高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊(cè))5.1任意角與弧度制(精講)(原卷版+解析)

5.1任意角與弧度制（精講）考點(diǎn)一角度制與弧度制的互換【例1】(2023廣東）把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)，度數(shù)化為弧度數(shù).（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.【一隅三反】1．(2023宿州）將210°化成弧度為（）A． B． C． D．2．(2023房山期中）將120°轉(zhuǎn)化為弧度為（）A． B． C． D．3．(2023山西月考）角度化成弧度為（）A． B． C． D．考點(diǎn)二終邊相同的角【例2】(2023·漣水）在與角終邊相同的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角．（1）最大的負(fù)角；（2）最小的正角；（3）在內(nèi)的角．【一隅三反】1．(2023陜西期末）在0~360°的范圍內(nèi)，下列與-510°終邊相同的角是（）A．330° B．210° C．150° D．30°2(2023房山月考）在，，，中，與終邊相同的是（）A． B． C． D．3．(2023海東）下列各組角中，終邊相同的是（）A．43°和313° B．37°和787°C．65°和-655° D．124°和-576°4(20232懷化）（多選）與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．考點(diǎn)三角象限的判斷【例3-1】(2023南陽(yáng)）已知角，則角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例3-2】(2023碭山月考）角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【一隅三反】1．(2023高一下·新余期末）410°角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(2023·河池月考）已知角，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．(2023云南）角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)四概念的辨析【例4】(2023山東）下列命題：①鈍角是第二象限的角；②小于90o的角是銳角；③第一象限的角一定不是負(fù)角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表時(shí)針走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為60o；⑥若，則是第四象限角．其中正確的題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【一隅三反】1．(2023·安徽蚌埠二中高一期中）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．銳角是第一象限的角 B．終邊相同的角必相等C．小于的角一定為銳角 D．第二象限的角必大于第一象限的角2．(2023·浙江）下列命題中正確的是（）．A．終邊與始邊重合的角是零角 B．90°～180°間的角不一定是鈍角C．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角3．(2023·陜西大荔）下列說(shuō)法正確的是（）A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角終邊可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．終邊在軸正半軸上的角是零角考點(diǎn)五扇形的弧長(zhǎng)與面積【例5】已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；（2）若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大；（3）若α=，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．【一隅三反】1．(2023濱州期末）若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則其圓心角的弧度數(shù)是（）A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或52．(2023高一下·常州期中）已知扇形的周長(zhǎng)為30cm，圓心角為3rad，則此扇形的弧長(zhǎng)為（）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm3.（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？考點(diǎn)六實(shí)際應(yīng)用【例6】(2023定州）（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見(jiàn)，高一某班的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對(duì)鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開(kāi)了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說(shuō)法正確的是（）A．小趙同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢(qián)同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12：35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說(shuō)：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”【一隅三反】1．(2023·蘭溪期中）如圖所示，一圓形鐘的時(shí)針長(zhǎng)，2021年11月9日上午至，時(shí)針的針頭自點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為.2．(2023杭州期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問(wèn)為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑為16步，問(wèn)這塊田的面積是多少平方步？”該問(wèn)題的答案為平方步.3．(2023如皋）達(dá)·芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫(huà)中女子神秘的微笑，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）A． B． C． D．4．（202臨潼期末）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)S1與的比值為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．5.1任意角與弧度制（精講）考點(diǎn)一角度制與弧度制的互換【例1】(2023廣東）把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)，度數(shù)化為弧度數(shù).（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.答案:（1）105°（2）-390°（3）254π解析：（1）根據(jù)弧度制與角度制的互化公式，，可得：；（2）（3）；（4）.【一隅三反】1．(2023宿州）將210°化成弧度為（）A． B． C． D．答案:D解析：。故答案為：D.2．(2023房山期中）將120°轉(zhuǎn)化為弧度為（）A． B． C． D．答案:B解析：，故答案為：B.3．(2023山西月考）角度化成弧度為（）A． B． C． D．答案:A解析：根據(jù)題意，。故答案為：A.考點(diǎn)二終邊相同的角【例2】(2023·漣水）在與角終邊相同的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角．（1）最大的負(fù)角；（2）最小的正角；（3）在內(nèi)的角．答案:見(jiàn)解析解析：（1）解：與角終邊相同的角為，.由且，可得，故所求的最大負(fù)角為（2）解：由且，可得，故所求的最小正角為（3）解：由且，可得，故所求的角為【一隅三反】1．(2023陜西期末）在0~360°的范圍內(nèi)，下列與-510°終邊相同的角是（）A．330° B．210° C．150° D．30°答案:B解析：因?yàn)?510°=-720°+210°，則在0°~360°的范圍內(nèi)，與-510°終邊相同的角是210°.故選：B

2(2023房山月考）在，，，中，與終邊相同的是（）A． B． C． D．答案:D解析：與終邊相同的角為：；當(dāng)時(shí)，.故答案為：D.3．(2023海東）下列各組角中，終邊相同的是（）A．43°和313° B．37°和787°C．65°和-655° D．124°和-576°答案:C解析：.故答案為：C．4(20232懷化）（多選）與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．答案:BD解析：與角終邊相同的角的集合是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：BD考點(diǎn)三角象限的判斷【例3-1】(2023南陽(yáng)）已知角，則角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:C解析：因?yàn)?，而是第三象限角，故角的終邊落在第三象限.故答案為：C.【例3-2】(2023碭山月考）角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:C解析：，則與終邊相同，故角的終邊所在的象限是

第三象限.故答案為：C

【一隅三反】1．(2023高一下·新余期末）410°角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:A解析：，故為第一象限角。故答案為：A．2．(2023·河池月考）已知角，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案:C解析：因?yàn)樗耘c是同一象限角，因?yàn)槭堑谌笙藿?，故為第三象限角．故答案為：C．3．(2023云南）角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:D解析：因?yàn)?，所以角與角是終邊相同的角，又，所以角的終邊在第四象限.故選：D考點(diǎn)四概念的辨析【例4】(2023山東）下列命題：①鈍角是第二象限的角；②小于90o的角是銳角；③第一象限的角一定不是負(fù)角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表時(shí)針走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為60o；⑥若，則是第四象限角．其中正確的題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:B解析：對(duì)于①：鈍角是大于小于的角，顯然鈍角是第二象限角.故①正確；對(duì)于②：銳角是大于小于的角，小于的角也可能是負(fù)角.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：顯然是第一象限角.故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤：時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角是負(fù)角.故⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥：因?yàn)?，所以，是第四象限?故⑥正確.綜上所述，①⑥正確.故答案為：B.【一隅三反】1．(2023·安徽蚌埠二中高一期中）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．銳角是第一象限的角 B．終邊相同的角必相等C．小于的角一定為銳角 D．第二象限的角必大于第一象限的角答案:A解析：對(duì)于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿(mǎn)足是第一象限角，所以A正確；對(duì)于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對(duì)于C中，例如：滿(mǎn)足，但不是銳角，所以C不正確；對(duì)于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時(shí)，所以D不正確.故選：A.2．(2023·浙江）下列命題中正確的是（）．A．終邊與始邊重合的角是零角 B．90°～180°間的角不一定是鈍角C．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角答案:B解析：終邊與始邊重合的角還有360°角，720°角等，故A錯(cuò)誤；90°～180°間的角包括90°角，故90°～180°間的角不一定是鈍角，故B正確；終邊和始邊都相同的兩個(gè)角相差，故C錯(cuò)誤；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D錯(cuò)誤．故選：B3．(2023·陜西大荔）下列說(shuō)法正確的是（）A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角終邊可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．終邊在軸正半軸上的角是零角答案:B解析：A選項(xiàng)，第一象限角，而是第二象限角，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，與終邊相等，但它們不相等，∴該選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若是第二象限角，則，∴是第三象限角或第四象限角或終邊在軸負(fù)半軸上的軸線角，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，角的終邊在軸正半軸上，但不是零角，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.考點(diǎn)五扇形的弧長(zhǎng)與面積【例5】已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；（2）若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大；（3）若α=，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．答案:見(jiàn)解析（1）解：l=10×=（cm）．（2）解：由已知得：l+2R=20，所以S=lR=（20﹣2R）R=﹣（R﹣5）2+25．所以R=5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l=10，α=2rad．（3）解：設(shè)弓形面積為S弓，由題知l=cm，S弓=S扇﹣S△=×22×sin（cm2）．【一隅三反】1．(2023濱州期末）若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則其圓心角的弧度數(shù)是（）A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5答案:A解析：設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，由題意得2R+l=1212Rl=8，解得l=4R=4或故扇形的圓心角的弧度數(shù)或4．故答案為：A.2．(2023高一下·常州期中）已知扇形的周長(zhǎng)為30cm，圓心角為3rad，則此扇形的弧長(zhǎng)為（）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm答案:C解析：由題意得：扇形的半徑為，圓心角為3rad扇形的周長(zhǎng)為：，解得所以扇形的弧長(zhǎng)為：故答案為：C3.（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？答案:見(jiàn)解析解析：（1）解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，由題意可得：2r+l=10，×l×r=4，解得：，或．故扇形中心角的弧度數(shù)為=，或8（由于8＞2π，舍去）．（2）解：設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為r和l，由題意可得2r+l=40，∴扇形的面積S=lr=?l?2r≤（）2=100，當(dāng)且僅當(dāng)l=2r=20，即l=20，r=10時(shí)取等號(hào)，此時(shí)圓心角為α==2，∴當(dāng)半徑為10圓心角為2時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100．考點(diǎn)六實(shí)際應(yīng)用【例6】(2023定州）（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見(jiàn)，高一某班的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對(duì)鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開(kāi)了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說(shuō)法正確的是（）A．小趙同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢(qián)同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12：35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說(shuō)：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”答案:ACD解析：經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為，A符合題意．經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為，B不符合題意．時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12：35，該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為，C符合題意．分針比時(shí)針多走一圈便會(huì)重合一次，設(shè)分針走了tmin，第n次和時(shí)針重合，則，得，故，D符合題意．故答案為：ACD【一隅三反】1．(2023·蘭溪期中）如圖所示，一圓形鐘的時(shí)針長(zhǎng)，2021年11月9日上午至，時(shí)針的針頭自點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為.答案:解析：2021年11月9日