河南濕封市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試?yán)砜圃囶}含解析

河南省開封市2024屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試?yán)砜圃囶}一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，后由交集定義可得答案.【詳解】，則，又，則.故選：C2.設(shè)命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先細(xì)致審題，抓住題目中的關(guān)鍵信息之后再動(dòng)，原題讓我們選擇一個(gè)全稱命題的否定，隨意和存在是一對(duì)，要留意相互改變，大于等于的否定是小于.【詳解】，的否定是，.故選：D3.若是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)代入化簡(jiǎn)，依據(jù)其為純虛數(shù)可得的關(guān)系，驗(yàn)證得答案.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)榧兲摂?shù)，所以，閱歷證可知，適合，即復(fù)數(shù)可以是.故選：D.4.已知中，為邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求得.【詳解】在中，.因?yàn)椋?所以.故選：A5.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面綻開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由側(cè)面綻開圖求得母線長(zhǎng)后求得圓錐的高，再由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，高為，底面半徑為，則由得，所以，所以．故選：B．6.如圖為甲，乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測(cè)試中成果的莖葉圖，已知兩位同學(xué)的平均成果相等，則甲同學(xué)成果的方差為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由平均數(shù)相等求出，再求方差.【詳解】由可得，，即甲同學(xué)成果的方差為故選：B7.已知?jiǎng)tx＋2y的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，依據(jù)簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃求解即可．【詳解】作出可行域如圖：由可得：，平移直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由解得，．故選：C8.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，則滿意的的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的奇偶性、單調(diào)性可得，再解不等式可得答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榕己瘮?shù)，所以，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，若，則，解得.故選：D.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證是否適合可得通項(xiàng)公式，代入通項(xiàng)公式求解可得結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，符合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，故選：C.10.已知點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4，則（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡方程，利用三角換元法即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，則，所以有最大值1，故選：A.11.如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則下述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式逐一推斷即可.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，，由正方體的性質(zhì)可知：平面，則平面的法向量為，，因?yàn)椋?，而平面，因此∥平面，故①?duì)；設(shè)平面的法向量為，，，所以有，同理可求出平面的法向量，因?yàn)?，所以，因此平面平面，故②正確；因?yàn)?，，所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角范圍為，所以直線與所成的角為，故③正確；設(shè)直線與平面所成的角為，因?yàn)?，平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成的角不是，因此④錯(cuò)誤，一共有個(gè)結(jié)論正確，故選：C12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)特別重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．簡(jiǎn)潔地講就是對(duì)于滿意肯定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．若函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于和的等式，然后分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn).【詳解】由題意得若函數(shù)為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)則滿意，即，即設(shè)，設(shè)所以在單調(diào)遞減，且所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)則當(dāng)則所以的圖像為：要想成立，則與有交點(diǎn)，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則______．【答案】【解析】【分析】由題意,利用函數(shù)的零點(diǎn),求得的值,再利用協(xié)助角公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn),可得.【詳解】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為,,,函數(shù),.故答案為:.14.已知點(diǎn)，，為軸上一點(diǎn)，若，則______．【答案】5【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理求點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】設(shè)，所以，，，因?yàn)?，所以由余弦定理得，即解得，所以，所以，，所以，故答案為?15.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，依據(jù)題意，以最細(xì)處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線方程，并依據(jù)離心率表示出之間的關(guān)系，由題意底直徑為6cm，所以雙曲線過點(diǎn)，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點(diǎn)，代入雙曲線方程即可求解方程從而得到喉部（最細(xì)處）的直徑.【詳解】由已知，以最細(xì)處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，由已知可得，，且，所以，所以雙曲線方程為，底直徑為6cm，所以雙曲線過點(diǎn)，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點(diǎn)，代入雙曲線方程得：，解得：，所以喉部（最細(xì)處）的直徑為cm.故答案為：.16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，分組求和即可.【詳解】由題知，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所以故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22～23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和的關(guān)系將代換，再由正弦定理將邊化角，求得角A，B的關(guān)系，解出的值；（2）由第一問求得的的值，依據(jù)余弦定理公式綻開列方程求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，由正弦定理，可得，又，所以，又因?yàn)锳，B均為三角形內(nèi)角，所以，即，又因?yàn)?，即，即，又，得；【小?詳解】若，則，由（1）知，由余弦定理可得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，，則，即為等腰直角三角形，又因?yàn)椋藭r(shí)不滿意題意，所以．18.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參與猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)成語的概率為．（1）求的值；（2）記“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)成語總數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式，列式求解（2）猜對(duì)謎語的總數(shù)為0，,1，2，3，4，結(jié)合獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式，列舉出這四種狀況下的概率，即可列表求解.【小問1詳解】“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)成語的概率為，所以，解得．【小問2詳解】設(shè)表示事務(wù)“甲在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語”，表示事務(wù)“乙在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語”，依據(jù)獨(dú)立性假定，得，，，，，，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．19.如圖，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分別是，的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明平面平面，原題即得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，．求出，取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．利用向量法求解.【小問1詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，∵M(jìn)，N分別是，的中點(diǎn)，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．又，∴，同理可得，平面．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面．∵平面MND，∴平面．【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，．由已知得，∴是平行四邊形，∴．∵是正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴．設(shè)，．在Rt中，由，解得，即，取的中點(diǎn)，連接，則，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則，，，，，，由已知易得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即取，則平面的一個(gè)法向量為∴，∵二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．20.已知函數(shù)，．（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；（3）證明：．【答案】（1）（2）0（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法得單調(diào)遞增等價(jià)于的恒成立問題；（2）由導(dǎo)數(shù)法求最值即可；（3）由（2）可得在上恒成立，由導(dǎo)數(shù)法證恒大于0，則，令，，，…，不等式左右累加即可證.【小問1詳解】由已知可得：，即恒成立，又則有．【小問2詳解】由已知可得：，，令，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以存在使得，則有正負(fù)遞增遞減又有，，所以在上，則在上單調(diào)遞增，所以最小值為．【小問3詳解】由（2）可得在上恒成立，令，在上，所以單調(diào)遞增且，所以，，從而當(dāng)時(shí)，令，，，…，得到，，，…，，相加得：．21.如圖1所示是一種作圖工具，在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)M，N，有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體，，D為旋桿上的一點(diǎn)且在M，N兩點(diǎn)之間，且．當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滑標(biāo)在滑槽內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)時(shí)，將筆尖放置于處進(jìn)行作圖，當(dāng)和時(shí)分別得到曲線和．如圖2所示，設(shè)與交于點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線和的方程；（2）已知直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點(diǎn)，記的面積為，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)，設(shè)，，，利用向量等式關(guān)系確定坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系，由，即得，依據(jù)坐標(biāo)代換可得所滿意的方程，最終取和，即可得曲線和的方程；（2）依據(jù)直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點(diǎn)，探討直線的方程狀況，依據(jù)面積公式分別求證即可.【小問1詳解】解：由題意，，設(shè)，，，所以，，，由解得又因?yàn)?，所以，則，將和分別代入，得，，【小問2詳解】解：①直線斜率不存在時(shí)，，代入方程得，所以；②直線斜率存在時(shí)，設(shè)，與曲線相切，所以，即，聯(lián)立可得，由得，所以，于是得，，因?yàn)樗?，，綜合①②可證，．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22~23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）將曲線的參數(shù)方程化為一般方程；（2）過點(diǎn)隨意作兩條相互垂直的射線分別與曲線交于點(diǎn)A，B，以直線的斜率為參數(shù)，求線段的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并化為一般方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)求解；（2）設(shè)的斜率為，方程為，則的方程為：，分別與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)求解.【小問1詳解】解：因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得：，將點(diǎn)代入可得，所以曲線的一般方程為：；【小問2詳解】由已知得：，的斜率存在且不為0，設(shè)的