初中數(shù)學(xué)勾股定理綜合題訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)勾股定理綜合題專題訓(xùn)練

姓名：班級：考號：

一、綜合題(共10題)

1、如圖已知：等邊AABC和點P,設(shè)點P到AABC三邊AB、AC、BC的距離分別為儲、h2.

h3,則Z\ABC高為h。若點P在一邊BC上如圖(1),此時113=0?？傻媒Y(jié)論h+hz+hkh。(1)

請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：

當點P在AABC內(nèi)如圖(2)，點P在AABC外如圖(3)時，上述結(jié)論是否還成立？若成立,

請給予證明，若不成立，'、h2、h3與h之間又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，

不需證明.

(2)若不用上述信息，你能用其他方法證明嗎？

P

圖(1)圖(2)圖(3)

2、如圖(1),已知aABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,點D是BC的中點.作正方形DEFG,

使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG.

(1)試猜想線段BG和AE的關(guān)系(位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系)，請直接寫出你得到的結(jié)論:

(2)將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一角度a后(0°<a(90°),如圖(2),通過觀察或測

量等方法判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由：

(3)若BC=DE=m,正方形DEFG繞點JD逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<360°)過程中，當AE

為最大值時，求AF的值.

圖⑵

3、如圖，在aABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，ADLBC于點D,動點P從點A出發(fā)

以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動。設(shè)動點運動時間為t秒。

(1)求AD的長。

(2)當aPDC的面積為15平方厘米時，求t的值。

(3)動點M從點C出

發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動。點M與點P同時出發(fā)，且當點P運動到終點D時,

點M也停止運動。是否存在，使得S&MD=^S△祝？若存在，請求出t的值；若不存在，請說

明理由。(、血肉17)

4、如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=^+1,AD=^3.

(1)如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D'處，壓平折痕交CD于

點E,則折痕AE的長為；

(2)如圖③，再將四邊形BCED'沿D'E向左翻折，壓平后得四邊形B'C'ED',B'C'交

AE于點F,則四邊形B'FED'的面積為；

(3)如圖④，將圖②中的AAED'繞點E順時針旋轉(zhuǎn)a角，得AA，ED",使得EA'恰好

經(jīng)過頂點B,求弧D'D"的長.(結(jié)果保留JT)

5、如圖，矩形口的中，A5=l玩樓BC=Cem,動點P、◎分別以女那/￡、2制Hs的

速度從點過、c■同時出發(fā)，點◎從點C向點門移動.

⑴若點P從點H移動到點B停止，點尸、0分別從點￡、b同時出發(fā)，問經(jīng)過瑞時尸、口兩

點之間的距離是多少。朋？

⑵若點F從點A移動到點以停止，點0隨之停止移動，點尸、R分別從點d、C同時出發(fā)，

問經(jīng)過多長時間戶、。兩點之間的距離是1。匕理？

⑶若點P沿著用FfECfC門移動，點P、Q分別從點W、仃同時出發(fā)，點Q從點C移動

到點冷停止時，點尸隨之也停止移動，試探求經(jīng)過多長時間△內(nèi)。的面積為1在那？

6、已知AABC和4ADE是等腰直角三角形，NACB=NADE=90°,點F為BE中點，連結(jié)DF、

CF.

B

(1)如圖1,當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系(不用證明)；

(2)如圖2,在(1)的條件下將4ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°時，請你判斷此時(1)中的

結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；

(3)如圖3,在(1)的條件下將4ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°時，若AD=1,AC=2貶,求此

時線段CF的長(直接寫出結(jié)果).

7、如圖，已知aABC和4ECD都是等腰直角三角形，4=固=9爐,

點D為AB邊上一點.

(1)求證：△ACE^^BCD；

(2)求證：^ADE是直角三角形；

(3)已知4ADE的面積為3位1加DS=13cm,求乩5的長.

8,已知：如圖，△.<!￡0r中，ZX5C,=45\月百于萬客平分/43C,

且即于E,與S相交于點露.寸是30r邊的中點,

連結(jié)。發(fā)與成相交于點G.

(1)判斷AC與圖中的那條線段相等，并證明你的結(jié)論;

(2)若?￡的長為君，求BG的長.

9、山■C與ACQN是共頂點的等邊三角形.直線BE與直線AD交于點M,點D、E不在瓦4EC

的邊上.

(1)當點E在瓦圖C外部時(如圖1),寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系.

(2)若CDVBC,將合印總繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點E由山遁。的外部運動到生第C的內(nèi)

部(如圖2).在這個運動過程中，/聞題的大小是否發(fā)生變化？若不變，在圖2的情況下求

出目的度數(shù)，若變化，說明理由.

(3)如圖3,當B、C、D三點在同一條直線上，且BC=CD時，寫出BM,ME與BC之間的數(shù)量

關(guān)系.

10、我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“準箏形”.如

圖1,四邊形48⑦中，若ZJ=60°,則四邊形加力是“準箏形”.

(1)如圖2,“是△48C的高線，N4=45°，N4吐120°,48-2.求幽

(2)在(1)條件下，設(shè)〃是△/a'所在平面內(nèi)一點，當四邊形/頗是“準箏形”時，請直

接寫出四邊形力靦的面積；

(3)如圖3,四邊形力靦中，B(=2,C店4,4>6,/BCD=120°,且皿=加)，試判斷

四邊形/以力是不是“準箏形”，并說明理由.

延長EP,過B作BG垂直EP于G

vFSLAC,BP±AC,BG±GS

：,GE=BF

-ZABC=ZOSC

N衛(wèi)0尸=NG臚=9即

&3DP-￡,BGP

-PD=me

"GP^PE=PD+PE=SF

：,耳+%=電

F

(2)當P在三角形內(nèi)時，此結(jié)論仍成立

當P在三角形內(nèi)時，如圖，此結(jié)論為：

hx+hi-h1=h

(3)如圖，作輔助線有

BE=GH

PG=PD+PE

:.GH=PG-PH=PD+PF-PH

:一%+%—%=h

27.解：(I)相等且垂直------2'

(2)成立.如圖②.連接，。并延長以分別交DG、BG于N、M兩點

???△/<配'是等腰直角三角形，XBAC=90°,點。是BC的中點.二/血=90°,

且BD=/<D.VZBDG=ZADB^ZADG=90e+ZADG=ZADE.DG=DE.

:小BDG22DE,：.BG=AE,ZDEA^^DGB,...................4r

,:NDEA+NDNE~9Q度,，DNE=ZMNG,二NMVG+NDGM90度.

即BGA.AE且BG-AE-.............S'

(3)由(2)知.要使4E最大,只要將正方形繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)270度,即，DE在一直

_p

一鹵為正方形%EFG在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，E點運動的圖形是以點D為圈心?DE為半徑的

故當正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點位于BC的延長線上(即正方形DEFG繞點D逆時針方

向旋轉(zhuǎn)270°)時,3G最大，如圖③.

若3C*=QE=/w.則40=巴，E^=m.

12

在RtAylEF中.AFJ-AE2+EF2-(XD+DE)^EF^—m2..................T

4

2、

3、解：（1）YAB=AC,AD±BC

j.

，BD=2BC=5cm,且NADB=90

AD=J/爐一即2=1幽)

即AD的長為12cmo--3分

(2)AP=t,PD=12-t,

=［尸。-qC=：?義5(12

22

解得，”5—4

1

（3）假設(shè)存在3使得S&M產(chǎn)石S△畋。

5

0名￡二一

①若點M在線段CD上，即2時，PD=12-t,DM=5-2t

11

—9XQNT父5-次)=5

由SAPMD—12s△ABC，即2

-29i-+50=0

，尸1￡口（舍去）；“二上（2分）

5

邑t<[2

②若點M在射線DB上，即A""i

21

得嚴-岫/空

由SAPMD=12SAABC

2f5-29^+70=0

生避L心

(2分)

1

綜上，存在t的值為2或11.5或3,使得S.D=IiSAABC（1分）

4、（1）ao

(-tanZBEC=—=^

(3)VZC=90°,BC=V3,EC=1,ACEo.,.ZBEC=60°o

由翻折可知:ZDEA=45°,.*.ZAEA,=75°=ZD,ED"。

目，p，_75k莊_5召*

180\2~

【解析】

試題分析：(D先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出AD，，DE的長，再根據(jù)勾股定理求出AE的長沖可:

?「△AD三反折后與AAD三重合，「.AD=AD=DE=DE=G。

：.AE=.AD-DE：=J、5T-(后\=示。

(2)由(1)知，&>=#，故可得出BD的長，根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)可得出5D的長，再由等

腰直角三角形的性質(zhì)得出BT的長，根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論：

/

?.?由(1)知AD'=百，.\BD=10

..?將四邊形BCED'沿D'E向左翻折，壓平后得四邊形B'CEDf,.,.BzDz=BD'=1。

?.,由(1)知AD'=AD=DZE=DE=^3,四邊形ADED，是正方形。

.,.B'F=ABZ=也-lo

￡￡F_1

，S梯彩B,M—，(B'F+D'E)?B,DZ=2(石-1+石)X1=2。

(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出/BEC的度數(shù)，由翻折變換的性質(zhì)可得出NDEA的度數(shù)，故

可得出NAEA'=75°=ND'ED",由弧長公式即可得出結(jié)論。

.(1W=6&....(2‘)

(2)設(shè)xs后，P、Q相￡巨10cm

222

(16-5x)+6=10....(1')X1=g,x2.(1,)

或(5x-16)、6、10,(只寫一種即得全分)

⑶設(shè)xs后面積為12c/(3種情況共5分，缺一種扣2分)

①0<*4"時,x=4……(1,)

3

②"vx4二時,x(=6?x2=--(舍去)...(1‘)

333

鱷<小時，18(舍去)……(1，)

5、

而

6、(1)相等和垂直；(2)成立，理由見試題解析；(3)三.

11

【解析】(1)VZACB=ZADE=90°,點F為BE中點，.*.DF=2BE,CF=2BE,.*.DF=CF.

?.'△ABC和4ADE是等腰直角三角形，/.ZABC=45°,VBF=DF,AZDBF=ZBDF,

VZDFE=ZABE+ZBDF,AZDFE=2ZDBF,同理得：NCFE=2NCBF,

/.ZEFD+ZEFC=2ZDBF+2ZCBF=2ZABC=90°,；.DF=CF,且DF_LCF.

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.

證明：如圖，此時點D落在AC上，延長DF交BC于點G.

圖2

VZADE=ZACB=90°,...DE〃BC./.ZDEF=ZGBF,ZEDF=ZBGF.

?.?F為BE中點，，EF=BF.AADEF^AGBF..\DE=GB,DF=GF.

VAD=DE,/.AD=GB,VAC=BC,AAC-AD=BC-GB,/.DC=GC.VZACB=90°,.'.△DCG是等腰

直角三角形，VDF=GF,，DF=CF,DF±CF.

(3)延長DF交BA于點H,

B

圖3

?.,△ABC和ZkADE是等腰直角三角形，，AC=BC,AD=DE.AZAED=ZABC=45°,

,由旋轉(zhuǎn)可以得出，ZCAE=ZBAD=90°,：AE〃BC,ZAEB=ZCBE,AZDEF=ZHBF.

?；F是BE的中點，，EF=BF,/.ADEF^AHBF,/.ED=HB,

,.,AC=?0,在Rtz^ABC中，由勾股定理，得：AB=4,

VAD=1,.\ED=BH=1,.*.AH=3,在RtZXHAD中由勾股定理,得:DH=師，

辰叵叵

/.DF=—,.*.CF=~,I.線段CF的長為W".

7、1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）17cm

【解析】（1）:△ABC和aECD都是等腰直角三角形，，砥=C2工

?；ZAC8=ZDCE=90°,Z.4O5-Z.4CZ）=乙DCS-,即ZZCT=,

/.AACE絲LBCD

（2）'：LACE,：.^B=^EAC,：和都是等腰直角三角形，

.?.NO接=與=乙期C=450,：.Z￡AD=^50+45*>=90°,AAZ庭是直角三角形

-AD-AE-=30,BP^W-AB=60

（3）由題意得：2,在血W喧中，由勾股定理得：

(4)血+加=*=13=159,

/.(AD+AS)2=AD3+AEi+2AD-AE=169+2x60=289,:.Q+Ag=17

由⑴得：,.?.BD=AS,：.^=AD+BD=AD+AE=17?嘮.

8、(1)證明：CD1AB,.?.N3aC=9T,

?.?/■CW,

c"".△BCa是等腰直角三角形.

：.BD^CD...........2分

?.?6豆1.40于區(qū)，3c=go",

：￡BFD=/國8,/■SB更=ZDCA.

/■RtAD更5gRtAMC.

工EF=AC...........3分

(2)解：*."WE平分/A3C,/?ZABS22.5°.

?.?6314白于￡,.,.Z^Z=Z^(7-90a,

又?.?BE=BE,/?^ABEAgRt&B￡C.

......4分

連結(jié)CG.「△BCQ是等腰直角三角形，

又及是3c邊的中點，"”.陽_13仃

垂直平分，一BG=CV.

vZ^C=22.5°,/,ZGG?=22.5°

/.Z^G￡C=45°,Rt&CNb是等腰直角三角形，

?.?理的長為七，，EG=布，

利用勾股定理得：理*+GE2=G72,：.(廚+W3)2=OC2,

.*.GC=癡，BG的長為忑.....................6分

9、(1)AD=BE

(2)不變，/血43=6口。

可證：KBEC修監(jiān)口0/MC=Z￡UC

-ZSBC+ZABM=600ZM^C+ZZW=600

：,ZAMB=180o-(Z^^+/氏Uf)=60c.

(3)BM+ME=43BC(或=30^+皿工)

10、(1)設(shè)班T=x,

VZ/1^6=120°，陽是△/6C的高線，

：.Z￡CH-3Qa,

又?.,N4=45°,/.HA^HC,VAB^2,=

解得：或二忑+1,

，的=m=3+避；

(2)在(1)條件下，四邊形4?繆的面積是3+2g+1行或12+7#.----10分

024

下