高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊(cè))3.3冪函數(shù)(精講)(原卷版+解析)

3.3冪函數(shù)（精講）考點(diǎn)一冪函數(shù)的辨析【例1-1】(2023·陜西省神木中學(xué)高一期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【例1-2】(2023·福建）函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______________．【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①，②，③，④，，⑥中，是冪函數(shù)的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥2.(2023年廣東潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m=，n=考點(diǎn)二冪函數(shù)的三要素【例2-1】(2023·浙江）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的解析式為=__________．【例2-2】(2023·山西呂梁·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A．R B．C． D．【一隅三反】1．(2023·黑龍江綏化·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高一專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為______．考點(diǎn)三冪函數(shù)的性質(zhì)【例3-1】(2023·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．3 B． C．1 D．【例3-2】(2023·吉林·東北師大附中高一期中）設(shè)，則使冪函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的的值的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【例3-3】(2023·福建）已知函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【例3-4】(2023·江西）已知冪函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全國·高一）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．2．(2023·四川）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．或 D．或4．(2023·遼寧·高一期末）（多選）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．單調(diào)遞減區(qū)間是 D．在內(nèi)的值域?yàn)?．(2023·廣西欽州·高一期末）（多選）若函數(shù)是冪函數(shù)且為奇函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)四冪函數(shù)的圖像【例4】(2023·全國·高一單元測試）圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則（

）A．； B．，；C．，； D．，．2．(2023廣東）如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知取、、、這四個(gè)值，則于曲線相對(duì)應(yīng)的依次為（

）A． B．C． D．3．(2023·江蘇·高一）若冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則?的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五冪函數(shù)的綜合運(yùn)用【例5】(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．【一隅三反】1．(2023·貴州·六盤水市第五中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)在上為增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)的值域.2．(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．3．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足：（1）在區(qū)間上為增函數(shù)（2）對(duì)任意的，都有，求同時(shí)滿足（1）（2）的冪函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，的值域．4．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)（）的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3.3冪函數(shù)（精講）考點(diǎn)一冪函數(shù)的辨析【例1-1】(2023·陜西省神木中學(xué)高一期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．答案:C解析：形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選：C.【例1-2】(2023·福建）函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______________．答案:或解析：由題意，解得m=2或-1【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①，②，③，④，，⑥中，是冪函數(shù)的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥答案:C解析：冪函數(shù)是形如（，為常數(shù)）的函數(shù)，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù).故選：C.2.(2023年廣東潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m=，n=答案:見解析解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2)考點(diǎn)二冪函數(shù)的三要素【例2-1】(2023·浙江）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的解析式為=__________．答案:解析：由題意知，設(shè)冪函數(shù)的解析式為為常數(shù))，則，解得，所以.故答案為：【例2-2】(2023·山西呂梁·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A．R B．C． D．答案:C解析：設(shè)，因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，解得，則，故的定義域?yàn)椋蔬x：C【一隅三反】1．(2023·黑龍江綏化·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:B解析：由已知解得，所以f(x)的定義域?yàn)椋蔬x：B．2．(2023·全國·高一專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，定義域、值域相同；由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，，定義域、值域不相同.故選：D3．(2023·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為______．答案:解析：由題意，設(shè)，代入點(diǎn)得，解得，則.故答案為：.考點(diǎn)三冪函數(shù)的性質(zhì)【例3-1】(2023·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．3 B． C．1 D．答案:C解析：由函數(shù)為冪函數(shù)知，，解得或.∵在上是減函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，∴，，∴.故選：C.【例3-2】(2023·吉林·東北師大附中高一期中）設(shè)，則使冪函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的的值的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:B解析：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，不滿足；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋痪咂媾夹?，不滿足；當(dāng)時(shí)，的定義域是R，是偶函數(shù)，不滿足；當(dāng)時(shí)，的定義域是R，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞增，滿足；當(dāng)時(shí)，的定義域是R，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞增，滿足，所以使冪函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的的值的個(gè)數(shù)是2.故選：B【例3-3】(2023·福建）已知函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案:A解析：由，解得或，因?yàn)樵谶f減，在遞增，又因?yàn)樵谶f增，所以增區(qū)間為故選：A【例3-4】(2023·江西）已知冪函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:B解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，且定義域?yàn)椋傻?，解?所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B【一隅三反】1．(2023·全國·高一）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．答案:A解析：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，故，解得或，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以需要，則故選：A2．(2023·四川）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案:B解析：令，則或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.3．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．或 D．或答案:A解析：為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合題意；綜上所述：.故選：A.4．(2023·遼寧·高一期末）（多選）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．單調(diào)遞減區(qū)間是 D．在內(nèi)的值域?yàn)榇鸢?BD解析：將點(diǎn)代入，可得，則，因?yàn)椋实膱D象不經(jīng)過點(diǎn)(2，4)，A錯(cuò)誤；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得：的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,單調(diào)遞減區(qū)間是和，在內(nèi)的值域?yàn)?，故BD正確，C錯(cuò)誤.故選：BD.5．(2023·廣西欽州·高一期末）（多選）若函數(shù)是冪函數(shù)且為奇函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:BD解析：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意，故選：BD.考點(diǎn)四冪函數(shù)的圖像【例4】(2023·全國·高一單元測試）圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、答案:D解析：由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對(duì)應(yīng)的，C2對(duì)應(yīng)的，C3對(duì)應(yīng)的，結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則（

）A．； B．，；C．，； D．，．答案:B解析：由圖象知；在上遞增，所以，由的圖象增長的越來越慢，所以，在上遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，的圖象在的下方，所以，故選：B2．(2023廣東）如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知取、、、這四個(gè)值，則于曲線相對(duì)應(yīng)的依次為（

）A． B．C． D．答案:A解析：當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知曲線、對(duì)應(yīng)的值為正數(shù)，曲線、對(duì)應(yīng)的值為負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上的增長速度越來越快，可知曲線對(duì)應(yīng)的值為，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上的增長速度越來越慢，可知曲線對(duì)應(yīng)的值為，令，分別代入，，得到，，因?yàn)椋芍€、對(duì)應(yīng)的值分別為、.故選：A.3．(2023·江蘇·高一）若冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則?的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．答案:A解析：和在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，圖象在上方，所以，當(dāng)時(shí)，圖象在下方，所以，所以，故選：A.考點(diǎn)五冪函數(shù)的綜合運(yùn)用【例5】(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．答案:(1)或或(2)答案見解析(3)答案見解析解析：(1)依題意，即，解得，因?yàn)椋曰蚧?，所以或?2)若定義域?yàn)椋瑒t為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；若定義域?yàn)?，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若定義域?yàn)椋瑒t為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；(3)若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；若，則為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；【一隅三反?．(2023·貴州·六盤水市第五中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)在上為增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)的值域.答案:(1)；(2).解析：(1)由題得或.當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意.綜上所述.(2)由題得，令，拋物線的對(duì)稱軸為，所以.所以函數(shù)的值域?yàn)?2．(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．答案:(1)(2)解析：(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)?，所以或或，?dāng)或時(shí)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（舍）；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意；綜上所述，.(2)由（1）得為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則由得，即，即，解得，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足：（1）在區(qū)間上為增函數(shù)（2）對(duì)任意的，都有，求同時(shí)滿足（1）（2）的冪函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，的值域．答案:；值域是．解析：因?yàn)楹瘮?shù)