八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)(四)

八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)（4）

一、選擇題

1.已知點(diǎn)M（l,a）和點(diǎn)N（2,b）是一次函數(shù)y=-2x+l的圖象上的兩點(diǎn)，則a與b的大小關(guān)系是（)

A.a>bB.a=bC.a<bD.以上都不對(duì)

2.下列說法正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B.矩形的對(duì)角線互相垂直

C.一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形D.四邊相等的四邊形是菱形

3.一元二次方x2-3x+3=0的根的情況是（

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

4.一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以平均80千米/小時(shí)的速度用了4個(gè)小時(shí)到達(dá)乙地，當(dāng)他按原路勻速返回

時(shí).汽車的速度v千米/小時(shí)與時(shí)間t小時(shí)的函數(shù)關(guān)系是（）

A.v=320tB.v=---?C.v=20tD.v=—~

tt

5.為防治霧霾，保護(hù)環(huán)境，某市掀起"愛綠護(hù)綠"熱潮，經(jīng)過兩年時(shí)間，綠地面積增加了21%,設(shè)這兩年的綠地

面積的平均增長率是X,則列出關(guān)于x的一元二次方程為（）

A.x2=l+21%B.(1-x)2=21%C.(1+x)2=21%D.(1+x)2=1+21%

6.如圖，四邊形ABCD,AD與BC不平行，AB=CD.AC,BD為四邊形ABCD的對(duì)角線.E,F,G,H分別是BD,

BC,AC,AD的中點(diǎn).

下列結(jié)論：①EG_LFH；②四邊形EFGH是矩形；

③HF平分/EHG；④EG總（BC-AD）；⑤四邊形EFGH是菱形.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

7.一元二次方程x2-2x=0的解是.

8.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是—.

9.如圖，正4AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，

則/B的度數(shù)是—.

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AE垂直平分OB于

點(diǎn)E,則AD的長為.

11.如圖是我市將要開發(fā)的一塊長方形的土地，長為xkm,寬為3km,建筑開發(fā)商將這塊土地分為甲、乙、丙三

部分，其中甲和乙均為正方形，現(xiàn)計(jì)劃甲地建住宅區(qū)，乙地建商業(yè)區(qū)，丙地開辟成小區(qū)公

園，若已知丙地的面積為2km2,則x的值為.

12.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，E為BC上一點(diǎn)，CE=5,F為

DE的中點(diǎn).若4CEF的周長為18,則OF的長為.

三、解答題

13.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

（1）x2-4x+3=0；（2）（3-x）2+x2=9.

2x—y=0,

14'已知直線y=2x與y=-x+b的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1'a）,試確定方程組的解和4b的值.

15.某商場(chǎng)經(jīng)營一種海產(chǎn)品，進(jìn)價(jià)是每千克20元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每日的銷售量y（千克）與售價(jià)x（元/

千克）是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示：

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量取值范圍）；

（2）某日該商場(chǎng)出售這種海產(chǎn)品獲得了21000元的利潤，該海產(chǎn)品的售價(jià)是多少？

》（千克）

16.如圖①所示，正方形ABCD的邊長為6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上沿A-B-C-D運(yùn)動(dòng),

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s),三角形APD的面積為S(c泊，S與t的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)回答下列問題：

(1)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為_______s,在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為cm/s,三角形APD的面積S的最大

值為cm-,

(2)求出點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)S與t之間的函數(shù)解析式;

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，三角形APD的面積為10cm

(第6題)

五、解答題

17.Z\ABC中，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作

正方形ADEF,連接CF.

(1)觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

①BC與CF的位置關(guān)系為：.

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：.—;(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫

出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=2近，CD=：BC,請(qǐng)求出

GE的長.

18.如圖，過A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點(diǎn)B.

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)判斷點(diǎn)C(4,一2)是否在該一次函數(shù)的圖象上，說明理由;

⑶若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點(diǎn)，求△BOD的面積.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+l與y=-*+3交于點(diǎn)yj,兩直線分別交

軸于

點(diǎn)B和點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);

(2)求AABC的面積.

20.如圖，在4ABC中,AB=AC,AD_LBC,垂足為點(diǎn)D,AN是4ABC的外角/CAM的平分線,CE_LAN,垂足為點(diǎn)E.

⑴求證:四邊形ADCE為矩形.

⑵當(dāng)4ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形?并給出證明.

八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)(4)

6.如圖，四邊形ABCD,AD與BC不平行，AB=CD.AC,BD為四邊形ABCD的對(duì)角線.E,F,G,H分別是BD,

BC,AC,AD的中點(diǎn).

下列結(jié)論：①EG_LFH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分NEHG；

④EG」-(BC-AD)；⑤四邊形EFGH是菱形.

2

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：：E,F分別是BD,BC的中點(diǎn),

；.EF是4BCD的中位線，.'.EF=-CD,

2

同理可得，GH=—CD,FG=—AB,EH=—AB,又：AB=CD,，EF=FG=GH=HE,

222

四邊形EFGH是菱形，故⑤正確，②錯(cuò)誤，；.EGJ_FH,HF平分/EHG,故①、③正確,

如圖所示，取AB的中點(diǎn)P,連接PE,PG,

；E是BD的中點(diǎn)，G是AC的中點(diǎn)，

；.PE是4ABD的中位線，PG是AABC的中位線,

.,.PE=—AD,PG」-BC,PE〃AD,PG〃BC,

22

VAD與BC不平行,APE與PG不平行，

.'.△PEG中,EG>PG-PE,

...EG>=BC-gAD,即EG>g(BC-AD),故④錯(cuò)誤.綜上所述，正確的有①③⑤.

222

故選：c.

二、填空題

9.如圖，正4AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點(diǎn)E、F分別在BC、

上，則/B的度數(shù)是80。.

【解答】解：在菱形ABCD中，ZB=ZD,

:正aAEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，；.AB=AE,AD=AF,

/.ZBAE=180°-2ZB,ZDAF=180°-2ZD,又：NEAF=60°,

.?.180°-2ZB+60°+180°-2ZD+ZB=180°,整理得，3NB=240°,解得/B=80°.

故答案為：80°.

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，AE垂直平分OB于點(diǎn)E,則AD的長為」退一

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，

.\OB=OD,OA=OC,AC=BD,

AOA=OB,：AE垂直平分。B,.*.AB=AO,/.OA=AB=OB=3,

BD=2OB=6,AD=^g[)2~AB2=V62-32=3V3：故答案為：3y

13.如圖是我市將要開發(fā)的一塊長方形的土地，長為xkm,寬為3km,建筑開發(fā)商將這塊土地分為甲、乙、丙三

部分，其中甲和乙均為正方形，現(xiàn)計(jì)劃甲地建住宅區(qū)，乙地建商業(yè)區(qū)，丙地開辟成小區(qū)公園，若已知丙地的面積

為2km2,則x的值為4km或5km.

3甲____

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.|

【分析】根據(jù)敘述可以得到甲，是邊長是3km的正方形，乙是邊長是(x-3)km的正

方形，丙的長是(x-3)km,寬是[3-(x-3)]km,根據(jù)矩形的面積公式即可列方程求解.

【解答】解：根據(jù)題意，得

2解得

(x-3)[3-(x-3)]=2,gpx-9x+20=0,xi=4,x2=5.

故x的值為4km或5km,故答案為：4km或5km.

15.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn)，CE=5,F為DE的中點(diǎn).若aCEF

.,.CF+EF=18-5=13.

???F為DE的中點(diǎn),

VZBCD=90°,

ACF=—DE,

2

.\EF=CF=4DE=6.5,

2

ADE=2EF=13,

22=22=12

ACD=VDE-CEV13-5-

?..四邊形ABCD是正方形，

ABC=CD=12,。為BD的中點(diǎn),

.".OF是aBDE的中位線,

，0F上(BC-CE)=^~(12-5)=—.

222

故答案為：

三、解答題

19.某商場(chǎng)經(jīng)營一種海產(chǎn)品，進(jìn)價(jià)是每千克20元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每日的銷售量y(千克)與售價(jià)x(元/

千克)是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示：

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量取值范圍)；

(2)某日該商場(chǎng)出售這種海產(chǎn)品獲得了21000元的利潤，該海產(chǎn)品的售價(jià)是多少？

(千克)

【解答】解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

將(25,950),(40,800)代入得：

’25k+b=950

140k+b=800

解得：,

lb=1200

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-lOx+1200；

(2)由(1)得：(-lOx+1200)(x-20)=21000,

解得：xi=50,X2=90,

答：該海產(chǎn)品的售價(jià)是50元或90元.

20.Z^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作

正方形ADEF,連接CF.

（1）觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

①BC與CF的位置關(guān)系為：垂直.

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC=CD+CF；（將結(jié)論直接寫在橫線上）

（2）數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫

出正確結(jié)論再給予證明.

（3）拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=2，］,CD=-1-BC,請(qǐng)求出

GE的長.

【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF,

,/ZBAC=ZDAF=90°,ZBAD=ZCAF,

，AD=AF

在4DAB與AFAC中，,NBAD二NCAF，.,.△DAB絲△FAC,，/B=NACF,

心AC

，/ACB+NACF=90。，即BC_LCF；故答案為：垂直；

②4DAB絲/XFAC,；.CF=BD,VBC=BD+CD,/.BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；

(2)CF_LBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.,正方形ADEF中，AD=AF,

?.?/BAC=NDAF=90°,NBAD=/CAF,

，亞AF

在ADAB與aFAC中，<ZBAD=ZCAF>/.△DAB^AFAC,AZABD=ZACF,