2024徐州中考數(shù)學二輪重點專題研究 微專題 十字模型（課件）

微專題十字模型【活動目的】運用所學的知識探究正方形中十字圖形的特點及相關結論．活動一：【分析圖形】如圖①，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上的點，AF、DE相交于點G.圖①【提出問題】根據(jù)題干信息，請從下列條件中選擇一個，作為已知條件，其他條件作為結論，并進行證明：①CE＝DF，②AF＝DE，③AF⊥DE，④△ADG∽△AFD.你添加的條件是_____，證明結論是___________________．【解決問題】圖①③①②④.(答案不唯一)∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；在△ADG和△AFD中，∴△ADG∽△AFD；圖①【總結結論】__________________________________________________________________________________________________________________________;如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上的點，AF、DE相交于點G.若AF⊥DE，則有CE＝DF，AF＝DE，△ADG∽△AFD圖①活動二：【類比探究】如圖②，當點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上時，活動一中添加的條件是否仍然可以證明相應的結論？說明理由．圖②仍然可以．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；在△ADG和△AFD中，∴△ADG∽△AFD；圖②活動三：【挖掘本質(zhì)】問題1：如圖③當點E、F分別在BC、CD上運動，且CE＝DF，點G到哪條邊中點的距離始終不變？為什么？圖③解：點G到AD邊中點的距離始終不變，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴點G的運動軌跡是以AD中點為圓心，以AD為直徑的一條

的圓弧上，∴點G到AD的中點的距離始終不變．問題2：根據(jù)點G的運動軌跡你能發(fā)現(xiàn)什么結論？圖③解：點G的運動軌跡是以AD中點為圓心，以AD為直徑的一條

圓弧．活動四：【知識遷移】運用所學的知識探究矩形中十字圖形的特點問題3：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，點E是AD上一點，且CE⊥BD，則CE與BD之間有什么數(shù)量關系？然后請證明．圖④解：CE與BD之間的數(shù)量關系為：nCE＝mBD，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°，∴∠BDE＋∠BDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠BDE＋∠DEC＝90°，∴∠BDC＝∠CED，∴△CDE∽△BCD，又∵BC＝AD，∴

.∴nCE＝mBD.圖④對接中考1.在正方形ABCD中，如圖①，點E是AB邊上的一個動點(點E與點A、B不重合)，連接CE，過點B作BF⊥CE于點G，交AD于點F.(1)求證：△ABF≌△BCE；第1題圖(1)證明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＋∠GBC＝90°，又∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝AB，∠FAB＝∠EBC＝90°，∴∠GBA＋∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，在△ABF與△BCE中，∴△BCE≌△ABF(ASA)；第1題圖(2)如圖②，當點E運動到AB中點時，連接DG，若AB＝2，求DG的長；第1題圖(2)解：如圖，過點D作DH⊥CE于點H，H∟∵E為AB中點，AB＝2，∴EB＝1，BC＝2，∴CE＝

，在Rt△CEB中，由CE·BG＝EB·BC得BG＝

，∴CG＝

，∵∠DCE＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，

又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD與△BGC中，∴△CHD≌△BGC(AAS)∴CH＝BG＝

，∴GH＝CG－CH＝

，第1題圖H∟∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH與△DCH中，∴△DGH≌△DCH(SAS)，∴DG＝DC＝2.第1題圖H∟(3)如圖③，在(2)的條件下，過點C作CM⊥DG于點H，分別交AD、BF于點M、N，求

的值．第1題圖(3)解：設正方形ABCD的邊長是m，則BE＝

，∴CE＝

m.易得△BCG∽△ECB，∴

.∴CG＝

m.如圖，作DP⊥CG交CG于點P，由(2)可得點P

是CG中點，∴CP＝

CG＝

m，∴DP＝

m，∴S△DCG＝

×

m×

m＝

m2.第1題圖P∟又∵S△DCG＝

DG·CH，DG＝DC＝m.∴CH＝

.易得△CHG∽△CGN，△CDM∽△CHD，∴