熱點06三角形(原卷版+解析)

熱點06三角形考察方向考察方向中考中，三角形主要考察方向為：三角形的三邊關(guān)系與三角形有關(guān)的角和線段角平分線、垂直平分線的尺規(guī)作圖與三角形結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與判定三角形的旋轉(zhuǎn)滿分技巧滿分技巧三角形三邊關(guān)系【方法提示】能組成三角形的條件：任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊。角平分線、垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖方法【重點知識】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點，到角兩端的距離相等；用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上；用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

角平分線的尺規(guī)作圖方法：

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點，到線段兩端的距離相等；垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。全等三角形的判定及證明思路一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形。證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件。（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件。（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì)。基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時：40分鐘）一、單選題1．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）是某三角形三邊的長，則等于（

）A． B． C．10 D．43．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點為邊的中點，，則的長為（）A． B． C．2 D．44．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E，經(jīng)過D，E作直線分別交于點M，N，連接，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．平分5．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M和點N，作直線分別交?于點D和點E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連結(jié)AP并延長交BC于點D．則下列說法正確的是（

）A． B．AD一定經(jīng)過的重心C． D．AD一定經(jīng)過的外心7．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是(

)A．20° B．30° C．45° D．60°8．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以線段AB的兩端點A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交于點E，F(xiàn)，作直線EF交AB于點O．在直線EF上任取一點P（不與O重合），連接PA，PB，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．9．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則線段的長為（

）A．1 B． C． D．10．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，已知．能直接判斷的方法是（

）A． B． C． D．11．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．12．(2023·湖南懷化·中考真題）在中，，平分，交于點，，垂足為點，若，則的長為（

）A．3 B． C．2 D．613．(2023·湖南湘潭·中考真題）如圖，是的外角，若，，則（

）A． B． C． D．14．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，BD平分，則點D到AB的距離等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題15．（2011·湖南懷化·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點D，AB=5，BC=6，則AD=_____．16．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點，若，則______．17．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖．在中，，平分，于E，若，則的長為________．18．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．19．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點和點，作直線交于點，連接．若，，則的周長為_________．20．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的長，如果設(shè)AC＝x，則可列方程為________（方程不用化簡）．21．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點，，垂足為，若，，則的長為______．三、解答題22．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第35-36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得≌．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在和中，∴≌______．（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS23．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．24．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．(1)求證：；(2)若，求四邊形ABCD的面積．25．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，、是邊上的點，且，求證：．26．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點在邊上，，將邊繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．27．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、D、E在同一條直線上，．求證：．28．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，垂足為，，延長至，使得，連接．（1）求證：；（2）若，，求的周長和面積．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南湘西·中考真題）已知，作的平分線，在射線上截取線段，分別以O(shè)、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)．畫直線，分別交于D，交于G．那么，一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形2．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E，則∠BED等于（

）A．120° B．108° C．72° D．36°3．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A、B的對應(yīng)點分別是，，點是邊的中點，連接，，．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．，C． D．5．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．二、填空題6．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，是上任意一點，于點于點F，若，則________．7．（2015·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=_____．8．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度時點落在處，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有________（填結(jié)論對應(yīng)的序號）．三、解答題9．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN=AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．10．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，和的頂點重合，，，，．(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展運用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點，當(dāng)時，求的值．11．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中，，，直線經(jīng)過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，請再探線段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．12．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時，成立．13．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在等腰直角三角形中，．點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點．①證明：在點的運動過程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L度為多少時，為等腰三角形？熱點06三角形考察方向考察方向中考中，三角形主要考察方向為：三角形的三邊關(guān)系與三角形有關(guān)的角和線段角平分線、垂直平分線的尺規(guī)作圖與三角形結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與判定三角形的旋轉(zhuǎn)滿分技巧滿分技巧三角形三邊關(guān)系【方法提示】能組成三角形的條件：任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊。角平分線、垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖方法【重點知識】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點，到角兩端的距離相等；用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上；用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

角平分線的尺規(guī)作圖方法：

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點，到線段兩端的距離相等；垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。全等三角形的判定及證明思路一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形。證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件。（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件。（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì)?；A(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時：40分鐘）一、單選題1．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，答案:B分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知A、1+2＝3，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；B、3+4＞5，能夠組成三角形，故選項正確，符合題意；C、5+4＜10，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；D、2+6＜9，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．2．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）是某三角形三邊的長，則等于（

）A． B． C．10 D．4答案:D分析：先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出的范圍，再對二次根式化簡．3．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點為邊的中點，，則的長為（）A． B． C．2 D．4答案:C分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵點D為邊AC的中點，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故選：C．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．4．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E，經(jīng)過D，E作直線分別交于點M，N，連接，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．平分答案:B分析：根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：是線段的垂直平分線，則，故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．5．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M和點N，作直線分別交?于點D和點E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:A分析：由尺規(guī)作圖痕跡可知，MN是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，進(jìn)而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．【詳解】解：由題意可知：MN是線段AB的垂直平分線，∴DB=DA，∴∠B=∠BAD=50°，又AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∴∠BAC=80°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，故選：A．【點睛】本題考查等腰三角形的兩底角相等，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連結(jié)AP并延長交BC于點D．則下列說法正確的是（

）A． B．AD一定經(jīng)過的重心C． D．AD一定經(jīng)過的外心答案:C分析：根據(jù)題意易得AD平分∠BAC，然后根據(jù)三角形的重心、外心及三邊關(guān)系可排除選項．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正確；在△ABD中，由三角形三邊關(guān)系可得，故A錯誤；由三角形的重心可知是由三角形三條中線的交點，所以AD不一定經(jīng)過的重心，故B選項錯誤；由三角形的外心可知是由三角形三條邊的中垂線的交點，所以AD不一定經(jīng)過的外心，故D選項錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查三角形的重心、外心及角平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握三角形的重心、外心及角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．7．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是(

)A．20° B．30° C．45° D．60°答案:B分析：根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC=60°，由中垂線性質(zhì)知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，從而得出答案．【詳解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作圖可知MN為AB的中垂線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故選B．【點睛】本題主要考查作圖-基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以線段AB的兩端點A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交于點E，F(xiàn)，作直線EF交AB于點O．在直線EF上任取一點P（不與O重合），連接PA，PB，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：依據(jù)分別以線段AB的兩端點A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交于點E，F(xiàn)，作直線EF交AB于點O，即可得到EF垂直平分AB，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】由作圖可知，EF垂直平分AB，，故A選項正確；，故B選項正確；，故C選項錯誤；，故D選項正確，故選C．【點睛】本題考查不基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法，利用線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等解決問題．9．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則線段的長為（

）A．1 B． C． D．答案:B分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，再由勾股定理即可求出線段的長．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，故選：B．【點睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出直角三角形邊長，解題關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出是等腰直角三角形．10．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，已知．能直接判斷的方法是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)三角形全等的判定定理解答.【詳解】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故選：A.【點睛】此題考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根據(jù)已知條件找到全等所需的對應(yīng)相等的邊或角是解題的關(guān)鍵.11．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義求得∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°∵平分∴∠ACB=2∠ACD=100°∴∠B=180°-100°-50°=30°故選：B．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．12．(2023·湖南懷化·中考真題）在中，，平分，交于點，，垂足為點，若，則的長為（

）A．3 B． C．2 D．6答案:A分析：證明△ABD≌△AED即可得出DE的長．【詳解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．13．(2023·湖南湘潭·中考真題）如圖，是的外角，若，，則（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵是的外角，∴=∠B+∠A∴∠A=-∠B，∴∠A=60°故選：D【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，BD平分，則點D到AB的距離等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1答案:C分析：如圖，過點D作于E，根據(jù)已知求出CD的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，過點D作于E，，，，，BD平分，，即點D到AB的距離為2，故選C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.二、填空題15．（2011·湖南懷化·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點D，AB=5，BC=6，則AD=_____．答案:4分析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的三線合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的長．【詳解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB2，∴AD==4，故答案為4．【點睛】本題考查勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．16．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點，若，則______．答案:3分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知是的中點，即可求出的長．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．17．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖．在中，，平分，于E，若，則的長為________．答案:分析：證明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．【詳解】解：由題意：平分，于,，，又為公共邊，，，在中，，由勾股定理得：，故答案是：．【點睛】本題考查了三角形全等及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：通過全等找到邊之間的關(guān)系，再利用勾股定理進(jìn)行計算可得．18．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．答案:8分析：由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長即可．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，由角平分線的性質(zhì)，得，∴的周長為：；故答案為：8【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．19．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點和點，作直線交于點，連接．若，，則的周長為_________．答案:23分析：由作圖可得：是的垂直平分線，可得再利用三角形的周長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，，，故答案為：23【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．20．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的長，如果設(shè)AC＝x，則可列方程為________（方程不用化簡）．答案:分析：設(shè)AC=x，則AB=10-x，再由即可列出方程．【詳解】解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程為：，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．21．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點，，垂足為，若，，則的長為______．答案:分析：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】解：平分，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題22．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第35-36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得≌．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在和中，∴≌______．（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS答案:（1）；（2）④．分析：（1）先根據(jù)作圖可知，再根據(jù)三角形全等的判定定理即可得；（2）根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形即可得．【詳解】（1）證明：由作圖可知，在和中，，∴．故答案為：．（2）這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是，故答案為：④．【點睛】本題考查了利用定理判定三角形全等，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．23．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．答案:見解析分析：由垂直的定義可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行線的性質(zhì)可得，∠A＝∠DCE，進(jìn)而由ASA可得結(jié)論．【詳解】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定、垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題基礎(chǔ)．24．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．(1)求證：；(2)若，求四邊形ABCD的面積．答案:(1)見解析(2)12分析：（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)四邊形ABCD的面積求解即可．【詳解】（1）AC平分，，，；（2），，，，，四邊形ABCD的面積．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．25．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，、是邊上的點，且，求證：．答案:見解析分析：利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再由證明，從而得．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點在邊上，，將邊繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．答案:（1）見詳解；（2）分析：（1）由題意易得，，則有，然后問題可求證；（2）由（1）可得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∴，由（1）可得，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、D、E在同一條直線上，．求證：．答案:見解析分析：根據(jù)，可以得到，然后根據(jù)題目中的條件，利用ASA證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：點A，B，C，D，E在一條直線上∵∴在與中∴【點睛】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．28．(2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，垂足為，，延長至，使得，連接．（1）求證：；（2）若，，求的周長和面積．答案:（1）證明見解析；（2）周長為，面積為22．分析：（1）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用勾股定理可得，從而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周長公式和面積公式即可得．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，；（2），，，，，，，，，，，則的周長為，的面積為．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南湘西·中考真題）已知，作的平分線，在射線上截取線段，分別以O(shè)、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)．畫直線，分別交于D，交于G．那么，一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形答案:C分析：根據(jù)題意知EF垂直平分OC，由此證明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.【詳解】如圖，連接CD、CG，∵分別以O(shè)、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)∴EF垂直平分OC，設(shè)EF交OC于點N，∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM平分，∴∠NOD=∠NOG，又∵ON=ON，∴△OMD≌△ONG，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故選：C.【點睛】此題考查基本作圖能力：角平分線的做法及線段垂直平分線的做法，還考查了全等三角形的判定定理及性質(zhì)定理，由此解答問題，根據(jù)題意得到EF垂直平分OC是解題的關(guān)鍵.2．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E，則∠BED等于（

）A．120° B．108° C．72° D．36°答案:B分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出．由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性質(zhì)求出，，利用三角形內(nèi)角和定理求出．再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出．【詳解】∵在中，，，∴．∵AD是斜邊BC上的中線，∴，∴，，∴．∵將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)．3．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④答案:B分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對①②③④四個結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個結(jié)論正確．故選：B．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A、B的對應(yīng)點分別是，，點是邊的中點，連接，，．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．，C． D．答案:D分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定方法可判斷B；根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷C；利用等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可判斷D．【詳解】A．∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等邊三角形，∴BE=BC，故A正確；B．∵點F是邊AC中點，∴CF=BF=AF=AC，∵∠BCA=30°，∴BA=AC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延長BF交CE于點H，則∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正確．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴BC=BE=DF，∵AB=CF，BC=DF，AC=CD，∴△ABC≌△CFD，∴，故C正確；D．∵∠ACB=30°，∠BCE=60°，∴∠FCG=30°，∴FG=CG，∴CG=2FG．∵∠DCE=∠CDG=30°，∴DG=CG，∴DG=2FG．故D錯誤．故選D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角邊等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強，正確理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．答案:C分析：將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，是上任意一點，于點于點F，若，則________．答案:1分析：將的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出的值．【詳解】解：連接，如下圖：于點于點，，，，故答案是：1．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關(guān)鍵是：將的面積拆成兩個三角形面積之和來解答．7．（2015·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=_____．答案:66.5°．【詳解】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°．8．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度時點落在處，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有________（填結(jié)論對應(yīng)的序號）．答案:①②③分析：依題意知，和是頂角相等的等腰三角形，可判斷②；利用SAS證明，可判斷①；利用面積比等于相似比的平方，相似比為，故最小時面積最小，即，等腰三角形三線合一，D為中點時.【詳解】∵繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度得到∴，∴即∴∵得：（SAS）故①對∵和是頂角相等的等腰三角形∴故②對∴即AD最小時最小當(dāng)時，AD最小由等腰三角形三線合一，此時D點是BC中點故③對故答案為：①②③【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，手拉手模型，選項③中將面積與相似比結(jié)合是解題的關(guān)鍵.三、解答題9．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN=AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．答案:(1)見詳解；(2)0.5a．分析：（1）過點M作MQCN，證明即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．【詳解】（1）如下圖所示，過點M作MQCN，∵為等邊三角形，MQCN，∴，則AM=AQ，且∠A=60°，∴為等邊三角形，則MQ=AM=CN，又∵M(jìn)QCN，∴∠QMP=∠CNP，在，∴，

則MP=NP；（2）∵為等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，，則PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，和的頂點重合，，，，．(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展運用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點，當(dāng)時，求的值．答案:(1)

，垂直(2)成立，理由見解析(3)分析：（1）解直角三角形求出，，可得結(jié)論；（2）結(jié)論不變，證明，推出，，可得結(jié)論；（3）如圖3中，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點求出，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，，∴，此時，故答案為：，垂直；（2）結(jié)論成立．理由：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3中，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點．∵，，∴，∴．∵，∴，，當(dāng)時，四邊形是矩形，∴，，設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．11．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中，，，直線經(jīng)過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，請再探線段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．答案:(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由見解析；②BD=CE+DE；理由見解析(3)分析：（1）先根據(jù)得出，根據(jù)，得出，，再根據(jù)，求出，，即可得出，最后根據(jù)三角函數(shù)得出，，即可求出；（2）①DE=CE+BD；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；②BD=CE+DE；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；（3）在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)求出AF，根據(jù)AC=5，算出CF，即可求出三角形的面積．（1）解：∵，，∴，∵，∴，，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，，∴，∴，，∴．（2）DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．（3）根據(jù)解析（2）可知，AD=CE=3，∴，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理可得：，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：，∴，∵AB=AC=5，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．12．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．（1）求證：；（2）求證