第11講 圓的方程（六大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第11講圓的方程【題型歸納目錄】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：圓的一般方程題型三：點與圓的位置關(guān)系題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系題型五：圓過定點問題題型六：軌跡問題【知識點梳理】知識點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點，這時，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標(biāo)軸相切時：；過原點：(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點．(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．知識點二：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點在圓上(2)若點在圓外(3)若點在圓內(nèi)知識點三：圓的一般方程當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得(1)當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點．(2)當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當(dāng)時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點法)．2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡(曲線)上任一點的坐標(biāo)；(2)列出關(guān)于的方程；(3)把方程化為最簡形式；(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；(5)作答．【典例例題】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．(2023·高二課時練習(xí))圓心在原點，半徑是的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．【解析】因為圓的圓心在原點，半徑是3，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.例2．(2023·高二單元測試)圓關(guān)于直線對稱的圓是(

)A． B．C． D．【解析】圓圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，所以點關(guān)于直線對稱的點為，所以圓關(guān)于直線對稱的圓是.故選：D.例3．(2023·新疆昌吉·高二?？计谀?已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【解析】設(shè)圓心，因為，所以，解得，則半徑為，圓心.即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B例4．(2023·高二課時練習(xí))已知圓C：，O為原點，則以為直徑的圓方程為(

)A． B．C． D．【解析】由圓C：可知圓心，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故所求圓的方程為：.故選：D例5．(2023·福建漳州·高二統(tǒng)考期末)若過點的圓與直線相切于點，則圓的方程為(

)A． B．C． D．【解析】直線的方程：，即，直線的垂直平分線經(jīng)過點，，半徑，從而圓的方程為：，故選:D.例6．(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末)若一圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在第一象限，則圓心到直線的距離為(

)A． B． C．5 D．3【解析】因為圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在第一象限，則設(shè)圓心為，，，所以設(shè)圓的方程為且，則圓心到直線的距離為.故選：A例7．(2023·全國·高二專題練習(xí))三個頂點的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓方程是(

)A． B．C． D．【解析】依題意，直線AC斜率，直線BC斜率，有，即，因此外接圓是以線段為直徑的圓，AB的中點為，半徑，所以外接圓方程是，即.故選：A例8．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上，所以有，因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A例9．(2023·四川眉山·高二仁壽一中統(tǒng)考期中)與直線切于點，且經(jīng)過點的圓的方程為(

)A． B．C． D．【解析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意可得，解得，所以該圓的方程為.故選：D.例10．(2023·高二課時練習(xí))已知圓的圓心在軸上，半徑長為，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．【解析】設(shè)圓心，則半徑，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D.題型二：圓的一般方程例11．(2023·高二課時練習(xí))圓的半徑為(

)A．2 B．4 C．8 D．16【解析】圓，即，所以半徑.故選：B例12．(2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末)已知圓，則圓心及半徑分別為(

)A． B． C． D．【解析】圓，即，所以圓心為，半徑為.故選：A例13．(2023·高二課時練習(xí))求以為圓心，且經(jīng)過點的圓的一般方程(

)A． B．C． D．【解析】由題意得，圓的半徑，所以圓的方程為，所以圓的一般方程為.故選：C.例14．(2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末)三個頂點的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是(

)A． B．C． D．【解析】設(shè)所求圓方程為,因為，，三點都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.例15．(2023·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考開學(xué)考試)已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為()A． B．C． D．【解析】設(shè)圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)為，因為圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，所以，解得，所以圓的方程為.故選：C.例16．(2023·高二課時練習(xí))若不同的四點，，，共圓，則a的值為(

)A．1 B．3 C． D．7【解析】設(shè)圓的方程為，分別代入A，B，C三點坐標(biāo)，得，解得，所以A，B，C三點確定的圓的方程為．因為也在此圓上，所以，所以，解得a＝7或(舍去)．故選：D．例17．(2023·全國·高二專題練習(xí))與圓同圓心，且過點的圓的方程是(

)A． B．C． D．【解析】依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過點，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：B題型三：點與圓的位置關(guān)系例18．(2023·高二課時練習(xí))點與圓的位置關(guān)系是(

)A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【解析】圓的圓心為，半徑，，故點在圓內(nèi).故選：B例19．(2023·全國·高二專題練習(xí))點P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為(

)A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．與m的值有關(guān)【解析】將點P(m，3)坐標(biāo)代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：恒成立，故點P在圓外，故選：A.例20．(2023·重慶巴南·高二巴南中學(xué)校?？计谥?點與圓的位置關(guān)系是(

)．A．在圓內(nèi) B．在圓外 C．在圓上 D．不確定【解析】因為，所以點在圓外.故選：B例21．(2023·河南周口·高二校考階段練習(xí))已知圓的方程是，則點(

)A．在圓心 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．在圓外【解析】因為，所以點P在圓內(nèi)．故選：C．題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系例22．(多選題)(2023·高二課時練習(xí))下列方程不是圓的一般方程的有(

)A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，對于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對于D中，方程中，存在項，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.例23．(多選題)(2023·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中)方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為(

)A．4 B．2 C．0 D．【答案】AD【解析】把方程整理成，即，若表示圓則滿足即，即所以或，觀察答案中只有和符合題意.故選：AD例24．(多選題)(2023·廣西柳州·高二校聯(lián)考期中)已知方程，下列敘述正確的是(

)A．方程表示的是圓.B．當(dāng)時，方程表示過原點的圓.C．方程表示的圓的圓心在軸上.D．方程表示的圓的圓心在軸上.【答案】BC【解析】由得：；對于A，若，即，則方程不表示圓，A錯誤；對于B，當(dāng)時，方程為，則方程表示以為圓心，半徑為的圓，此圓經(jīng)過原點，B正確；對于CD，若方程表示圓，則該圓圓心為，半徑為，則圓心在軸上，不在軸上，C正確，D錯誤.故選：BC.例25．(多選題)(2023·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末)已知方程表示一個圓，則實數(shù)可能的取值為(

)A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】因為方程表示一個圓，所以，化簡得，解得.故選：BC.例26．(多選題)(2023·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習(xí))方程表示圓的充分不必要條件可以是(

)A． B．或C． D．【答案】CD【解析】可化為：，因為該方程表示圓，故即或，即方程表示圓的充要條件為或.因為，均為的真子集，不是的真子集，故，均為方程表示圓的充分不必要條件，故選：CD.例27．(多選題)(2023·高二單元測試)使方程表示圓的實數(shù)a的可能取值為(

)A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】，配方得：，要想表示圓，則，解得：，故選：BC題型五：圓過定點問題例28．(2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥?對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為__．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標(biāo)是或．故答案為：或.例29．(2023·全國·高二專題練習(xí))若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為_______【答案】【解析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為.故答案為：.例30．(2023·全國·高二專題練習(xí))已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為，則圓經(jīng)過定點的坐標(biāo)為_______(其坐標(biāo)與無關(guān))【答案】和【解析】二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，記為，易知，滿足，，，，設(shè)圓方程為，則，①－②得，，∴，從而，代入③得，∴圓方程為，整理得，由得或．∴圓過定點和．例31．(2023·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習(xí))對任意實數(shù)，圓恒過定點，則其坐標(biāo)為______.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.例32．(2023·高二課時練習(xí))已知方程表示圓，其中，且a≠1，則不論a取不為1的任何實數(shù)，上述圓恒過的定點的坐標(biāo)是________________.【答案】【解析】由已知得，它表示過圓與直線交點的圓.由，解得即定點坐標(biāo)為.故答案為題型六：軌跡問題例33．(2023·高二課時練習(xí))已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為，端點A在圓C：上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，又，且P為線段AB的中點，所以，則.因為點A在圓C：上運動，即有，代入可得，，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得.所以，中點P的軌跡方程為，該軌跡為以為圓心，1為半徑的圓.例34．(2023·高二課時練習(xí))如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【解析】設(shè)動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.例35．(2023·江西宜春·高二校考階段練習(xí))已知方程表示圓，其圓心為.(1)求圓心坐標(biāo)以及該圓半徑的取值范圍；(2)若，線段的端點的坐標(biāo)為，端點在圓上運動，求線段中點的軌跡方程.【解析】(1)方程可變?yōu)椋河煞匠瘫硎緢A，所以，即得，.圓心坐標(biāo)為.(2)當(dāng)時，圓方程為：，設(shè)，又為線段的中點，的坐標(biāo)為則，由端點在圓上運動，即線段中點的軌跡方程為.例36．(2023·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí))已知圓經(jīng)過，，三點.(1)求圓的方程；(2)設(shè)點在圓上運動，點，且點滿足，記點的軌跡為，求的方程.【解析】(1)設(shè)圓的方程為，將三點，，分別代入方程，則，解得，，，所以圓的方程為；(2)設(shè)，，因為點滿足，，所以，，則，所以.因為點在圓上運動，所以，所以，所以，所以點的軌跡方程為.例37．(2023·北京通州·高二統(tǒng)考期中)已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動點與點的距離等于2，求點的軌跡方程.【解析】(1)將圓心坐標(biāo)代入直線得，則，所以圓心坐標(biāo)為，，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由點與點的距離等于2，則點是以點為圓心，半徑為2的圓，所以點的軌跡方程為.例38．(2023·江蘇揚州·高二邵伯高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)已知兩定點，若動點P滿足，則P的軌跡方程．(2)已知線段的中點C的坐標(biāo)是，端點A在圓上運動，則線段的端點B的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)，又，則，所以.(2)設(shè)，則，，可得，由A在圓上，則，所以B的軌跡方程為.例39．(2023·高二課時練習(xí))設(shè)定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.【解析】設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為，線段MN的中點坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分，故，，從而.N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直線方程為，由，得或，所以所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點和(點P在直線OM上的情況).例40．(2023·高二課時練習(xí))已知，動點P滿足，求動點P的軌跡．【解析】由題意，點，動點滿足，所以點落在以為直徑的圓上，其中圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點的軌跡方程為，其中且.所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，且除去點和.【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】因為圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，所以圓心為，直徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：C.2．(2023·高二課時練習(xí))若圓的圓心到直線的距離為，則實數(shù)a的值為(

)A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【答案】A【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為，半徑.因為圓心到直線的距離為，所以，，即，所以，所以或.故選：A.3．(2023·高二課時練習(xí))已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以已知圓的圓心為，半徑，因為圓與圓關(guān)于直線對稱，所以圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，半徑也為1，設(shè)可得，解得，所以，圓的方程是，故選：B4．(2023·高二課時練習(xí))已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對稱，且兩圓半徑相等，因為圓，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對稱點為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.5．(2023·高二課時練習(xí))過三點的圓的一般方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．6．(2023·高二課時練習(xí))若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因為圓心，，所以圓心，因為是圓的弦的中點，所以，所以，則直線的方程為，即，故選：C.7．(2023·高二?？颊n時練習(xí))若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是().A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D8．(2023·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí))動直線平分圓的周長，則的最小值(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，動直線過圓的圓心，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D.二、多選題9．(2023·湖南郴州·高二?？计谥?圓()A．關(guān)于點對稱 B．半徑為C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】可化為，即該圓圓心為，半徑為.由圓的性質(zhì)可知該圓關(guān)于點對稱，故AB正確；因為圓心不在直線上，所以該圓不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；因為圓心在直線上，所以該圓關(guān)于直線對稱，故D正確；故選：ABD10．(2023·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末)已知方程表示一個圓，則實數(shù)可能的取值為(

)A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】因為方程表示一個圓，所以，化簡得，解得.故選：BC.11．(2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)?？计谥?已知點在圓的外部，則的取值可能是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】由題意可得，解得，故選：AC.12．(2023·高二課時練習(xí))已知圓關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是(

)A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是【答案】ABCD【解析】對于A、B，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對于C項，由已知可得，直線經(jīng)過圓心，所以，整理可得，故C項正確；對于D項，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項正確.故選：ABCD.三、填空題13．(2023·高二課時練習(xí))若l是經(jīng)過點和圓的圓心的直線，則l在y軸上的截距是________．【答案】【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以圓心為.代入直線的兩點式方程，整理可得.所以，l在y軸上的截距是.故答案為：.14．(2023·高二課時練習(xí))圓過點、，求面積最小的圓的一般方程為________________．【答案】【解析】當(dāng)為圓的直徑時，過、的圓的半徑最小，從而面積最小．因為點、，線段的中點為，，故所求圓的半徑為，所以，所求圓的方程為，即.故答案為：.15．(2023·高二課時練習(xí))過圓外一點作圓的兩條切線，切點A、B，則的外接圓的方程是________．【答案】【解析】由圓，得到圓心O坐標(biāo)為，,，∴的外接圓為四邊形的外接圓，如圖所示，又，∴外接圓的直徑為，半徑為，外接圓的圓心C為線段OP的中點，即，則的外接圓方程是．故答案為：16．(2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是______．【答案】【解析】

如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.四、解答題17．(2023·高二課時練習(xí))已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】因為圓心在直線上，，