(yīng)用問題，是難理解的題目.

考點(diǎn)卡片

1.四種命題

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條

件，那么我們就把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另

一個(gè)叫做原命題的逆命題.

一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否

定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題.其中一個(gè)命題叫做原命題，另

一個(gè)叫做原命題的否命題.

一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)

論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.其中一個(gè)命題叫做

原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆否命題.

【解題方法點(diǎn)撥】

理解四種命題的概念，能根據(jù)定義準(zhǔn)確、正確的寫出四種命題，判斷命題的真假要注意與其

它考點(diǎn)的知識(shí)、方法相結(jié)合.

【命題方向】高考中一般在選擇題中出現(xiàn)以命題的形式考察其它知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，由于本考點(diǎn)

可與高中數(shù)學(xué)中多處的考點(diǎn)相結(jié)合，故考察類型多樣，都是基本概念與基本方法的題.

2.充分條件、必要條件、充要條件

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、判斷：當(dāng)命題“若p則/'為真時(shí)，可表示為p今q,稱p為q的充分條件，q是p的必

要條件.事實(shí)上，與“0今/等價(jià)的逆否命題是“「4臺(tái)「P”.它的意義是：若q不成立，

則p一定不成立.這就是說，q對(duì)于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：

x>2；q-.尤>0.顯然xC。，則xCq.等價(jià)于xCq,則x即一定成立.

2、充要條件：如果既有“p=q”,又有“qnp”,則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條

件4是0成立的充要條件，記作p與q互為充要條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與

必要條件，缺一不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件,

必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若pnq為真命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若p0cl為假命題且q0P為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷

命題p與命題q的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而

幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，

所以命題的范圍特別廣.

3.復(fù)合命題及其真假

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題.若此命題的真假滿足真值

表，就是復(fù)合命題，否則就是簡(jiǎn)單命題.邏輯中的“或”“且”“非”與日常用語中的“或”

“且”“非”含義不盡相同.判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判定.【解題方法點(diǎn)撥】

能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及

祈使句都不是命題.能判斷真假的不等式、集合運(yùn)算式也是命題.寫命題P的否定形式，

不能一概在關(guān)鍵詞前、加“不”，而要搞清一個(gè)命題研究的對(duì)象是個(gè)體還是全體，如果研究

的對(duì)象是個(gè)體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可.如果命題研究的

對(duì)象不是一個(gè)個(gè)體，就不能簡(jiǎn)單地將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是。而要分清

命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全

稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個(gè)”“至少有一個(gè)”這一類存在性量詞

的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題.因此，在

表述一個(gè)命題的否定形式的時(shí)候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也

應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：

關(guān)等大小至至至至任任PP

鍵于于于是能都沒多少少多-iV.兩且或

詞(=)(>)(<)是有有有有有的個(gè)QQ

一一nn

個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)

否不不不不至至一至至某「尸

定等大小不不都少少個(gè)多少某兩或且

詞于于于是能是有有都有有個(gè)個(gè)rQrQ

(W)(<)(A一兩沒YI-\n+1

個(gè)個(gè)有個(gè)個(gè)

若原命題P為真，貝h尸必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無關(guān)，否命題與逆

命題是等價(jià)命題，同真同假.

4.全稱量詞和全稱命題

【全稱量詞工短語“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞.符號(hào)：V

應(yīng)熟練掌握全稱命題與特稱命題的判定方法

1.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：對(duì)應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對(duì)

每一個(gè)”等詞，用符號(hào)