新教材2020-2021學年高中人教A版數(shù)學必修第二冊同步練習：第八章 立體幾何初步

單元素養(yǎng)評價（三）（第八章）

（120分鐘150分）

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.下列命題中正確的是

A.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱

B.底面是矩形的平行六面體是長方體

C.棱柱的底面一定是平行四邊形

D.棱錐的底面一定是三角形

【解析】選A.平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成兩個棱柱，故A

正確；三棱柱的底面是三角形，故C錯誤；底面是矩形的平行六面體的側

面不一定是矩形，故它也不一定是長方體，故B錯誤；四棱錐的底面是四

邊形，故D錯誤.

2.（2020?蕪湖高一檢測）如圖，4ABC的斜二測直觀圖為等腰

RtAAzB'C'，其中A'B'=2,則AABC的面積為

A.2B.4C.2V2D.4企

【解析】選D.因為RtaA'B'C是一平面圖形的直觀圖，直角邊長為

1

A'B'=2,所以直角三角形的面積是-義2義2=2,因為平面圖形與直觀

2

圖的面積的比為2AZ2所以原平面圖形的面積是2X2l=4&.

3.已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某學生畫出四個過球心

的平面截球與正三棱錐所得的圖形,如圖所示,則

A.以上四個圖形都是正確的

B.只有(2)(4)是正確的

C.只有⑷是錯誤的

D.只有(1)(2)是正確的

【解析】選C.(1)當平行于三棱錐一底面，過球心的截面如題(1)圖所

示；(2)過三棱錐的一條棱和圓心所得截面如題⑵圖所示；(3)過三棱

錐的一個頂點(不過棱)和球心所得截面如題⑶圖所示；(4)棱長都相

等的正三棱錐和球心不可能在同一個面上，所以題(4)圖是錯誤的.

4.設m,n是兩條不同的直線，a,B,丫是三個不同的平面，給出下列四

個命題：

⑴若那么m_l_n;(2)若m_Ln,那么

a_1_B;(3)若a〃B,mua,那么m〃B;(4)若aJ_丫，BJ.y,則

a〃B,其中正確命題的序號是

A.(1)(2)B.(2)(3)

C.(1)(3)D.(2)(4)

【解析】選C.對于（1）,如果m_La,n〃a,根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)

可知m_Ln,所以⑴正確；

對于（2）,如果m_Ln,m_La,n〃B,根據(jù)線面垂直與線面平行性質(zhì)可知

a與B可以垂直，也可以平行，還可以相交，所以（2）錯誤；對于（3）,如

果a〃B,mua,根據(jù)直線與平面平行的判定可知m〃B,所以⑶正確;

對于（4）,設平面a,B,丫分別是正方體中經(jīng)過同一個頂點的三個面，

則有CI_LY且B，Y,但是a±0,推不出a〃B,故⑷不正確.

5.（2020?杭州高一檢測）如圖，在正四面體OABC中,D是OA的中點,則

BD與0C所成角的余弦值是

A，B.立C./D.運

2626

【解析】選B.取AC的中點E,連接DE,BE,根據(jù)題意NBDE為異面直線

BD與0C所成的角，設正四面體的邊長為2,則DE=1,BD=BE=由cos

,ML3+1-3V3

NBDE二一—,

2736

所以BD與0C所成角的余弦值是史.

6.如圖所示的糧倉可近似為一個圓錐和圓臺的組合體，且圓錐的底面

圓與圓臺的較大底面圓重合.已知圓臺的較小底面圓的半徑為1,圓錐

與圓臺的高分別為和3,則此組合體的外接球的表面積是

A.16nB.20nC.24nD.28n

【解析】選B.設外接球半徑為R,球心為0,圓臺較小底面圓的圓心為

01,貝I:0O：+/=R2,而001=75+2—R,故R2=l+(V5+2-R)2,所以R=V§,所以

S=4JiR2=20n.

7.(2020?西城高一檢測)閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處應填

寫的正確結論是

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,0是正方形ABCD的中

心,P0J_底面ABCD,E是PC的中點，求證:平面PAC_L平面BDE.

證明：因為P0J_底面ABCD,所以P01BD.

又因為ACBD,且ACGP0=0,

所以.

又因為BDc平面BDE,所以平面PAC_L平面BDE.

A.BD平面PBCB.AC_L平面PBD

C.BD，平面PACD.AC_L平面BDE

【解析】選C.因為PO_L底面ABCD,

所以PO±BD.

又因為AC_LBD,且ACAPO=O,

所以BD_L平面PAC.

又因為BDc平面BDE,

所以平面PAC_L平面BDE.

8.(2020?九江高一檢測)半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，如圖

所示,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學的對稱

美.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可

截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體,它們的邊長都相

等，其中八個為正三角形，六個為正方形,稱這樣的半正多面體為二十

四等邊體.若二十四等邊體的棱長為則該二十四等邊體外接球的表

面積為

A.4nB.6nC.8nD.12n

【解析】選C.由已知根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即

為底面棱長為衣，側棱長為2的正四棱柱的外接球，所以

(2R)2=(V2)2+(V2)2+22,所以R=企,所以該二十四等邊體的外接球的表

面積S=4JiRJ4nX(A/2)2=8n.

二、多選題(每小題5分，共20分,全部選對的得5分,選對但不全的得

3分,有選錯的得0分)

9.等腰直角三角形直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，

則所形成的幾何體的表面積可以為

A.V2nB,(1+V2)川

C.2V2nD.(2+V2n)

【解析】選AB.若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周時，則圓錐的底面半徑為1,高

為1,所以母線長這時表面積為三X2五?1,/+3T?1J=(1+V2);

2

若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周時，旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立圓錐對底組合在一起，且由題

意底面半徑為三，兩個圓錐的母線長都為1,所以表面積

2

S=2xix2n.^Xl=V2n，綜上所述該幾何體的表面積為企冗或

22

(1+V2)口.

10.(2020?濰坊高一檢測)正方體ABCD-ABCD的棱長為2,已知平面

a_LAG,則關于a截此正方體所得截面的判斷正確的是

A.截面形狀可能為正三角形

B.截面形狀可能為正方形

C.截面形狀可能為正六邊形

D.截面面積最大值為3V3

【解析】選ACD.顯然A,C成立，B不成立，下面說明D成立，如圖截得正

六邊形，面積最大，MN=2&，GH=&,OE=Jl+(f)=*所以

S=2XiX(V2+2A/2)X—=3V3,故D成立.

22

1L設a,B,丫為兩兩不重合的平面為兩兩不重合的直線，則下

列命題中正確的是

A.若mua,nua,m//B,n〃B,則a〃B

B.若m±a,n±B且m±n,則aJ_B

C.若/〃a,aJ_B,則/J.B

D.若aCB=/,0Ay=m,yAa=n,Z/7y,則m〃n

【解析】選BD.由a,B,Y為兩兩不重合的平面，I,m,n為兩兩不重合

的直線知:A.若mUa,nUa,m〃B,n〃B,則a與B相交或平行，故

A錯誤；

B.若m_La,n±0，且m_Ln,則由面面垂直的判定定理得a_LB,故B正

確；

C.若/〃a,aJ_B,則/與B相交、平行或/uB,故C錯誤；D.若

aGB=/,BGY=m,yGa=n，/〃丫，則由線面平行的性質(zhì)定理得m〃n.

故D正確.

12.在三棱錐C-ABD中（如圖），AABD與ACBD是全等的等腰直角三角

形,0為斜邊BD的中點,AB=4,二面角A-BD-C的大小為60°,下面結論

中正確的是

A.AC±BD

B.AD±C0

C.cosZADC=—

2

D.三棱錐C-ABD的外接球表面積為32ar

【解析】選AD.因為aABD與4CBD是全等的等腰直角三角形，0為斜邊

BD的中點，所以CO_LBD,AOJ_BD,A0G0C=0,所以BDJ_平面AOC,所以

AC±BD,因此A正確；假設CO_LAD,又COJ_BD,ADGBD=D,可得COJ_平面

ABD,與NAOC是二面角A-BD-C的平面角且為60°矛盾，因此B不正確；

AB=4,AC=0A=2V2,AD=CD=4,

所以cosNADC」"-警乏巴

2X4242

因此C不正確；

三棱錐C-ABD的外接球的球心為0,半徑為2企，表面積

S=4nX（2V2）2=32n,因止匕D正確.

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.（2020?南京高一檢測）在三棱柱ABC-ABG中，點P是棱CG上一點,

記三棱柱ABC-AB3與四棱錐P-ABBA的體積分別為V,與%,則

紇

［解析】設AB=a,在4ABC中AB邊所對的高為b,三棱柱ABC-ABC的

高為h,

11

則VF-abh,V2=-Xah?b,

答案:士2

3

14.如圖所示,ABCD-ABCD是棱長為a的正方體,M,N分別是下底面的

棱AB,B.C,的中點,P是上底面的棱AD上的一點,AP=p過P,M,N的平面

交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=.

【解析】因為平面ABCD〃平面ABG?,MNu平面ABCD,所以MN〃平

面ABCD,

又PQ二平面PMNA平面ABCD,

所以MN〃PQ.

因為M,N分別是AB,BG的中點，

所以MN〃AC〃AC,所以PQ〃AC,又AP=；ABCD-ABCD是棱長為a的正

3

方體，

【補償訓練】

如圖所示，四棱錐P-ABCL）的底面是一

梯形，AB〃CD,CD=3AB,過點B作平面

PAD的平行線交直線PC于點E，則PE:EC

【解析】設平面ABE與PD交點為F,連接

FA,FE,易得四邊形ABEF是平行四邊形，

―工所以理=工

PC~CD~3，「以EC2,

答案：1：2

15.將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中

AD=BD=V2,NBAC=30°,若它們的斜邊AB重合，讓三角板ABD以AB為軸

轉(zhuǎn)動,則下列說法正確的是（填序號）.

①當平面ABDL平面ABC時一,C,D兩點間的距離為企；

②在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中，總有AB±CD;

③在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中，三棱錐D-ABC體積的最大值為色.

6

D

【解析】①取AB中點0,連接DO,CO,

因為AD=BD=V2,所以D0=1,AB=2,0C=1.

因為平面ABDJ■平面ABC,DO±AB,DOc平面ABD,所以DO,平面ABC,DO

±0C,所以DC=J2①正確；

②若AB±CD,AB±OD,ODACD=D,則AB_L平面CDO,所以AB_LOC,因為0

為AB中點，所以AC=BC,NBAC=45°與NBAC=30°矛盾，所以②錯誤；

111

③當DO,平面ABC時，棱錐的高最大，此時V棱十一X-XAC-BC?D0二一義

326

73X1X1=—,③正確.

6

答案：①③

16.在四面體S-ABC中，SA=SB=2,且SA±SB,BC=V5,AC=V3,則該四面體

體積的最大值為,該四面體外接球的表面積為.

【解析】四面體的體積最大時即面SABJ_i^ABC,SA=SB=2,

且SA±SB,所以AB=2衣,

因為BC=V5,AC=V3,所以AC2+BC2=AB2,

所以NACB=90°,

取AB的中點H,連接CH,SH,

1

SH±AB,面SABA面ABC=AB,SH在面SAB內(nèi)，所以SH_L面ABC,而SH=-X

2

=

V2SA-V2,所以Vs-ABC--SAABC?SH=—X—XV5XV3XV2"；

3326

則外接球的球心在SH所在的直線上，設球心為0,連接0C,CH:-AB二-X

22

2企二衣，因為SH=V2,所以。與H重合，所以R=CH=SH二衣，所以四面體

的外接球的表面積為4n片=8n.

…-J3O_

答案:---8n

6

四、解答題（共70分）

17.（10分）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是正四

棱臺ABCD-ABCD,其上部是底面與四棱臺的上底面重合的正四棱柱

ABCD-A2B2C2D2,現(xiàn)需對該零部件表面進行防腐處理，已知

AB=10,A1Bi=20,AAz=30,AA=13（單位:cm）,若加工處理費為0.2元/cm；

求需支付的加工處理費.

【解析】因為四棱柱ABCD-A?B2c2D2的底面是正方形，側面是全等的矩

形,

所"以該零部件上部的表面才只Si—S四枝柱上底面+S四枝柱側面二A2Bm+4AB?AA2-10+4

X10X30=1300(cm2),

又四棱臺ABCD-ABCD的上下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯

形，

、、、、91

所以該零部件下部的表面積S2二S四棱臺下底面+S四棱臺側面二+4義-X(AB+AB)

12

22

Xh第媵梯影的居二2。2+4X2X(10+20)x13-[-x(20-10)]^1

2\12J

120(cm2),

2

則該實心零部件的表面積S=Si+S2=1300+1120=2420(cm),0.2X2

420=484(元),

故需支付加工處理費484元.

18.(12分)如圖,四邊形BCCB是圓柱的軸截面.AAi是圓柱的一條母線,

已知AB=2,AC=2A/2,AAL3.

⑴求證:AC_LBAi;

⑵求圓柱的側面積.

B\Ci

A

【解析】⑴依題意ABJ_AC.

因為AA」平面ABC,所以AA,±AC.

又因為ABClAALA,所以ACJ■平面AABB.

因為BAc平面AABB,所以ACJ_BB.

⑵在RtAABC中，AB=2,AC=2&,ZBAC=90°,

所以BC=2V3.S母=2V3nX3=6V3n.

19.（12分）（2020?全國I卷）如圖,D為圓錐的頂點,0是圓錐底面的圓

心，AABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為D0上一點，ZAPC=90°.

⑴證明：平面PABJ_平面PAC;

⑵設D0=J2圓錐的側面積為舊“，求三棱錐P-ABC的體積.

【解題指南】（1）根據(jù)已知可得PA=PB=PC,進而有APAC之△PBC,可得

ZAPC=ZBPC=90°,即PB_LPC,從而證得PB,平面PAC,即可證得結論；

（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為母線/和底面半徑r的關系,進而求出底面半徑,

求出正三角形ABC的邊長，在等腰直角三角形APB中求出AP,結合

PA=PB=PC即可求出結論.

【解析】（1）由題設可知，PA二PB=PC.

由于4ABC是正三角形，

故可得△PACgZiPAB.

△PAC名△PBC.

又NAPC=90°，故NAPB=90°，/BPC=90°.

從而PB±PA,PB±PC,故PB_L平面PAC,因為PB在平面PAB內(nèi)，所以平面

PABJL平面PAC.

⑵設圓錐的底面半徑為r,母線長為/.

由題設可得rZ=V3,Z2-r2=2.

解得r=1,/=V3,

從而AB=V3.

由⑴可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=—.

2

3

所以三棱錐P-ABC的體積為二X」XPAXPBXPCJXL><U^).

3232\2/8

20.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-A.B,C,中,D,E分別為BC,AC的中

點，AB=BC.

求證：⑴AB〃平面DEG;

(2)BE±CIE.

【證明】（1）因為D,E分別為BC,AC的中點，

所以ED〃AB.

在直三棱柱ABC-ABG中，AB〃AB,

所以AB〃ED.

又因為DEc平面DEG,ABQ平面DEG,

所以AB〃平面DEG.

（2）因為AB=BC,E為AC的中點,

所以BELAC.

因為三棱柱ABC-AB3是直棱柱,所以GC,平面ABC.

又因為BEu平面ABC,所以CC_LBE.

因為GCu平面AACG,ACu平面AACG,3CGAC=C,

所以BE,平面AiACG.

因為C.Ec平面AiACG,所以BE±C,E.

21.（12分）如圖①，在直角梯形ABCD

中，AD/7BC,ZBAD=-7TAB=BC=1-AD=a,E是AD的中點，。是AC與BE的交點.

22

將4ABE沿BE折起到圖②中AAiBE的位置，得到四棱錐A-BCDE.

⑴證明:CD_L平面AOC;

⑵當平面ABE,平面BCDE時，四棱錐A-BCDE的體積為36&,求a的

值.

1五

【解析】⑴在題圖①中，因為AB=BC=-AD=a,E是AD的中點，NBAD二一,

22

所以BE±AC.

即在題圖②中，BE_LAQ,BE±OC,5