新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-3平面與平面垂直一同步課件新人教A版必修第二冊

8.6.3平面與平面垂直(一)

必備知識·自主學(xué)習(xí)1.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)_______所組成的圖形叫做二面角.導(dǎo)思1.怎樣判定平面與平面垂直?2.平面與平面所成的角是怎樣定義的?半平面(2)相關(guān)概念:二面角的棱二面角的面記法AB,lα,β二面角α-AB-β;二面角α-l-β;二面角P-l-Q;二面角P-AB-Q(3)平面角①定義:在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作_______棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②范圍:_______________.③直二面角:平面角是直角的二面角.④本質(zhì):利用平面角度量二面角.垂直于0°≤α≤180°2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義①定義:兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是_________,那么這兩個(gè)平面互相垂直.②本質(zhì):線線垂直?面面垂直(2)平面與平面垂直的判定①判斷定理:如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_____,那么這兩個(gè)平面垂直.②符號:a?α,a⊥β?α⊥β.③本質(zhì):線面垂直?面面垂直.④應(yīng)用:判定面面垂直的依據(jù).直二面角垂線【思考】定義能否作為判定兩個(gè)平面垂直的依據(jù)?提示:能.定義既是判定也是性質(zhì).【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直. (

)(2)對于確定的二面角而言,平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān). (

)(3)已知一條直線垂直于某一個(gè)平面,則過該直線的任意一個(gè)平面與該平面都垂直. (

)提示:(1)√.由二面角的平面角的定義可知,二面角的平面角的邊所在的直線是兩條相交直線,且都與棱垂直,所以二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直,所以該命題正確.(2)×.對于確定的二面角而言,在其棱上任取兩個(gè)不同的點(diǎn),分別作這個(gè)二面角的平面角,因?yàn)樗鲀蓚€(gè)二面角的平面角所在的邊分別平行,且它們的方向相同,所以這兩個(gè)角相等,即平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān),只與二面角的張角大小有關(guān),所以該命題錯(cuò)誤.(3)√.由平面與平面垂直的判定定理可知,當(dāng)一條直線垂直于某一個(gè)平面時(shí),則過該直線的任意一個(gè)平面與該平面都垂直,所以該命題正確.提示:(1)√.由二面角的平面角的定義可知,二面角的平面角的邊所在的直線是兩條相交直線,且都與棱垂直,所以二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直,所以該命題正確.(2)×.對于確定的二面角而言,在其棱上任取兩個(gè)不同的點(diǎn),分別作這個(gè)二面角的平面角,因?yàn)樗鲀蓚€(gè)二面角的平面角所在的邊分別平行,且它們的方向相同,所以這兩個(gè)角相等,即平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān),只與二面角的張角大小有關(guān),所以該命題錯(cuò)誤.(3)√.由平面與平面垂直的判定定理可知,當(dāng)一條直線垂直于某一個(gè)平面時(shí),則過該直線的任意一個(gè)平面與該平面都垂直,所以該命題正確.2.在二面角α-l-β的棱l上任選一點(diǎn)O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,則必須具有的條件是 (

)A.AO⊥BO,AO?α,BO?βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO?α,BO?βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β【解析】選D.由二面角的平面角的定義可知.3.(教材二次開發(fā):例題改編)如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,則圖中與平面PCD垂直的平面是A.平面ABCD B.平面PBCC.平面PAD D.平面PCD【解析】選C.由PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,由四邊形ABCD為矩形得CD⊥AD,從而有CD⊥平面PAD,又因?yàn)镃D?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一二面角的概念及求法(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°2.(2020·寧波高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值為

.

3.在正四棱錐V-ABCD中,底面邊長為2,側(cè)棱長為,則二面角V-AB-C的大小為

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2.(2020·寧波高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值為

.

3.在正四棱錐V-ABCD中,底面邊長為2,側(cè)棱長為,則二面角V-AB-C的大小為

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【解析】1.選B.易知AB⊥AD,AB⊥AD1,所以∠D1AD就是二面角D1-AB-C的平面角,顯然∠D1AD=45°,所以二面角D1-AB-C的大小是45°.2.連接AC交BD于點(diǎn)O,連接A1O,如圖所示,因?yàn)锳1O⊥BD,AC⊥BD,所以∠A1OA即為二面角A1-BD-A的平面角,在△A1OA中,設(shè)AA1=a,則AO=a,所以二面角A1-BD-A的正切值為.答案:3.連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接VO,則VO⊥平面ABCD,取AB的中點(diǎn)E,連接VE,OE,則VE⊥AB,OE⊥AB,所以∠VEO是二面角V-AB-C的平面角.由題意,知OE=1,VE=2,所以∠VEO=60°.答案:60°【解題策略】求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若P是△ABC所在平面外一點(diǎn),而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小為

.

【解析】如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OA,OP,則∠POA為二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,PA=,所以△POA為直角三角形,∠POA=90°.答案:90°類型二面面垂直判定定理及應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)角度1面面垂直的判斷

【典例】(2020·信陽高一檢測)如圖,在三棱錐D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列命題中正確的有

(寫出全部正確命題的序號).

①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,④平面ACD⊥平面BDE.【思路導(dǎo)引】借助圖形直觀判斷或根據(jù)判定定理判斷.【解析】因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi),所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.答案:③④【變式探究】(變條件)本例中若AB=CB=3,AD=CD=DB=5,AC=6,試判斷平面ADC與平面BDE的關(guān)系.【解析】因?yàn)锳B=CB=3,AD=CD=DB=5,AC=6,且E為AC的中點(diǎn),所以DE=4,BE=3,又BD=5,所以三角形BDE是直角三角形,所以BE⊥DE,又BE⊥AC,所以BE⊥平面ADC,又BE?平面BDE,所以平面ADC⊥平面BDE.角度2面面垂直的證明

【典例】(2020·景德鎮(zhèn)高一檢測)如圖所示,在四棱錐A-BCDE中,△ABE是正三角形,四邊形BCDE為直角梯形,點(diǎn)M為CD中點(diǎn),且BC∥DE,BC⊥BE,AB=BC=2,DE=4,AM=2.求證:平面ABE⊥平面BCDE.【思路導(dǎo)引】利用面面垂直的定義或判定定理證明.【證明】取BE的中點(diǎn)O,并連接AO,OM.則據(jù)題意可得:中位線OM的長為|OM|=,且OM⊥BE.方法一:又因?yàn)椤鰽BE是正三角形,所以AO⊥BE,∠AOM為二面角A-BE-M的平面角.而|AO|=AB=,|AM|=2,有AO2+OM2=AM2,即∠AOM=90°.所以平面ABE⊥平面BCDE.方法二:因?yàn)閨AO|=AB=,|AM|=2,有AO2+OM2=AM2,即∠AOM=90°.所以O(shè)M⊥OA,所以O(shè)M⊥平面ABE,因?yàn)镸O?平面BCDE,所以平面BCDE⊥平面ABE.【解題策略】證明平面與平面垂直的兩個(gè)常用方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角,其判定的方法是:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個(gè)平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要證面面垂直,只要證線面垂直.即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是:【題組訓(xùn)練】1.如圖所示,在三棱錐V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,下列結(jié)論不正確的是

(

)A.平面VAC⊥平面ABCB.平面VAB⊥平面ABCC.平面VAC⊥平面VBCD.平面VAB⊥平面VBC【解析】選C.因?yàn)閂A⊥AB,VA⊥AC,AB∩AC=A,所以VA⊥平面ABC,又VA?平面VAB,VA?平面VAC,所以平面VAC⊥平面ABC,平面VAB⊥平面ABC,故A正確,B正確;由VA⊥平面ABC可得VA⊥BC,又BC⊥AB,AB∩VA=A,所以BC⊥平面VAB,又BC?平面VBC,所以平面VAB⊥平面VBC,故D正確.2.(2020·江蘇高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分別是AC,B1C的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面AB1C1;(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1.【證明】(1)因?yàn)镋,F分別是AC,B1C的中點(diǎn),所以EF∥AB1,因?yàn)镋F?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因?yàn)锽1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB,又因?yàn)锳B⊥AC,AC∩B1C=C,AC?平面AB1C,B1C?平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因?yàn)锳B?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.易錯(cuò)提醒核心知識方法總結(jié)核心素養(yǎng)直觀想象：求解二面角的問題求二面角時(shí)注意是銳角還是鈍角平面與平面垂直（一）面面垂直的判斷方法：（1）利用定義：作二面角的平面角→證明為直角（2）判定定理：轉(zhuǎn)化為證線面垂直，即在一個(gè)面內(nèi)找一條直線與另一個(gè)平面垂直二面角的求法：作出二面角的平面角并證明，將作出的角放在三角形中求解邏輯推理：面面垂直的證明問題涉及邏輯推理及其轉(zhuǎn)化思想在證明面面垂直時(shí)注意滿足的條件二面角定義判定定理應(yīng)用課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有 (

)A.0個(gè) B.1個(gè)C.無數(shù)個(gè) D.1個(gè)或無數(shù)個(gè)【解析】選D.當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí),可作無數(shù)個(gè)垂面,否則,只有1個(gè).2.從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α,β分別作垂線PE,PF,E,F為垂足,若∠EPF=30°,則二面角α-l-β的平面角的大小是 (

)A.30° B.150°C.30°或150° D.不確定【解析】選C.若點(diǎn)P在二面角內(nèi),則二面角的平面角為150°;若點(diǎn)P在二面角外,則二面角的平面角為30°.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)在空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有

(

)A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】選D.因?yàn)锳D⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BDC.又因?yàn)锳D在平面ADC內(nèi),所以平面ADC⊥平面DBC.4.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖),則圖中互相垂直的平面有

對.

【解析】因?yàn)镈A⊥AB,DA⊥PA,所以DA⊥平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5對.答案:55.已知在△ABC中,∠BAC=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),且PA=PB=PC,則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是

.

【解析】因?yàn)镻A=PB=PC,所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上,又Rt△ABC的外心為BC的中點(diǎn),設(shè)為O,則PO⊥平面ABC,又PO?平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.答案:平面PBC⊥平面ABCThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請您欣賞【解析】因?yàn)镈A⊥AB,DA⊥PA,所以DA⊥平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5對.答案:53.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)