高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練97離散型隨機(jī)變量及其分布列

[知識(shí)能否憶起]一、離散型隨機(jī)變量將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的

都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)，這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量．常用大寫字母

表示．所有取值可以

的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．一一列出每一個(gè)可能的結(jié)果X、Y

二、離散型隨機(jī)變量的分布列若離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2，…，隨機(jī)變量X取ai(i＝1,2，…)的概率為Pi(i＝1,2，…)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，則表p1

p2

稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．2．離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：(1)pi

0(i＝1,2，…)；(2)p1＋p2＋…＝

.>1三、超幾何分布[小題能否全取]1．(教材習(xí)題改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：答案：B

A．36 B．12C．9 D．8解析：X的可能取值為3,4,5,6,7,8,9,10,11共9種．答案：C

3．袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為X，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是 ()A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤5解析：由條件知“放回5個(gè)紅球”事件對(duì)應(yīng)的X為6.答案：C

4．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.答案：105．(教材習(xí)題改編)從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，隨機(jī)變量X的概率分布為：X012Pabc則a＝________，b＝________，c＝________.對(duì)隨機(jī)變量的理解(1)隨機(jī)變量具有如下特點(diǎn)：其一，在試驗(yàn)之前不能斷言隨機(jī)變量取什么值，即具有隨機(jī)性；其二，在大量重復(fù)試驗(yàn)中能按一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律取實(shí)數(shù)值的變量，即存在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．(2)由離散型隨機(jī)變量分布列的概念可知，離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．[例1]

(2012·岳陽模擬)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)X－101P1－2qq2則q等于 (

)[答案]

C要充分注意到分布列的兩條重要性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.其主要作用是用來判斷離散型隨機(jī)變量的分布列的正確性．1．(2012·廣州模擬)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：則k的值為 (

)答案：B

分布列的求法

[例2]

(2012·福建高考改編)受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(rùn)(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列．(2)依題意得，X1的分布列為：X2的分布列為：

求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后通過概率知識(shí)求出X取各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率值，注意利用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證．2．某旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供甲、乙、丙、丁共4條旅游線路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條，求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的分布列．

超幾何分布[例3]

(2012·浙江高考)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和．(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．

在本例條件下，記取出的3個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的分布列．所以Y的分布列為：

對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．3．(2012·烏魯木齊)某航空公司進(jìn)行空乘人員的招聘，記錄了前來應(yīng)聘的6名男生和9名女生的身高，數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下(單位：cm)．應(yīng)聘者獲知：男性身高在區(qū)間[174,182]，女性身高在區(qū)間[164,172]的才能進(jìn)入招聘的下一環(huán)節(jié)．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位數(shù)；(2)現(xiàn)從能進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的應(yīng)聘者中抽取2人，記X為抽取到的男生人數(shù)，求X的分布列及期望E(X)．[典例]

(2012·廣州模擬)某城市為準(zhǔn)備參加“全國(guó)文明城市”的評(píng)選，舉辦了“文明社區(qū)”評(píng)選的活動(dòng)，在第一輪暗訪評(píng)分中，評(píng)委會(huì)對(duì)全市50個(gè)社區(qū)分別從“居民素質(zhì)”和“社區(qū)服務(wù)”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均采用5分制．若設(shè)“社區(qū)服務(wù)”得分為X分，“居民素質(zhì)”得分為Y分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：社區(qū)數(shù)量居民素質(zhì)1分2分3分4分5分社區(qū)服務(wù)1分131012分107513分210934分ab6015分00113YX

(1)若“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于3分(即X≥3，且Y≥3)的社區(qū)可以進(jìn)入第二輪評(píng)比，現(xiàn)從50個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，求這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率；所以“居民素質(zhì)”得分Y的分布列為：[題后悟道]

1.根據(jù)分布列及期望值構(gòu)建方程，從而求出a、b的值，體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用．2．本題的易誤點(diǎn)：一是Y的分布列不準(zhǔn)確；二是由期望值建立方程錯(cuò)誤．(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求取球次數(shù)X的分布列．1．(2012·福州模擬)某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2011年9月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個(gè)小時(shí))的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谠撛?0天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．

教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）解題訓(xùn)練要高效見“課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十四）”(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列。2．(2012·長(zhǎng)春模擬)對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：(2)由(1)知，參加服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù)為360×0.6＝216.3．(2012·山東濟(jì)南)