第18講 y=Asin(ωx+φ)（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第18講y=Asin(ωx+φ)三角恒等變換【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解的實(shí)際意義，能借助圖象理解參數(shù)的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響【基礎(chǔ)知識】一、參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響1.φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響2.ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響3.A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響二、由函數(shù)y＝sinx的圖象得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的途徑由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種主要途徑：“eq\o(□,\s\up4(01))先平移后伸縮”與“eq\o(□,\s\up4(02))先伸縮后平移”．(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移三、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：左右平移變換例1．(2022學(xué)年貴州省黔東南州凱里市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像，則(

)A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由題得，所以．故選B考點(diǎn)二：沿x軸方向的伸縮變換例2．(2022學(xué)年浙江省溫州市高一上學(xué)期期期末)已知函數(shù)，若特它的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，則得到的函數(shù)解析式是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變)，得，故選A考點(diǎn)三：沿y軸方向的伸縮變換例3．(2020-2021學(xué)年河北省石家莊市第二中學(xué)高一下學(xué)期3月教學(xué)銜接測量)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是(

)A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，則的最小正周期，故A正確，由，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確，是最大值，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C正確，D錯(cuò)誤.故選D．考點(diǎn)四：y=Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)例4．(2022學(xué)年山西省長治市第四中學(xué)校高一上學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是(

)A．函數(shù)的值域是；B．點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對稱中心；C．直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸；D．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，即函?shù)的值域是，故A正確；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對稱，故C正確；將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到為偶函數(shù)，故D正確；故選B考點(diǎn)五：三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)的交匯例5.(2022學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)，則下列說法正確的有________.①的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到②在上單調(diào)遞增③在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)④在上的最大值為【答案】②③【解析】由函數(shù)，對于①中，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到，所以①不正確；對于②中，令，解得，當(dāng)時(shí)，可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以②正確；對于③中，令，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；對于④中，由，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以④不正確.故答案為②③.考點(diǎn)六：由圖象確定函數(shù)解析式例6．(2022學(xué)年甘肅省定西市高一下學(xué)期統(tǒng)一檢測)函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖可知；設(shè)周期為，則，所以；又，所以.由，，令，得.所以；因?yàn)閷⒌膱D象向右平移單位長度得到函數(shù)的圖象，所以.故選C.【真題演練】1．(2022學(xué)年河南省駐馬店市高一下學(xué)期期中)要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像(

)A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】B【解析】將的圖像向右平移個(gè)單位長度可得.故選B.2.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為 () ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為，故選C3.(2022學(xué)年山東省濰坊市高一下學(xué)期5月優(yōu)秀生測試)關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：甲：該函數(shù)在上單調(diào)遞減；乙：該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)；丙：該函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為丁：該函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為．如果只有一個(gè)假命題．則該命題是(

)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】設(shè)，若丙丁都正確，則且，但，故矛盾，所以丙丁中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，故甲乙都正確，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的解析式為：，因?yàn)槠揭坪蟮膱D象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，故，故，若為偶數(shù)，則，當(dāng)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在為減函數(shù)，符合，若為奇數(shù)，則，當(dāng)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在為增函數(shù)，舍，故.而，故該函數(shù)圖象的對稱中心為，丙錯(cuò)誤，，故該函數(shù)圖象的對稱中心為，丁正確.故選C4.(2021年高考全國甲卷理科)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．【答案】2【解析】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以．因?yàn)?，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2．方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2．5.(多選)(2022學(xué)年山東省臨沂第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的是(

)A．的圖象關(guān)于直線對稱B．在上單調(diào)遞減C．的圖象的一個(gè)對稱中心是D．將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】由題意可得，所以，所以.對于A，由于，可知A正確；對于B，當(dāng)，，，函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；對于C，令，求得，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確；對于D，把的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D不正確.故選AC.6.(多選)(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A．B．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D．若把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】AC【解析】對A，由圖，，則，故，所以，又，即，所以，即，因?yàn)椋?，所以，故A正確；對B，把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位可得為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，為的對稱軸，故C正確；對D，把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到，當(dāng)時(shí)，不為的增區(qū)間，故D錯(cuò)誤；故選AC7.(2022學(xué)年吉林省長春市長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為______．【答案】【解析】由圖象可知：，最小正周期，因?yàn)?，所以，解得：，將，即代入解析式得：，解得：，因?yàn)?，所?.(2022學(xué)年山東省淄博市高一下學(xué)期期中)已知的最小正周期為，圖像關(guān)于直線對稱.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再將得到的圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】(1)因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋裕灰驗(yàn)閳D像關(guān)于直線對稱，所以，即，因?yàn)?，所以；所?(2)由題意得；，，即，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年青海省海南藏族自治州高級中學(xué)高一上學(xué)期期末)簡諧運(yùn)動(dòng)可用函數(shù)表示，則這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的初相為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由初相定義可知，當(dāng)時(shí)的相位稱為初相，所以，函數(shù)的初相為.故選B2.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象(

)A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】D【解析】函數(shù)；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，故選D．3.(2022學(xué)年北京市第三十五中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式的值為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖象可知：，所以，解得：，將點(diǎn)代入解析式得：，所以，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故選A4.(2022學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．的值域?yàn)锽．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．的圖象可由函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到【答案】C【解析】A：因?yàn)椋?，即的值域?yàn)椋蔄正確；B：當(dāng)時(shí)，為最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故B正確；C：若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，由，得其一條對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，不是最值，所以不是函數(shù)的對稱軸，即函數(shù)不關(guān)于對稱，故C錯(cuò)誤；D：將函數(shù)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到，故D正確.故選C5.(多選)(2022學(xué)年甘肅省張掖市高臺縣第一中學(xué)高一下學(xué)期4月月考)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)(

)A．向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)B．向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長度【答案】BC【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位，得，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得，再向左平移個(gè)長度單位，得，即.故選BC6.(多選)(2022學(xué)年貴州省六枝特區(qū)高一下學(xué)期期中)函數(shù)的圖像如圖，把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是(

)A．B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．直線是函數(shù)的一條對稱軸【答案】BC【解析】根據(jù)圖形可得：，則，∴圖像過點(diǎn)，即∵，則或當(dāng)時(shí)，不是最大值，不合題意當(dāng)時(shí)，，符合題意，則，A錯(cuò)誤；，，則∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，B正確；∵，則∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；不是最值，D錯(cuò)誤；故選BC．7.(2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市泗水縣高一下學(xué)期期中)關(guān)于函數(shù)，下列命題中是真命題的為(

)A．為偶函數(shù)B．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在內(nèi)的增區(qū)間為和【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，要得到函?shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，的圖象關(guān)于直線對稱，C對；對于D選項(xiàng)，由，解得，記，，所以，函數(shù)在內(nèi)的增區(qū)間為、和，D錯(cuò).故選BC.8.(2022學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)高一下學(xué)期期中)將函數(shù)()圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是的圖象的一條對稱軸，則_________.【答案】【解析】，因?yàn)槭堑膱D象的一條對稱軸，所以，，解得：，因?yàn)?，所以時(shí)，符合要求，所以.9．(2022學(xué)年浙江省衢州市高一下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)把的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，已知關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的解.①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②證明：.【解析】(1)∴函數(shù)的最小正周期又∵，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)①由題意可得且方程在上有兩個(gè)不同的解∵，則∴結(jié)合正弦函數(shù)可得②結(jié)合正弦函數(shù)對稱性可得且即