押福建卷第23題【圖形變換與幾何綜合】(原卷版+解析)

押福建卷第23題圖形變換與幾何綜合題號分值2022年

中考2021年

中考2020年

中考2019年

中考2018年

中考2310尺規(guī)+三角函數(shù)概率綜合尺規(guī)+三點共線概率綜合四邊形綜合解題技巧（1）考生備考時，要熟練掌握一線幾點：①圖形平移與旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)，②直角三角形相關(guān)性質(zhì)，③全等三角形的判定與性質(zhì)，④等腰、等邊三角形的性質(zhì)，⑤相似三角形的判定與性質(zhì)，⑥平行四邊形、特殊平行四邊形相關(guān)性質(zhì)；需要綜合運用這些知識點是解題的關(guān)鍵，并學(xué)會做輔助線（2）常見的幾種旋轉(zhuǎn)模型：手拉手模型，半角模型等要熟練運用【真題1】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．【真題2】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE=∠DFC；（2）求證：CD=BF．【真題3】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△AED，點B、C的對應(yīng)點分別是E、D.(1)如圖1，當點E恰好在AC上時，求∠CDE的度數(shù)；(2)如圖2，若α=60°時，點F是邊AC中點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

1．（2023春·福建福州·九年級福建省羅源第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，先將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，再將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，連接BE、BG、AD，且AC=4．(1)若∠ABC=135°．B、E、D三點在同一條直線上，求BG的長；(2)若∠ABC=90°，AC=2CE，點P在邊AB上，求線段PD的最小值．2．（2023春·福建廈門·九年級廈門雙十中學(xué)校考期中）已知線段AB，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AC，連接BC，在線段BC上取一點D，BD>CD連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)12α得到AE(1)如圖1，當α=50°時，連接DE，求∠ADE度數(shù)；(2)如圖2，當∠B=30°時，試探究線段AD與CE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不變，點D在斜邊AB上，DE⊥AC，垂足為點E．如圖2，把△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，點E的對應(yīng)點為點P(1)求作點D的對應(yīng)點Q（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接PQ，CP，BQ，直線CP，BQ相交于點F，試探究在整個旋轉(zhuǎn)過程中，直線CP，BQ所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請證明：若有變化，說明理由．4．(2023秋·福建福州·九年級校考期中）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．(1)求證：AE=BD；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的長．5．（2023秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△ADE，且點D落在BC的延長線上，連接CE．(1)如圖1，若α=120°，∠DEC=90°，CE交AD于點F．①求∠BAC的度數(shù)；②直接寫出EFCF(2)如圖2，若點M,N分別為BD，CE的中點，連接MN并延長交AD于點G，求證：MG⊥AD．6．(2023秋·福建泉州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DBE，當點E恰好落在線段AB上時，連接AD，∠ABD的平分線BF交AD于點F，連接EF(1)求EF的長；(2)求證：C、E、F三點共線．7．（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，點D，E均在邊BC上（點D在點E的左側(cè)），且∠DAE=α．(1)如圖1，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2α得到△ACF，連接EF，求證：△ADE≌△AFE；(2)如圖2，若∠BAC=90°，求證：DE(3)如圖3，若∠BAC=60°，AB=AC=5，BD=1，求線段CE的長度．8．(2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【問題探究】小聽同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，BD=______．(2)如圖2，當點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．(3)若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．9．(2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（45°<α≤90°）得到△ADE，點B、C的對應(yīng)點分別是D(1)用含α的代數(shù)式表示∠AGC的度數(shù)；(2)當AE∥BD時，求10．(2023·福建廈門·九年級廈門一中校考階段練習(xí)）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG，且點E落在AD邊上，連接BG交CE于點H．(1)如圖1，連接BE，求證：BE平分∠AEC；(2)如圖2，連接FH，若FH平分∠EFG，在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖2中所有數(shù)量關(guān)系為2倍的兩條線段．11．(2023秋·福建廈門·九年級廈門雙十中學(xué)思明分校校考階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，使點B落在AD邊上的點E處，連接BG交CE于點H，連接BE．(1)求證：BE平分∠AEC；(2)取BC中點P，連接PH，求證：PH∥12．(2023秋·福建福州·九年級福建省福州第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與端點重合），△ADF是由△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，連接EF交AD于點G，過點A作AH⊥EF，垂足為H，連接BH．(1)求證：AE=2(2)求證：∠AEF=∠HBE；(3)若AG?BH=502，CE=2，求BE13．(2023秋·福建廈門·九年級廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG，且點E落在AD邊上，連接BG交CE于點H．(1)如圖1，連接BE，求證：BE平分∠AEC；(2)如圖2，連接FH，若FH平分∠EFG，判斷CH與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．(2023秋·福建廈門·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，△ABC、△CDE都是等邊三角形，邊DE分別交BC、AC于點D、E，將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)ɑ°0°＜α＜360°設(shè)直線AE(1)如圖2，當0°＜α＜(2)當△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點共線時，若AB=7，CD=3，求BD的長．15．(2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)的一點，∠BOC=150°，將△BOC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADC，連接OD，(1)求∠ODC的度數(shù)．(2)若OB=2，OC=3，求AO的長．16．(2023秋·福建福州·九年級福建省福州第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，使點G落在BC邊上．(1)連接DG，求證：GD平分∠AGC(2)連接DE交AG于點H，求證：H為DE中點．押福建卷第23題圖形變換與幾何綜合題號分值2022年

中考2021年

中考2020年

中考2019年

中考2018年

中考2310尺規(guī)+三角函數(shù)概率綜合尺規(guī)+三點共線概率綜合四邊形綜合解題技巧（1）考生備考時，要熟練掌握一線幾點：①圖形平移與旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)，②直角三角形相關(guān)性質(zhì)，③全等三角形的判定與性質(zhì)，④等腰、等邊三角形的性質(zhì)，⑤相似三角形的判定與性質(zhì)，⑥平行四邊形、特殊平行四邊形相關(guān)性質(zhì)；需要綜合運用這些知識點是解題的關(guān)鍵，并學(xué)會做輔助線（2）常見的幾種旋轉(zhuǎn)模型：手拉手模型，半角模型等要熟練運用【真題1】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)∠ACE+∠EFC=180°，見解析(3)30°分析：（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出∠ACF=∠CEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，得到∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，證得△ABM≌△CDB，得到∠MBA=∠BDC，設(shè)∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，則∠ADB=α+β，得到α+【詳解】（1）∵△ABC≌∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠DCB，∴∠ABC=∠DCB，∴AB∥∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；（2）結(jié)論：∠ACE+∠EFC=180°．證明：∵△ABC≌∴∠ABC=∠DEC，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠DEC，∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°，∴∠ACF=∠CEF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACE+∠EFC=180°；（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，∠BAD=∠BCD，∴△ABM≌∴BM＝BD，∠MBA=∠BDC，∴∠ADB=∠BMD，∵∠BMD=∠BAD+∠MBA，∴∠ADB=∠BCD+∠BDC，設(shè)∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，則∠ADB=α+β，∵CA＝CD，∴∠CAD=∠CDA=α+2β，∴∠BAC=∠CAD?∠BAD=2β，∴∠ACB=1∴∠ACD=90°?β∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，

∴90°?β+α+2∴α+β=30°，即∠ADB＝30°．【點睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運用知識，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【真題2】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE=∠DFC；（2）求證：CD=BF．答案:（1）見解析；（2）見解析分析：（1）通過兩角和等于90°，然后通過等量代換即可證明；（2）通過平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，通過等量代換即可證明．【詳解】證明：（1）在等腰直角三角形EDF中，∠EDF=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DFC+∠ADF=∠ACB=90°，∴∠ADE=∠DFC．（2）連接AE．由平移的性質(zhì)得AE//∴∠EAD=∠ACB=90°，∴∠DCF=180°?∠ACB=90°，∴∠EAD=∠DCF．∵△EDF是等腰直角三角形，∴DE=DF．由（1）得∠ADE=∠DFC，∴△AED≌△CDF，∴AE=CD，∴CD=BF．【點睛】本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．【真題3】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△AED，點B、C的對應(yīng)點分別是E、D.(1)如圖1，當點E恰好在AC上時，求∠CDE的度數(shù)；(2)如圖2，若α=60°時，點F是邊AC中點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

答案:（1）15°；（2）證明見解析.分析：（1）如圖1，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADC，從而計算出∠CDE的度數(shù)；（2）如圖2，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝12AC，則BF＝BC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，從而得到DE＝BF，△ACD和△BAE為等邊三角形，接著由【詳解】解：（1）如圖1，∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α得到△AED，點E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12∴∠CDE＝75°?60°＝15°；（2）證明：如圖2，∵點F是邊AC中點，∴BF＝12∵∠BAC＝30°，∴BC＝12∴BF＝BC，∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE為等邊三角形，∴BE＝AB，∵點F為△ACD的邊AC的中點，∴DF⊥AC，易證得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了平行四邊形的判定．1．（2023春·福建福州·九年級福建省羅源第一中學(xué)校考期中）如圖，先將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，再將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，連接BE、BG、AD，且AC=4．(1)若∠ABC=135°．B、E、D三點在同一條直線上，求BG的長；(2)若∠ABC=90°，AC=2CE，點P在邊AB上，求線段PD的最小值．答案:(1)42(2)23+2分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD=90°=∠BCE，AB=DE，BC=CE，AC=CD，∠ABC=∠DEC=135°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BEC=45°=∠CBE，可證∠BEC+∠CED=180°，通過證明四邊形ABDG是矩形，可得AD=BG，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解;（2）由垂線段最短可得當PD⊥AB時，PD的長度有最小值，先證點P，點E，點D三點共線，由勾股定理可求DE的長，由正方形的性質(zhì)可得BC=PE=2，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖，連接AG，∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，∠ACD=90°=∠BCE，∴AB=DE，BC=CE，AC=CD，∠ABC=∠DEC=135°，∴∠BEC=45°=∠CBE，∴∠BEC+∠CED=180°，∴B、E、D三點共線;∵將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DG，∴DE=DG，∠EDG=90°∴AB=DE=DG，∵∠ABE=∠ABC?∠CBE=90°，∴∠ABE+∠EDG=180°，∴AB∥DG，∴四邊形ABDG是平行四邊形，又∵∠BDG=90°∴四邊形ABDG是矩形，∴AD=BG，∵AC=CD=4，∠ACD=90°，∴AD=2AC=42，BG=42；（2）∵點P在邊AB上，∴當PD⊥AB時，PD的長度有最小值由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ABC=∠CED=∠BCE=90°，∴BC∥DE，∵∠ABC+∠BPD=180°，∴DP∥BC，∴點P，點E，點D三點共線，∵AC=2CE，∴BC=CE=2，又∵∠ABC=∠BPE=∠BCE=90°，∴四邊形BPEC是正方形，∴BC=PE=2，∵CD=AC=4，CE=2，∠CED=90°，∴DE=C∴DP=23+2，∴線段PD的最小值為23+2．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·福建廈門·九年級廈門雙十中學(xué)?？计谥校┮阎€段AB，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AC，連接BC，在線段BC上取一點D，BD>CD連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)12α得到AE(1)如圖1，當α=50°時，連接DE，求∠ADE度數(shù)；(2)如圖2，當∠B=30°時，試探究線段AD與CE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:(1)77.5°(2)AD=CE，理由見詳解分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，再結(jié)合題意及等腰三角形的性質(zhì)即可獲得答案；（2）過點A作AM⊥BC于點M，過點E作AN⊥AC于點N，根據(jù)題意可得∠ACB=∠B=30°，∠BAC=120°，即α=120°，AD=AE，∠DAE=12α=60°，再證明△AMD≌△ANE，AM=AN；根據(jù)“直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得AC=2AM，易得AC=2AN，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE【詳解】（1）解：∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)12α得到AE，∴AD=AE，∠DAE=1∴∠ADE=∠AED=1（2）如下圖，過點A作AM⊥BC于點M，過點E作AN⊥AC于點N，∵將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°得到AC∴AB=AC，又∵∠B=30°，∴∠ACB=∠B=30°，∠BAC=180°?∠B?∠ACB=120°，即α=120°，∵AM⊥BC，∴∠CAM=1∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)12α得到∴AD=AE，∠DAE=1∴∠DAE=∠CAM，即∠DAN+∠NAE=∠DAN+∠MAD，∴∠MAD=∠NAE，∵AM⊥BC，AN⊥AC，∴∠AMD=∠ANE=90°，∴在△AMD和△ANE中，∠AMD=∠ANE∠MAD=∠NAE∴△AMD≌△ANE(AAS∴AM=AN，∵∠ACB=30°，AM⊥BC，∴AC=2AM，∴AC=2AN，∴AE=CE，∴AD=CE．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、垂直平分線的定義與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．3．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)校考一模）如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不變，點D在斜邊AB上，DE⊥AC，垂足為點E．如圖2，把△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，點E的對應(yīng)點為點P(1)求作點D的對應(yīng)點Q（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接PQ，CP，BQ，直線CP，BQ相交于點F，試探究在整個旋轉(zhuǎn)過程中，直線CP，BQ所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請證明：若有變化，說明理由．答案:(1)見解析(2)不變，理由見解析分析：（1）作∠PAQ=∠BAC，AQ=AD，則點Q即為所求；（2）根據(jù)題意得出DE∥BC，則ADAB=AEAC，進而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AP=AE,AQ=AD，證明【詳解】（1）解：如圖所示，點Q即為所求；（2）解：如圖所示，設(shè)CF,AB交于點G，∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴DE∥∴ADAB∵把△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，點E的對應(yīng)點為點P，點D的對應(yīng)點Q∴AP=AE,AQ=AD，∴APAC又∠CAP=∠DAQ=α，∴△CAP∽△BAQ，∴∠ABQ=∠ACP=∠ACF，∵∠BGC=∠ABF+∠BFC=∠ACF+∠BAC，∴∠BFC=∠BAC，∵∠BAC的大小保持不變，∴∠BFC是定值．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．(2023秋·福建福州·九年級校考期中）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．(1)求證：AE=BD；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的長．答案:(1)證明見解析(2)BD=2分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠ACB=60°，AC=BC，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出∠BCD=∠ACE，再根據(jù)“邊角邊”，得出△BCD≌（2）連接DE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根據(jù)等邊三角形的判定，得出△CDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠CDE=60°，DE=CD=6，進而得出∠ADE=90°，再根據(jù)勾股定理，得出AE=213【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知∠DCE=60°，CD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌∴AE=BD；（2）解：如圖，連接DE，∵線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，∴∠DCE=60°，CD=CE，∴△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=60°，DE=CD=6，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，在Rt△ADE∴AE=A∵AE=BD，∴BD=213【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點，并且正確作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△ADE，且點D落在BC的延長線上，連接CE．(1)如圖1，若α=120°，∠DEC=90°，CE交AD于點F．①求∠BAC的度數(shù)；②直接寫出EFCF(2)如圖2，若點M,N分別為BD，CE的中點，連接MN并延長交AD于點G，求證：MG⊥AD．答案:(1)①30°；②1(2)證明見解析分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=α=120°，從而∠ABD=∠ADB=180°?∠BAD2=30°∠ACB=∠AED=120°得到∠BAC=180°?∠ABD?∠ACB=180°?30°?120°=30°；②由∠ACD=∠BAC+∠ABC=∠ACE+∠DCF，得到∠DCF=60°?30°=30°=∠ADB，CF=DF，再根據(jù)△ABC≌△ADE，得到∠ABC=∠ADE=30°，根據(jù)含30°直角三角形的三邊關(guān)系得到EF=12DF=（2）連接AM,AN，如圖所示，由AB=AD，M為BD的中點，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)到AM⊥BD，∠BAM=∠DAM，則∠AMB=90°，進而∠ACE+∠DAM=90°，再由AC=AE，N是CE的中點，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到AN⊥CE，∠ANC=∠AMC=90°，從而得∠ACN=∠AMN，從而確定MG⊥AD．【詳解】（1）解：①∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得△ADE，∴△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=α=120°，∴∠ABD=∠ADB=180°?∠BAD2=30°∴∠AED=∠AEC+∠CED=30°+90°=120°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠AED=120°，∴∠BAC=180°?∠ABD?∠ACB=180°?30°?120°=30°；②EFCF理由如下：∵∠ACD=∠BAC+∠ABC=∠ACE+∠DCF，∴∠DCF=60°?30°=30°=∠ADB，∴CF=DF，∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC=∠ADE=30°，∵∠DEC=90°，∴EF=1∴EFCF（2）證明：連接AM,AN，如圖所示：∵AB=AD，M為BD的中點，∴AM⊥BD，∠BAM=∠DAM，∴∠AMB=90°，∴∠ABD+∠BAM=90°，∴∠ABD=∠ACE=180°?α∴∠ACE+∠DAM=90°，又∵AC=AE，N是CE的中點，∴AN⊥CE，∴∠ANC=∠AMC=90∴A,C,M,N四點共圓，∴∠ACN=∠AMN，∴∠AMN+∠DAM=90°，∴∠AGM=180°?∠AMN?∠DAM=90°，∴MG⊥AD．【點睛】本題考查幾何綜合，綜合性較強，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、角度和差倍分關(guān)系、含30°直角三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點，靈活運用幾何性質(zhì)推理是解決問題的關(guān)鍵．6．(2023秋·福建泉州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DBE，當點E恰好落在線段AB上時，連接AD，∠ABD的平分線BF交AD于點F，連接EF(1)求EF的長；(2)求證：C、E、F三點共線．答案:(1)EF=25(2)見解析分析：（1）將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DBE，可得DE=AC=8，BE=BC=6，從而可求AD，由AB=BD，BF平分∠ABD，可得F是AD中點，EF=1（2）連接CE，先證∠ABC=2∠1=2∠3，再用∠ABC+∠BCE+∠BEC=180°得2∠3+2∠BEC=180°，從而證明∠3+∠BEC+∠BED=180°即可．【詳解】（1）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=A∵將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DBE，∴AB=BD=10，DE=AC=8，BE=BC=6，∠DEB=∠C=90°，∴∠AED=90°，AE=AB?BE=4，∴AD=A∵BF平分∠ABD，且AB=BD，∴AF=DF，Rt△ADE中，EF=（2）連接CE，如圖：由（1）知：BF平分∠ABD，且AB=BD，∴EF=12AD=DF∴∠2=∠3，∵∠DGF=∠BGE，∴Δ∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∵BF平分∠ABD，∴∠ABD=∠ABC=2∠1，∴∠ABC=2∠3，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE，∵∠ABC+∠BCE+∠BEC=180°，∴2∠3+2∠BEC=180°，∴∠3+∠BEC=90°，∴∠3+∠BEC+∠BED=180°，∴C、E、F三點共線．【點睛】本題考查直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，點D，E均在邊BC上（點D在點E的左側(cè)），且∠DAE=α．(1)如圖1，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2α得到△ACF，連接EF，求證：△ADE≌△AFE；(2)如圖2，若∠BAC=90°，求證：DE(3)如圖3，若∠BAC=60°，AB=AC=5，BD=1，求線段CE的長度．答案:(1)見詳解(2)見詳解(3)EC=分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：△ABD≌△ACF，由∠BAC=2α，∠DAE=α，可得∠BAD+∠EAC=α，即有∠CAF+∠EAC=∠EAF=α，∠DAE=∠EAF=α，即可證明；（2）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，F(xiàn)C，先求出∠ABC=∠ACB=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：∠ABC=∠ACF=45°，BD=FC，即有∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，則在Rt△ECF中，有：EF2（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF，F(xiàn)C，過F點作FG⊥BC，交BC的延長線于點G，易得△BAC是等邊三角形，即有AB=BC=5，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°；表示出DE=BC?BD?EC=4?EC，根據(jù)（1）中的方法可證明：△ADE≌△AFE，即DE=EF=4?EC，求出∠FCG=60°，即有∠CFG=30°，在Rt△CFG中，CG=12FC=12，即EG=EC+CG=EC+12，【詳解】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：△ABD≌△ACF，∴AD=AF，∠BAD=∠CAF，∵∠BAC=2α，∠DAE=α，∴∠BAD+∠EAC=α，∴∠CAF+∠EAC=∠EAF=α，∴∠DAE=∠EAF=α，∵AD=AF，AE=AE，∴△ADE≌△AFE；（2）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，F(xiàn)C，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：∠ABC=∠ACF=45°，BD=FC，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，∴在Rt△ECF中，有：E根據(jù)（1）中的方法，同理可證明△ADE≌△AFE，∴DE=FE，∴結(jié)合BD=FC，有DE（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF，F(xiàn)C，過F點作FG⊥BC，交BC的延長線于點G，如圖，∵∠BAC=60°，AB=AC=5，∴△BAC是等邊三角形，∴AB=BC=5，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=1，∴DE=BC?BD?EC=4?EC，根據(jù)（1）中的方法可證明：△ADE≌△AFE，∴DE=EF=4?EC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：∠ABC=∠ACF=60°，BD=CF=1，∴∠BCF=120°，∴∠FCG=60°，∵FG⊥CG，∴∠CFG=30°，∴在Rt△CFG中，CG=12∴利用勾股定理可得：FG=3∵在Rt△EFG中，F(xiàn)∴4?EC2解得：EC=5【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，合理作出相應(yīng)的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．8．(2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【問題探究】小聽同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，BD=______．(2)如圖2，當點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．(3)若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．答案:(1)2(2)2(3)點D到直線BC的距離為6分析：（1）在Rt△BDE（2）在Rt△BEF（3）分類討論，①當點E在BC上方時，如圖1過點D作DH⊥BC于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC=33，DE=3，最后利用面積求解，即可求出答案；②當點E在【詳解】（1）解：在Rt△BDE中，∠B=30°，BE=3∴BD=（2）解：由題意得，∠BEF=∠BED=90°，∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∴BF=（3）①當點E在BC上方時，如圖1，過點D作DH⊥BC，垂足為H，∴在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴tan∠ABC=∴BC=∵在△BDE中，∠DEB=90°，∠BE=3，tan∠DBE=∴DE=BE?tan∵點C、E、D在同一直線上，且∠DEB=90°，∴∠CEB=180°?∠DEB=90°．又∵在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3∴CE=B∴CD=CE+DE=32∵在△BCD中，S△BCD∴DH=②當點E在BC下方時，如圖2，在△BCE中，∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33∴CE=B∴CD=CE?DE=32過點D作DM⊥BC，垂足為M．在△BDC中，S∴DM=6綜上，點D到直線BC的距離為6±1【點睛】本題考查了解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．(2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（45°<α≤90°）得到△ADE，點B、C的對應(yīng)點分別是D(1)用含α的代數(shù)式表示∠AGC的度數(shù)；(2)當AE∥BD時，求答案:(1)135(2)2分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=45°，（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABD=180°?α【詳解】（1）∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（45°<α≤90∴AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=45°，∵AB=AC，∴AC=AE=AB=AD，∴∠AEC=∠ACE=180∴∠AGC=∠DAE+∠AEC=45（2）∵AB=AD,∠BAD=α，∴∠ABD=180∵AE∥∴∠ABD+∠BAE=180∴180°∴α=90∴∠BAD=∠CAE=90∴CE=2∵∠BAE=135∴∠BAE+∠AEC=180∴AB∥∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB=EF=1，∴CF=CE?EF=2【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(2023·福建廈門·九年級廈門一中校考階段練習(xí)）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG，且點E落在AD邊上，連接BG交CE于點H．(1)如圖1，連接BE，求證：BE平分∠AEC；(2)如圖2，連接FH，若FH平分∠EFG，在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖2中所有數(shù)量關(guān)系為2倍的兩條線段．答案:(1)證明見詳解；(2)BG=2BH,BG=2GH，ED=2CH，CH=2AE．分析：（1）過點B作BM⊥CE于M，然后通過三角形的面積證明BA=BM，根據(jù)角平分線的判定定理得點B在∠AEC的角平分線上，從而得證；（2）通過證明△BMH≌△GCH，而得到BG=2BH,BG=2GH；通過線段的加減可得ED=2CH；設(shè)AE=x,CH=y，然后用x,y表示線段DE,CD,CE，再用勾股定理可得出CH=2AE，從而求解．【詳解】（1）證明：過點B作BM⊥CE于M，如圖1所示，∵把矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG，且點E落在AD邊上，∴BC=EC，∵S∴AB=BM，又BA⊥EA,BM⊥EC，∴點B在∠AEC的角平分線上，即BE平分∠AEC；（2）解：如圖1，BM=AB=CD=CG，∠BMH=∠GCH=90°，∠MHB=∠CHG，∴△BMH≌△GCH(AAS)，∴BH=GH，∴BG=2BH,BG=2GH；又∵AD=AE+ED=CE=2CH+EM=2CH+AE（如圖1），∴ED=2CH；∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=45°，∴△EFH為等腰直角三角形，∴EF=EH，∴EH=AB=CD，設(shè)AE=x,CH=y，∴DE=2y,CD=x+y,CE=x+2y，∴(2y)∴y=2x即CH=2AE；綜上所述，圖2中所有數(shù)量關(guān)系為2倍的兩條線段為：BG=2BH,BG=2GH，ED=2CH，CH=2AE．【點睛】此題考查了矩形的旋轉(zhuǎn)與性質(zhì)、角平分線的判定定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．11．(2023秋·福建廈門·九年級廈門雙十中學(xué)思明分校校考階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，使點B落在AD邊上的點E處，連接BG交CE于點H，連接BE．(1)求證：BE平分∠AEC；(2)取BC中點P，連接PH，求證：PH∥答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)，得到∠AEB=∠EBC；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到∠BEC=∠EBC，等量代換得到∠AEB=∠BEC即可．（2）如圖，過點B作BM⊥EC，證明BM=BA=CD=CG，后證明△BMH≌△GCH，得到BH=GH，繼而得到【詳解】（1）∵矩形ABCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，使點B落在AD邊上的點E處，∴AD∥BC，AB=CD=CG，CB=CE，∠BCD=∠ECG=∴∠AEB=∠EBC，∠BEC=∠EBC，∴∠AEB=∠BEC，∴BE平分∠AEC．（2）如圖，過點B作BM⊥EC，∵BE平分∠AEC，∴BM=∵∠BHM=∠GHC∠BMH=∠GCH=90°∴△BMH≌△GCH，∴BH=∴PH是△BCG中位線，∴PH∥【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，實踐中中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．12．(2023秋·福建福州·九年級福建省福州第十九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與端點重合），△ADF是由△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，連接EF交AD于點G，過點A作AH⊥EF，垂足為H，連接BH．(1)求證：AE=2(2)求證：∠AEF=∠HBE；(3)若AG?BH=502，CE=2，求BE答案:(1)見解析(2)見解析(3)BE=6分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AF，∠EAF=90°，證明△AEF是等腰直角三角形可得結(jié)論；（2）通過證明點A，B，E，H四點共圓，可得∠AEF=∠ABH=45°，可得結(jié)論；（3）通過證明△ABH∽△GEA，由相似三角形的性質(zhì)可求AE的長，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=BC，∵△ADF是由△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=2AE，∵AH⊥EF，∴EH=HF=12EF=（2）證明：∵AH⊥EF，∴∠AHE=∠ABE=90°，∴點A，B，E，H四點共圓，則∠AEF=∠ABH=45°，∴∠EBH=90°?∠ABH=45°，∴∠AEF=∠HBE；（3）解：∵AH⊥EF，∠BAD=90°，∴∠BAH=90°?∠GAH=∠AGH由（1）知∠ABH=∠AEG=45°，∴△ABH∽△GEA，∴AHAG∴AH?AE=AG?BH=502∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，∴AH=HE，則AE=2∴2AH2∴AE=2在Rt△ABE中，AB=BC=BE+CE=BE+2由勾股定理知：AE∴102解得BE=6或BE=?8（舍去）．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(2023秋·福建廈門·九年級廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG，且點E落在AD邊上，連接BG交CE于點H．(1)如圖1，連接BE，求證：BE平分∠AEC；(2)如圖2，連接FH，若FH平分∠EFG，判斷CH與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:(1)見解析(2)CH=2AE，證明見解析分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CE=BC，求得∠CEB=∠CBE，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出AD∥BC，繼而得出∠AEB=∠EBC，等量代換得出（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=GH，求得BG=2BH，BG=2GH，根據(jù)線段的和差得到DE=2CH，根據(jù)已知條件得到△EFH是等腰直角三角形，求得EF=EH，設(shè)【詳解】（1）證明：如圖，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠AEB=∠EBC，∵把矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，∴CE=BC，∴∠CEB=∠CBE，∴∠AEB=∠BEC，即BE平分∠AEC；（2）解：如圖，過B作BM⊥CE于M，連接BE，在△ABE和△MBE中，∠A=∠BME∠AEB=∠BEM∴△ABE≌△MBE(AAS)∴AE=EM，∴BM=CG，在△BMH和△GCH中，∠BMH=∠GCH=90°∠BHM=∠GHC∴△BMH≌△GCH(AAS)∴BH=GH，∴BG=2BH，∵AD=AE+DE=CE=CH+EH=CH+CH+AE=2CH+AE，∴DE=2CH，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=45°，∴△EFH是等腰直角三角