浙江省杭州市2024-2025學年高三數(shù)學上學期9月月考試題含解析

Page22浙江省杭州市2024-2025學年高三數(shù)學上學期9月月考一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.(-1，1] B.[-2，1] C.{0，1} D.{-2，-1，0，1}【答案】C【解析】【分析】結合對數(shù)不等式化簡集合，再由交集運算即可求解.【詳解】，，，，故選：C．2.設在處可導，下列式子與相等的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)導函數(shù)的定義，將各選項中的式子化簡，即可推斷出答案.【詳解】對于A，,A錯誤；對于B，，B正確；對于C,，C錯誤；對于D，，D錯誤，故選：B3.已知，“不等式與的解集相同”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】可舉出反例證明充分性和必要性均不成立.【詳解】不等式與的解集均為空集，但，所以充分性不成立；不妨令，，滿意，但的解集為，的解集為，所以與的解集不同，必要性不成立；故選：D4.2024年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的聞名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明白黎曼猜想，這一事務引起了數(shù)學界的振動．在1859年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是聞名的黎曼猜想．在此之前聞名的數(shù)學家歐拉也曾探討過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結論．若依據(jù)歐拉得出的結論，估計10000以內的素數(shù)個數(shù)為(素數(shù)即質數(shù)，，計算結果取整數(shù))A.1089 B.1086 C.434 D.145【答案】B【解析】【分析】由題意可知10000以內的素數(shù)的個數(shù)為，計算即可得到答案.【詳解】由題可知小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為，則10000以內的素數(shù)的個數(shù)為===2500，故選B.【點睛】本題考查對數(shù)運算性質的簡潔應用，考查學生的審題實力.5.已知，，，則它們的大小關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)可證，又，可得，即可證．【詳解】由令，則，當，；當，；所以在上單調遞增，在上單調遞減，且則，因此，所以又因為，所以，得故，有故選：C6.如圖，在正方形ABCD中，|AB|=2，點M從點A動身，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2個單位的速度在正方形ABCD的邊上運動：點N從點B動身，沿B→C→D→A方向，以每秒1個單位的速度在正方形ABCD的邊上運動.點M與點N同時動身，運動時間為t（單位：秒），△AMN的面積為f（t）（規(guī)定A，M，N共線時其面積為零，則點M第一次到達點A時，y=f（t）的圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，寫出的解析式，依據(jù)解析式分析選項可得答案．【詳解】①0≤t≤1時，f（t）=；②時，；③時，；④時，；所以，其圖象為選項A中的圖象，故選：A．7.已知函數(shù)，，若對隨意的，均存在，使得，則a的取值可能是（）A.0 B.2 C. D.1【答案】BD【解析】【分析】先推斷出在單調遞減，在單調遞增；在單調遞增，在單調遞減.對a進行分類探討，利用的值域是值域的子集求出a的范圍，對于四個選項一一推斷即可.【詳解】依題意有，所以在單調遞減，在單調遞增，又，所以在單調遞增，在單調遞減，（i）若，即，有在單調遞減，則，而，則在單調遞增，則，易知有，，符合題意；（ii）若，即，有f(x)在單調遞增，則，（1）若，則在單調遞增，則，有，只需，得；（2）若，則在單調遞減，則，有，不符合；（3）若，有，不符合；（iii）若，有，，而，則在單調遞增，則，又有，，符合題意；綜上可知.故選：BD．【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）相等關系記值域為A,的值域為B,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；（2）不等關系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．8.若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出導數(shù)，設出各自曲線上的切點，得出兩個切線方程，由兩個切線方程可整理成關于一個變量的函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設公切線與函數(shù)切于點，，切線的斜率為，則切線方程為，即設公切線與函數(shù)切于點，，切線斜率為，則切線方程為，即所以有因為，所以，可得，，即，由可得：，所以，令，則，，設，則，所以在上為減函數(shù)，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：B．【點睛】方法點睛：求曲線過點的切線的方程的一般步驟是：（1）設切點（2）求出在處的導數(shù)，即在點處的切線斜率；（3）構建關系解得；（4）由點斜式求得切線方程.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（）A.B.C.若不等式解集為，則D.若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)集合子集的個數(shù)列方程，求得的關系式，對A，利用二次函數(shù)性質可推斷；對B，利用基本不等式可推斷；對CD，利用不等式的解集及韋達定理可推斷.【詳解】由于集合有且僅有兩個子集，所以，由于，所以.A，，當時等號成立，故A正確.B，，當且僅當時等號成立，故B正確.C，不等式的解集為，，故C錯誤.D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，則，，故D正確，故選：ABD10.設，函數(shù)，則（）A.當時，具有奇偶性B.當時，在上單調C.當時，在上不單調D.當時，的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】由奇偶性定義推斷A；依據(jù)單調性推斷B；由，結合，推斷CD.【詳解】，則函數(shù)的定義域為對于A，當時，，函數(shù)為偶函數(shù)；當時，，函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，當時，函數(shù)在上單調遞減，故B正確；對于C，當時，，即在上不單調，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤；故選：ABC11.若正實數(shù)滿意，則下列不等式可能成立的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】構造函數(shù)，，利用導數(shù)可求得的單調性，由此可得滿意不同大小關系時，，與的大小關系；由此依次推斷各個選項得到結論.【詳解】令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，若，則，即，成立；若，則，成立；令，則，在上單調遞增，當時，，即；對于A，當，時，，即成立，又此時成立，當時，可能成立，A正確；對于B，當時，，即，不等式不成立，B錯誤；對于C，當時，，即，不等式不成立，C錯誤；對于D，當時，必定成立，D正確；故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是能夠通過構造函數(shù)的方式，將問題轉化為函數(shù)值大小關系的比較問題，進而依據(jù)單調性得到自變量的大小關系.易錯點是題干中考查“可能成立”的關系，而非“必定成立”的關系，審題不清易造成漏選.12.函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)，使得，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設，，對求導，將問題轉化為存在唯一的整數(shù)使得在直線的上方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值，解，求得的取值范圍．詳解】解：設，，則，，，單調遞增，，，，單調遞減，時，取得最大值為，，，又直線恒過定點且斜率為，，，又，的取值范圍，比照選項可知只有C、D符合要求．故選：CD．三?填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】計算出的范圍，結合函數(shù)解析式以及指數(shù)運算法則、對數(shù)恒等式可求得結果.【詳解】因為，則，所以，.故答案為：.14.已知，，，那么的最小值為___.【答案】【解析】【分析】由已知可得，，代入到所求式子后，利用乘法，結合基本不等式即可求解.【詳解】解：，，，，.，當且僅當即時取等號，此時有最小值.故答案為：.【點評】本題考查了“乘法”與基本不等式的性質，屬于基礎題.15.若函數(shù)滿意，其中為的導函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知并結合導數(shù)公式，構造函數(shù)，（C為常數(shù)），確定C并推斷其單調性，求得函數(shù)最值以及區(qū)間端點處函數(shù)值并比較大小，可得答案.【詳解】由，可得；設，由可得，則（C為常數(shù)），即，由得，得，則，也滿意，故，則，當時，，則，故遞減，當時，，則，故遞增，可得的最小值為；而，，即，故函數(shù)在區(qū)間的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，綜合性較強，能很好地考查數(shù)學素養(yǎng)和解決問題的實力，解答時要能依據(jù)條件合理變式，從而構造新函數(shù)，進而利用導數(shù)解決問題.16.已知對隨意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】對已知不等式進行變形，通過構造函數(shù)法，利用導數(shù)的性質、常變量分別法進行求解即可.【詳解】因為，所以①，令，則，設，所以，當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，所以在單調遞增，因為①式可化為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，故答案為：.【點睛】關鍵點睛：通過不等式的形式構造函數(shù)，結合常變量分別法，利用導數(shù)的性質進行求解是解題的關鍵.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，設的內角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，若，且，點D是外一點，.（1）求角B的大?。唬?）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊后應用余弦定理求得角后可得角大??；（2）設，由面積公式得面積，由余弦定理求得，然后可得正三角形的面積，從而得出四邊形的面積，再逆用兩角差的正弦公式化簡函數(shù)后利用正弦函數(shù)性質得最大值．【小問1詳解】由，再由正弦定理得，，得，即故，所以，又，故.【小問2詳解】設，則，在中，，由（1）知為正三角形，故，故，因為，故即時，.18.已知函數(shù).（1）若在上有意義且不單調，求a的取值范圍；（2）若集合，且，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得到二次函數(shù)的對稱軸在之間，且在上恒為正，結合二次函數(shù)的性質即得；（2）設為方程的兩個根，計算，得到，進而即得.【小問1詳解】當時，，由題知：二次函數(shù)的對稱軸在之間，且在上恒正，∴，解得，即；【小問2詳解】因為，不妨設為方程的兩個根，∴，由，得，即，且，由，得，∴，∵，∴，∴，又為方程的兩個根，∴，∴，解得，∴.19.已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列的前項和為，且滿意，.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；（2）設數(shù)列滿意，證明：.【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）方法一：由①得②，利用②-①化簡得到與關系即可.方法二：由得，即是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，求出的通項公式再利用求即可；（2）利用分組（并項）法求和即可.【小問1詳解】方法一：因為①，所以②，由②-①得，，即，又，則，即.在中令得，，即.綜上，對隨意，都有，故數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.又，則.方法二：因為，所以，又，則數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，因此，即.當時，，又也符合上式，故，故對隨意，都有，即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.又，則.【小問2詳解】由（1）得，所以，，20.購買盲盒，是當下年輕人的潮流之一.每個系列的盲盒分成若干個盒子，每個盒子里面隨機裝有一個動漫?影視作品的圖片，或者設計師單獨設計出來的玩偶，消費者不能提前得知詳細產(chǎn)品款式，具有隨機屬性.某禮品店2024年1月到8月出售的盲盒數(shù)量及利潤狀況的相關數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月銷售量/千個3456791012月利潤/萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1（1）求出月利潤（萬元）關于月銷售量（千個）的回來方程（精確到0.01）；（2）2024年冬奧會接近，該店售賣裝有奧運祥瑞物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的兩款盲盒，小明同學購買了4個裝有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4個裝有“雪容融”玩偶的盲盒，從中隨機選出3個作為元旦禮物贈送給同學.用表示3個中裝有“冰墩墩”玩偶的盲盒個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：，，附：線性回來方程中，，.【答案】（1）（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)所給數(shù)據(jù)，結合參考公式干脆計算，即可求解；（2）寫出X的全部可能，求對應概率即可得出分布列，由期望公式計算期望即可.【小問1詳解】，依據(jù)參考數(shù)據(jù)可得，所以故月利潤)(萬元)關于月銷售量x(千個)的回來方程為；【小問2詳解】由題中數(shù)據(jù)可知，X的全部可能取值為0,1,2,3，，故X的分布列為：X0123P21.已知函數(shù).（1）設，證明：；（2）已知，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù).若有兩個不同的零點，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）欲證，只需證，令，利用導數(shù)得出，即可證明；（2）由奇偶性得出，由（1）得不等式成立，從而得出，，構造函數(shù)，由證明即可.【小問1詳解】欲證，只需證，即證，設，即證，①設，則，所以單調遞增，所以，所以①式成立，所以，.