2024徐州中考數(shù)學(xué)二輪重點(diǎn)專題研究 微專題 十字模型（課件）

微專題十字模型【活動(dòng)目的】運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)探究正方形中十字圖形的特點(diǎn)及相關(guān)結(jié)論．活動(dòng)一：【分析圖形】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G.圖①【提出問(wèn)題】根據(jù)題干信息，請(qǐng)從下列條件中選擇一個(gè)，作為已知條件，其他條件作為結(jié)論，并進(jìn)行證明：①CE＝DF，②AF＝DE，③AF⊥DE，④△ADG∽△AFD.你添加的條件是_____，證明結(jié)論是___________________．【解決問(wèn)題】圖①③①②④.(答案不唯一)∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；在△ADG和△AFD中，∴△ADG∽△AFD；圖①【總結(jié)結(jié)論】__________________________________________________________________________________________________________________________;如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G.若AF⊥DE，則有CE＝DF，AF＝DE，△ADG∽△AFD圖①活動(dòng)二：【類比探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，活動(dòng)一中添加的條件是否仍然可以證明相應(yīng)的結(jié)論？說(shuō)明理由．圖②仍然可以．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；在△ADG和△AFD中，∴△ADG∽△AFD；圖②活動(dòng)三：【挖掘本質(zhì)】問(wèn)題1：如圖③當(dāng)點(diǎn)E、F分別在BC、CD上運(yùn)動(dòng)，且CE＝DF，點(diǎn)G到哪條邊中點(diǎn)的距離始終不變？為什么？圖③解：點(diǎn)G到AD邊中點(diǎn)的距離始終不變，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AD中點(diǎn)為圓心，以AD為直徑的一條

的圓弧上，∴點(diǎn)G到AD的中點(diǎn)的距離始終不變．問(wèn)題2：根據(jù)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？圖③解：點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AD中點(diǎn)為圓心，以AD為直徑的一條

圓?。顒?dòng)四：【知識(shí)遷移】運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)探究矩形中十字圖形的特點(diǎn)問(wèn)題3：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，且CE⊥BD，則CE與BD之間有什么數(shù)量關(guān)系？然后請(qǐng)證明．圖④解：CE與BD之間的數(shù)量關(guān)系為：nCE＝mBD，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°，∴∠BDE＋∠BDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠BDE＋∠DEC＝90°，∴∠BDC＝∠CED，∴△CDE∽△BCD，又∵BC＝AD，∴

.∴nCE＝mBD.圖④對(duì)接中考1.在正方形ABCD中，如圖①，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F.(1)求證：△ABF≌△BCE；第1題圖(1)證明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＋∠GBC＝90°，又∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝AB，∠FAB＝∠EBC＝90°，∴∠GBA＋∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，在△ABF與△BCE中，∴△BCE≌△ABF(ASA)；第1題圖(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DG，若AB＝2，求DG的長(zhǎng)；第1題圖(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，H∟∵E為AB中點(diǎn)，AB＝2，∴EB＝1，BC＝2，∴CE＝

，在Rt△CEB中，由CE·BG＝EB·BC得BG＝

，∴CG＝

，∵∠DCE＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，

又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD與△BGC中，∴△CHD≌△BGC(AAS)∴CH＝BG＝

，∴GH＝CG－CH＝

，第1題圖H∟∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH與△DCH中，∴△DGH≌△DCH(SAS)，∴DG＝DC＝2.第1題圖H∟(3)如圖③，在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DG于點(diǎn)H，分別交AD、BF于點(diǎn)M、N，求

的值．第1題圖(3)解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是m，則BE＝

，∴CE＝

m.易得△BCG∽△ECB，∴

.∴CG＝

m.如圖，作DP⊥CG交CG于點(diǎn)P，由(2)可得點(diǎn)P

是CG中點(diǎn)，∴CP＝

CG＝

m，∴DP＝

m，∴S△DCG＝

×

m×

m＝

m2.第1題圖P∟又∵S△DCG＝

DG·CH，DG＝DC＝m.∴CH＝

.易得△CHG∽△CGN，△CDM∽△CHD，∴