高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題檢測九計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)（解析版）

專題九計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（2024重慶八中適應(yīng)性月考，2）某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本.若樣本中A型號(hào)的產(chǎn)品有30件，則樣本容量n為（）A.150B.180C.200D.250【答案】A【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計(jì)算即可.【詳解】由題意樣本容量為.故選A.2.（2024安徽合肥模擬，3）已知在某競賽中，天涯隊(duì)、諦聽隊(duì)、洪荒隊(duì)單獨(dú)完成某項(xiàng)任務(wù)的概率分別為，，，且這3個(gè)隊(duì)是否完成該任務(wù)相互獨(dú)立，則恰有2個(gè)隊(duì)完成該任務(wù)的概率為(

)A.B.C.D.【解析】在某競賽中，天涯隊(duì)、諦聽隊(duì)、洪荒隊(duì)單獨(dú)完成某項(xiàng)任務(wù)的概率分別為，，，且這3個(gè)隊(duì)是否完成該任務(wù)相互獨(dú)立，則恰有2個(gè)隊(duì)完成該任務(wù)的概率為：故選：3.（2024重慶檢測，3）已知一種服裝的銷售量單位：百件與第x周的一組相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表所示，若兩變量x，y的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）x12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心，代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，可得，，即樣本中心為，因?yàn)閮勺兞康慕?jīng)驗(yàn)回歸方程為，則，解得故選C.4.（2024東北三省三校模擬，3）某種酸奶每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布N（184，2.52）．隨機(jī)抽取1罐，其凈重在179g與186.5g之間的概率為（）（注：若X～N（μ，σ2），P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，P（|X﹣μ|＜3σ）A．0.8186B．0.84135C．0.9545D．0.6827【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，以及μ＝184，σ＝2.5，即可求得凈重在179g與186.5g之間的概率．【解答】由題意可知，μ＝184，可得179＝μ﹣2σ，凈重在179g與186.5g之間的概率為P（179＜X＜186.4）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ），由正態(tài)分布的對稱性可知，P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝＝5.6827+＝0.8186，所以凈重在179g與186.7g之間的概率為P（179＜X＜186.5）＝0.8186．故選A．5.（2024江蘇鹽城模擬，2）已知隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根據(jù)A，B相互獨(dú)立可得，再根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，且，可得，所以=.故選B.6.（2024廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬，5）將5名女老師和5名男老師分配到三個(gè)社區(qū)，每名老師只去一個(gè)社區(qū)，若每個(gè)社區(qū)都必須要有女老師，且有男老師的社區(qū)至少有2名女老師，則不同的分配方法有（

）A．1880種 B．2940種 C．3740種 D．5640種答案B【詳解】5名女老師分配到三個(gè)社區(qū)，分配的方案有1:1:3型與1:2:2型，對于1:1:3型，女老師的分配情況有C53A33=60，其中只有一個(gè)社區(qū)女老師的人數(shù)超過對于1:2:2型，女老師的分配情況有C52C則將5名男老師分配去兩個(gè)社區(qū)，則分配方案有0:5型、1:4型與2:3型，則分配情況有A2即總分配情況為32×90=2880；綜上所述，2880+60=2940.故選：B.7.（2024河北石家莊適應(yīng)性考試，7）質(zhì)數(shù)(primenumber)又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和，那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件：這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)：事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（

）A． B． C． D．答案D【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求得正確答案.【詳解】不超過的自然數(shù)有個(gè)，其中素?cái)?shù)有共個(gè)，孿生素?cái)?shù)有和，和，和，和，共組.所以，，所以.故選：D8.（2024廣東深圳中學(xué)階段測，6）假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中白球個(gè)數(shù)為個(gè)為事件，從乙中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，分別求得相應(yīng)的概率，結(jié)合貝葉斯公式，即可求解.【詳解】設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為個(gè)為事件，事件的概率為，從乙中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，根據(jù)題意，可得；；，根據(jù)貝葉斯公式得，從乙袋中取出2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為：.故選：C.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.（2024廣東廣雅中學(xué)適應(yīng)性考試，9）下列說法中正確的是（）A.已知隨機(jī)事件A，B滿足，，則B.已知隨機(jī)變量，若，則C.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若方差，則【答案】BC【解析】【分析】由條件概率的公式可得A錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的方差公式和方差的性質(zhì)可得B正確；由平均數(shù)的計(jì)算公式可得C正確；由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】A：由條件概率的公式可得，所以，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，又，所以，所以，故B正確；C：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為10，所以，化簡可得，所以的平均數(shù)為，故C正確；D：由題意可得，解得或，則或，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.（2024江蘇蘇州三模，9）在某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，高三班的男生數(shù)學(xué)平均分為120，方差為2，女生數(shù)學(xué)平均分為112，方差為1，已知該班級(jí)男女生人數(shù)分別為25、15，則下列說法正確的有（）A.該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的均分為118B.該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的方差為16.625C.利用分層抽樣的方法從該班級(jí)抽取8人，則應(yīng)抽取5名男生D.從該班級(jí)隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有1名女生的概率為【答案】BCD【分析】利用均值、方差、分層隨機(jī)抽樣、古典概型等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對于A，該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的均分，故A錯(cuò)誤；對于B，該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的方差，故B正確；對于C，利用分層抽樣的方法從該班級(jí)抽取8人，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為，C正確；對于D，從該班級(jí)隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有1名女生的概率，故D正確．故選BCD．11.（2024安徽六安一中適應(yīng)性考試，9）一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1，2，編號(hào)為3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，則（）A．A與D相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立C．B與D相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立【分析】利用相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)求解．【解答】一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，2；紅球有兩個(gè)，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“取出的兩球不同色”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的兩球同色”，P（A）＝×+＝，P（B）＝＝，P（D）＝＝，P（AD）＝0，P（AB）＝＝＝，P（AC）＝＝，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A與D不是相互獨(dú)立事件；P（AB）＝P（A）P（B），∴A與B是相互獨(dú)立事件；P（BD）＝P（B）P（D），∴B與D是相互獨(dú)立事件；P（AC）＝P（A）P（C），∴A與C是相互獨(dú)立事件．故選BCD．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.（2024廣東廣州華南師大附中模擬，12）在的展開式中，x的系數(shù)為﹣5．【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為1求得r值，則答案可求．【解答】展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝（）3﹣r（）r＝（﹣1）r，令＝1，∴x的系數(shù)為﹣＝﹣5．13.（2024湖北四調(diào)，13）兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X，Y滿足，且，若，則______.答案0.86解析由X+2Y=3得Y+2＞0,7?x2＞0，則x＜7，PY+2=PX＜14.（2024重慶南開中學(xué)質(zhì)量檢測，12）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則在樣本點(diǎn)處的殘差為________.【答案】0.5【分析】利用樣本中心在回歸直線上及殘差的定義即可求解.【詳解】將代入，得，解得，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以殘差.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（2024安徽合肥一六八中學(xué)模擬，18）五月初，某中學(xué)舉行了“慶祝勞動(dòng)光榮，共繪五一華章”主題征文活動(dòng)，旨在通過文字的力量，展現(xiàn)勞動(dòng)者的風(fēng)采，傳遞勞動(dòng)之美，弘揚(yáng)勞動(dòng)精神．征文篩選由A、B、C三名老師負(fù)責(zé)．首先由A、B兩位老師對征文進(jìn)行初審，若兩位老師均審核通過，則征文通過篩選；若均審核不通過，則征文落選；若只有一名老師審核通過，則由老師C進(jìn)行復(fù)審，復(fù)審合格才能通過篩選．已知每篇征文通過A、B、C三位老師審核的概率分別為，且各老師的審核互不影響．（1）已知某篇征文通過篩選，求它經(jīng)過了復(fù)審的概率；（2）從投稿的征文中抽出4篇，設(shè)其中通過篩選的篇數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求出征文通過篩選概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解.（2）求出的可能取值，利用二項(xiàng)分布求出求出分布列及期望.【解析】（1）設(shè)事件老師審核通過，事件老師審核通過，事件老師審核通過，事件征文通過篩選，事件征文經(jīng)過復(fù)審，則，，，因此，所以它經(jīng)過了復(fù)審的概率為.（2）依題意，的可能取值為，顯然，則，，，所以的分布列如下：X01234數(shù)學(xué)期望為.16.（2024湖南常德模擬，16）某市組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：）解：(1)每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則X的所有可能取值為0,1,2,3......1分，，，.......................................................5分故X的分布列為X0123P.....................................................................7分(2)設(shè)原來數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，...............................................8分.....................................10分故................................13分，∴..................................................................................................................15分17.（2024黑龍江部分學(xué)校三模，16)為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評(píng)價(jià)機(jī)制，激勵(lì)學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)了《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級(jí)學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級(jí)開展了一次體質(zhì)健康模擬測試，并從中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)這500名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(，)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知該市高三學(xué)生約有30000名，記健康指數(shù)在區(qū)間[60.29，87.92]的人數(shù)為，試求E().附：參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，)，則，，.【分析】（1）以組中值代替小組平均值，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算可得；（2）①根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可；②根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可.【解析】（1）由題意得，平均數(shù)=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；（2）①由(1)可知=69.5，≈9.21，則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；②由①可知1名學(xué)生的健康指數(shù)位于[60.29，87.92]的概率為0.819，依題意，服從二項(xiàng)分布，即～B(30000,0.819)，則E()=np=24570.18.（2024湖南長沙周南中學(xué)模擬，17）市教育局計(jì)劃舉辦某知識(shí)競賽，先在，，，四個(gè)賽區(qū)舉辦預(yù)賽，每位參賽選手先參加“賽區(qū)預(yù)賽”，預(yù)賽得分不低于100分就可以成功晉級(jí)決賽．賽區(qū)預(yù)賽的具體規(guī)則如下：每位選手可以在以下兩種答題方式中任意選擇一種答題．方式一：每輪必答2個(gè)問題，共回答6輪，每輪答題只要不是2題都錯(cuò)，則該輪次中參賽選手得20分，否則得0分，各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分；方式二：每輪必答3個(gè)問題，共回答4輪，在每一輪答題中，若答對不少于2題，則該輪次中參賽選手得30分，如果僅答對1題，則得20分，否則得0分．各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分．記某選手每個(gè)問題答對的概率均為．（1）若，求該選手選擇方式二答題晉級(jí)的概率；（2）證明：該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等．【分析】（1）先求該選手選擇方式二答題，記每輪得分的可能及其概率，記預(yù)賽得分為，根據(jù)晉級(jí)所需分?jǐn)?shù)求