全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練(五)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（五）1．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為

邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°2．如圖，，則為（

）A．48 B．50 C．56 D．643．已知且且，點(diǎn)E，B，D到直線l的距離分別為6，3，4，則圖中凹多邊形的面積是（

）A．50 B．62 C．65 D．684．如圖，四邊形ABCD是正方形，直線分別通過A，B，C三點(diǎn)，且，若與的距離為5，與的距離為7，則正方形ABCD的面積等于(

)A．70 B．74 C．144 D．1485．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．66．在中，，CD平分，P為AB的中點(diǎn)，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．7．如圖，點(diǎn)是平分線上的一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)取值范圍為______．8．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D為AC的中點(diǎn)，則中線BD的取值范圍為___________.9．（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）（2）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要證明．（3）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明．10．如圖，在等腰直角三角形和中，點(diǎn)為它們的直角頂點(diǎn),當(dāng)與有重疊部分時(shí)：（1）①連接，如圖1，求證：；②連接，如圖2，求證：；（2）當(dāng)與無(wú)重疊部分時(shí)：連接,如圖3，當(dāng)，時(shí)，計(jì)算四邊形面積的最大值，并說明理由.11．已知在△ABC中，AB=AC，射線BM、BN在∠ABC內(nèi)部，分別交線段AC于點(diǎn)G、H．(1)如圖1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于點(diǎn)D，分別交BC、BM于點(diǎn)E、F．①求證：CE＝AG；②若BF＝2AF，連接CF，求∠CFE的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F，連接CF．若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．12．如圖，在四邊形中，，，，．（1）如圖（1），將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊、于、，試判斷這一過程中線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖（2），將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊、的延長(zhǎng)線于、，試判斷這一過程中線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖（3），將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊、的反向延長(zhǎng)線于、，試判斷這一過程中線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明．13．如圖，平面內(nèi)有一等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，小明同學(xué)過點(diǎn)C作BF的垂線，如圖1，利用三角形全等證得AF+BF＝2CE．（1）若三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，試猜想線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（2）若三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，則線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為．14．現(xiàn)給出一個(gè)結(jié)論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結(jié)論是正確的，用圖形語(yǔ)言可以表示為：如圖1在中，,若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則．請(qǐng)結(jié)合上述結(jié)論解決如下問題：已知，點(diǎn)P是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合）分別過點(diǎn)A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點(diǎn)（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系____________；QE與QF的數(shù)量關(guān)系是__________（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并寫出主要證明思路．15．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，此時(shí)∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長(zhǎng)線上，AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代數(shù)式表示）．16．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結(jié)論：________________．（2）探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠BAD．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（3）方法應(yīng)用：如圖3，E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、AF，并且始終保持∠EAF=45°，連接EF并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，說明AG=EG．（正方形四邊相等，四個(gè)角均為90°）全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（五）1．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為

邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°答案:D分析：先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時(shí)點(diǎn)P的位置．2．如圖，，則為（

）A．48 B．50 C．56 D．64答案:C分析：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．已知且且，點(diǎn)E，B，D到直線l的距離分別為6，3，4，則圖中凹多邊形的面積是（

）A．50 B．62 C．65 D．68答案:A分析：作于F，于G，于H，證明，，再利用梯形面積公式和三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作于F，于G，于H，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，同理，，∴，，∴，梯形的面積為：，三角形的面積為：，三角形的面積為：，凹多邊形的面積為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，證明三角形全等．4．如圖，四邊形ABCD是正方形，直線分別通過A，B，C三點(diǎn)，且，若與的距離為5，與的距離為7，則正方形ABCD的面積等于(

)A．70 B．74 C．144 D．148答案:B分析：首先過點(diǎn)B和點(diǎn)D作垂線，構(gòu)成大的正方形，然后利用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積得出答案．【詳解】解：分別過點(diǎn)B和點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)E、H，交于點(diǎn)F、G∵∴，∴四邊形EFGH是矩形又∵四邊形ABCD是正方形∴，∵，∴∵∴∴同理可證：，得到，∴，即∴四邊形EFGH是正方形∵與的距離為5，與的距離為7∴，，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線補(bǔ)成大正方形是解題關(guān)鍵．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B分析：在BE上截取BG＝DF，先證△ADF≌△ABG，再證△AEG≌△AEF即可解答．【詳解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF與△ABG中，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG與△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．6．在中，，CD平分，P為AB的中點(diǎn)，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．答案:B分析：可在BC上截取CE=CA，連接DE，可得△ACD≌△ECD，得DE=AD，進(jìn)而再通過線段之間的轉(zhuǎn)化得出線段之間的關(guān)系．【詳解】解：∵∠A=2∠B，∴∠A﹥∠B∴BC﹥AC∴可在BC上截取CE=CA，連接DE(如圖)，∵CD平分，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD≌△ECD，∴AD=ED，∠CED=∠A=2∠B又∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故選：B若A選項(xiàng)成立，則CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°與已知∠ACB≠72°矛盾，故選項(xiàng)A不正確;假設(shè)C選項(xiàng)成立，則有AP=AC，作∠BAC的平分線，連接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，選項(xiàng)C才成立，∴當(dāng)∠ACB≠72°時(shí)，選項(xiàng)C不一定成立；假設(shè)D選項(xiàng)成立，則AD=BC-BD由圖可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72這與已知∠ACB≠72°矛盾，故選項(xiàng)D不成立．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是考查的是利用角的平分線的性質(zhì)說明線段之間的關(guān)系．7．如圖，點(diǎn)是平分線上的一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)取值范圍為______．答案:分析：在取，然后證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊即可求解．【詳解】解：在取，連接，，，點(diǎn)P是平分線上的一點(diǎn)，，在和中，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵﹒8．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D為AC的中點(diǎn)，則中線BD的取值范圍為___________.答案:2.5<BD<12.5分析：延長(zhǎng)BD到E，使BD=DE，連接AE，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=BC=15，在中利用三角形三邊關(guān)系可求得BE的范圍，可求得BD的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD到E，使BD=DE，連接AE，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在和中，∵，∴（SAS），∴AE=BC=15，在中，由三角形三邊關(guān)系可得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了添加輔助線，全等三等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，輔助線——中線倍長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．9．（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）（2）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要證明．（3）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明．答案:（1）見解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC分析：（1）在AB上截取AE=AC，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根據(jù)已知條件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代換得到CD=BE．即可得到結(jié)論；（2）在AC取一點(diǎn)E使AB=AE，連接DE，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因?yàn)椤螧=2∠C，所以∠AED=2∠C，因?yàn)椤螦ED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，進(jìn)而可證明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=BE，BE=CD，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC∵AD為∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD．

在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°．

∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，

∴CD=BE．∵AB=AE＋BE，

∴AB=AC＋CD．（2）證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE，在△ACD和△AED中，,∴△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，CD=DE，又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB=∠B，∴ED=EB，∴CD=EB，∴AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CD﹣AC

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD=∠AED，CD=DE，∴∠ACB=∠FED，又∵∠ACB=2∠B

∴∠FED=2∠B，又∵∠FED=∠B＋∠EDB，

∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，

∴BE=CD，∵AB=BE-AE

∴AB=CD﹣AC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于線段和差關(guān)系的證明，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法.10．如圖，在等腰直角三角形和中，點(diǎn)為它們的直角頂點(diǎn),當(dāng)與有重疊部分時(shí)：（1）①連接，如圖1，求證：；②連接，如圖2，求證：；（2）當(dāng)與無(wú)重疊部分時(shí)：連接,如圖3，當(dāng)，時(shí)，計(jì)算四邊形面積的最大值，并說明理由.答案:(1)①見解析；②見解析；（2）【詳解】試題分析：（1）①利用同角的余角相等證出∠ACD＝∠BCE，然后利用“SAS”證明△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論；②因?yàn)椤鰽CE與△CDB的一條邊AC＝BC，所以要證兩個(gè)三角形的面積相等只要證明AC和BC邊上的高相等即可，過點(diǎn)E作EF⊥AC，過點(diǎn)D作DH⊥BC，通過證明△CEF≌△CDH即可得出結(jié)論；（2）設(shè)△BCD的BC邊上的高為h，同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，所以S四邊形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝＋5h，而h≤CD，故當(dāng)h＝CD＝2時(shí)S四邊形ABDE最大，代入h＝2求出最大值即可．試題解析：解：（1）①∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠BCE＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②如圖：作EF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠FCE＋∠ECH＝90°，∠HCD＋∠ECH＝90°，∴∠FCE＝∠HCD，∵∠EFC＝∠DHC＝90°，CE＝CD，∴△CEF≌△CDH（AAS），∴EF＝DH，∵S△ACE＝AC·EF，S△CDB＝BC·DH，AC＝BC，∴S△ACE＝S△CDB；（2）設(shè)△BCD的BC邊上的高為h，同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，∴S四邊形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝×52＋×22＋2S△BCD＝＋5h，∵h(yuǎn)≤CD，∴當(dāng)h＝CD＝2時(shí)S四邊形ABDE最大，∴四邊形ABDE的面積最大值為＋5×2＝．點(diǎn)睛：本題是一道全等三角形的綜合題，主要考查了余角的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合圖形找出圖中的全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．11．已知在△ABC中，AB=AC，射線BM、BN在∠ABC內(nèi)部，分別交線段AC于點(diǎn)G、H．(1)如圖1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于點(diǎn)D，分別交BC、BM于點(diǎn)E、F．①求證：CE＝AG；②若BF＝2AF，連接CF，求∠CFE的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F，連接CF．若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．答案:（1）①詳見解析；②∠CFE=30°；（2）=2．分析：（1）①由AB=AC、∠ABC=60°可知△ABC是等邊三角形.再由AE⊥BN且∠MBN＝30°可得∠BFD=60°，則∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF，可得∠1=∠2.根據(jù)上述條件可證△ACE≌△BAG，從而得證；②由上問中△ACE≌△BAG可得∠CAE=∠ABG，再由∠CAE+∠BAE=∠ABG+∠FBC=60°可得∠BAE=∠FBC.在Rt△BFD中由∠FBD=30°可得BF=2FD，則由BF＝2AF可得BF=AD，再由等邊三角形可得AB=BC，則可證△BFC≌△ADB，得∠BFC=∠ADB=90°.再由∠BFD=60°可知∠CFE的度數(shù)（2）在BF上截取BK=AF，連接AK.由∠BFE=∠2+∠BAF=∠BAC=∠BAF+∠1可得∠1=∠2，再由AB=AC、BK=AF可證明△ABK≌△CAF，從而S△ABK=S△AFC，同時(shí)易得∠KAF=∠AKF=∠BAC，則AF=FK=BK，據(jù)此可求解.【詳解】（1）①證明：如圖1中，∵AB=AC，∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB=90°，∵∠MBN=30°，∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF，∴∠1=∠2又∵AC=AB,∠C=∠BAG∴△ACE≌△BAG∴CE=AG②證明：如圖2中，由上問△ACE≌△BAG可得∠CAE=∠ABG，在Rt△BFD中，∵∠FBD=30°，∴BF=2DF，∵BF=2AF，∴BF=AD，∵∠CAE=∠ABG，∠CAE+∠BAE=∠ABG+∠FBC=60°，∴∠BAE=∠FBC，∵BF=AD、AB=BC、∠BAE=∠FBC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC=∠ADB=90°，又∵∠BFE=60°∴∠CFE=90°-60°=30°（2）在BF上截取BK=AF，連接AK．∵∠BFE=∠2+∠BAF=∠BAC=∠BAF+∠1，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，BK=AF，∴△ABK≌△CAF，∴∠3=∠4，S△ABK=S△AFC，∠CFE=∠1+∠4=∠2+∠3=∠AKF，∵∠1+∠3=∠1+∠4=∠CFE，∠BAC=2∠CEF，∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF=∠BAC，∴AF=FK=BK，∴S△ABK=S△AFK，∴=2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明及性質(zhì)，難點(diǎn)在于通過作輔助線構(gòu)造全等，輔助線的構(gòu)造應(yīng)從已知條件出發(fā)進(jìn)行分析，從而建立已知條件與未知問題之間的聯(lián)系.12．如圖，在四邊形中，，，，．（1）如圖（1），將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊、于、，試判斷這一過程中線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖（2），將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊、的延長(zhǎng)線于、，試判斷這一過程中線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖（3），將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊、的反向延長(zhǎng)線于、，試判斷這一過程中線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明．答案:（1）詳見解析；（2），證明見解析；（3）.分析：（1）延長(zhǎng)到，使，連接，易證≌，可得，，，再根據(jù)，可得，易證≌，等量代換可得.（2）在上截取，使，連接，易證≌，可得，，所以，可得，易證≌，等量代換即可得出.（3）在DC上截取DF=BM，易證△ABM≌△ANF，可得，，根據(jù)，等量代換可得，可得，即可證明△FAN≌△MAN，得到，等量代換可得．【詳解】（1）如圖（1），延長(zhǎng)到，使，連接．∵，，在△ABG與△AND中，∴≌（SAS）．∴，，．∵，∴∴．∴．又，∴在△AMG與△AMN中，≌（SAS）．∴．∵．∴．

（1）

（2）

（3）（2）．證明：如圖（2），在上截取，使，連接．∵，，∴在△ABG與△AND中，∴≌（SAS）．∴，，∴．∴．∴．∴在△AMG與△AMN中，∴≌（SAS）．∴．∴．（3）．證明：如圖（3），在DC上截取DF=BM，∵，，∴在△ABM與△ANF中，∴△ABM≌△ANF（SAS）．∴，，∴，∴，∴∴．∴在△FAN與△MAN中，∴△FAN≌△MAN（SAS），∴．∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查截長(zhǎng)補(bǔ)短的輔助線的做法，并且這道題屬于類比探究題型，只要把第一問做出來(lái)，那么后面幾問跟第一問的輔助線，證明思路都比較相似，如果實(shí)在沒有思路的話可類比第一問證得哪兩個(gè)三角形全等，在第二問中也找到這樣的三角形即可.13．如圖，平面內(nèi)有一等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，小明同學(xué)過點(diǎn)C作BF的垂線，如圖1，利用三角形全等證得AF+BF＝2CE．（1）若三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，試猜想線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（2）若三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，則線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為．答案:(1)AF﹣BF＝2CE;(2)BF﹣AF＝2CE；分析：（1）過點(diǎn)C作CG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明△CBG≌△CAE，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AF﹣BF＝2CE；（2）過點(diǎn)C做CD⊥BF，交FB的于點(diǎn)D，證明△CBD≌△CAE，同樣可根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BF﹣AF＝2CE.【詳解】解：（1）AF﹣BF＝2CE圖2中，過點(diǎn)C作CG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵AC＝BC可得∠AEC＝∠CGB，∠ACE＝∠BCG，在△CBG和△CAE中，，∴△CBG≌△CAE（AAS），∴AE＝BG，∵AF＝AE+EF，∴AF＝BG+CE＝BF+FG+CE＝2CE+BF，∴AF﹣BF＝2CE；（2）BF﹣AF＝2CE；如圖3，過點(diǎn)C做CD⊥BF，交FB的于點(diǎn)D，∵AC＝BC可得∠AEC＝∠CDB，∠ACE＝∠BCD，在△CBD和△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD，∵AF＝AE﹣EF，∴AF＝BD﹣CE＝BF﹣FD﹣CE＝BF﹣2CE，∴BF﹣AF＝2CE．故答案為BF﹣AF＝2CE．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換問題，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.14．現(xiàn)給出一個(gè)結(jié)論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結(jié)論是正確的，用圖形語(yǔ)言可以表示為：如圖1在中，,若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則．請(qǐng)結(jié)合上述結(jié)論解決如下問題：已知，點(diǎn)P是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合）分別過點(diǎn)A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點(diǎn)（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系____________；QE與QF的數(shù)量關(guān)系是__________（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并寫出主要證明思路．答案:（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，證明見解析；(3)結(jié)論成立，證明見解析．分析：（1）根據(jù)AAS得到，得到、QE=QF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到AE//BF；（2）延長(zhǎng)EQ交BF于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（3）延長(zhǎng)EQ交FB的延長(zhǎng)于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明．【詳解】（1）AE//BF；QE=QF（2）QE=QF證明：延長(zhǎng)EQ交BF于D，,（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中結(jié)論成立證明：延長(zhǎng)EQ交FB的延長(zhǎng)于D因?yàn)锳E//BF所以EQ=QF【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行線的性質(zhì)，根據(jù)P點(diǎn)位置不同，畫出正確的圖形，找到AAS的條件是解決本題的關(guān)鍵．15．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，此時(shí)∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長(zhǎng)線上，AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代數(shù)式表示）．答案:（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．分析：（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【詳解】（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60．（2）如圖②中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案為60．（3）如圖③中，∵點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.16．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結(jié)論：___