河南省新鄉(xiāng)市原陽縣第一高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下學(xué)期4月份測試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘說明：1.本試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.將Ⅰ卷和Ⅱ卷的答案都寫在答題卷上，在試卷上答題無效.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知平面向量，，則等于（）A． B．C． D．2．如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，，若，，則的最小值是（

）

A． B． C． D．3．我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，E為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．4．設(shè)（、、）.已知關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，則關(guān)于的方程的解的情況，下列描述正確的是（

）A．方程只有虛根解，其中兩個(gè)是純虛根B．可能方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根的解C．可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)純虛數(shù)根D．可能方程沒有純虛數(shù)根的解5．已知與共線，且向量與向量垂直，則（

）A． B． C． D．6．已知非零向量滿足，則（

）A． B． C． D．7．圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為8．在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的3分.有選錯(cuò)的得0分.9．給出下列四個(gè)命題，其中正確的是（

）A．非零向量、滿足，則與的夾角是B．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，若滿足條件的有兩個(gè)，則b的取值范圍為C．若單位向量、，夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)D．已知，，，若為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是10．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，下列說法中，正確的命題是（

）A．的內(nèi)角B．一定是等邊三角形C．四邊形面積的最大值為D．四邊形面積無最大值11．在三角形中，令，，若，，，，則（）A．的夾角為B．，C．D．三角形的邊上的中線長為三、填空題：本題共3小題.每小題5分，共15分.12．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則.13．設(shè)圓臺(tái)的高為3，如圖，在軸截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，則圓臺(tái)的體積為.14．已知平面向量滿足，且與的夾角為120°，則的取值范圍是__________________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，.(1)求A的值；(2)若，，求c的值.16．已知向量，設(shè)函數(shù).(1)求在上的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.17．如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線與的交點(diǎn)為O，四邊形為梯形，.(1)若，求證：平面；(2)若，求證：平面平面.18．如圖，在中，，，，為邊上的高.(1)求的長；(2)設(shè)，.①若，求實(shí)數(shù)的值；②求的最小值.19．如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面的距離．1．A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的數(shù)乘和減法運(yùn)算直接求解即可【詳解】.故選：A2．A【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線以及平面向量基本定理推出，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，則，又，所以，又，，所以，所以，所以，消去得，所以，因?yàn)椋?，得，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A3．A【分析】作于點(diǎn)，設(shè)，由直角三角形求得，再根據(jù)向量分解（或向量的線性運(yùn)算）得結(jié)論．【詳解】作于點(diǎn)，則，設(shè)，由已知，，即，所以，，則，，所以，故選：A．

4．A【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)，再利用方程根的意義結(jié)合復(fù)數(shù)相等，推理計(jì)算判斷作答.【詳解】，，關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，設(shè)純虛數(shù)根為，則有，即，即有，，，方程化為，方程有兩個(gè)純虛數(shù)根為，方程化為：，整理得，于是得或，因此方程有兩個(gè)純虛數(shù)根，而方程中，，因此方程無實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)虛數(shù)根，不是純虛數(shù)根，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，C，D均不正確.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題，常設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)及相關(guān)運(yùn)算，探討關(guān)系式求解.5．B【分析】首先由平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算及得出，再由平面向量平行的坐標(biāo)表示及，得出，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)椋?，解得，所以，故選：B．6．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，化簡求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?故選：C.7．D【分析】過作交于點(diǎn)，求出，即可判斷B，再還原平面圖，求出相應(yīng)的線段長，即可判斷.【詳解】如圖過作交于點(diǎn)，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯(cuò)誤；還原平面圖如下圖，則，，，故A錯(cuò)誤；過作交于點(diǎn)，則，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即C錯(cuò)誤；四邊形的面積為：，即D正確.故選：D.8．B【分析】由題意得出，再由，，可得出，由三點(diǎn)共線得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時(shí)要充分利用三點(diǎn)共線得出定值條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9．BC【分析】選項(xiàng)A.由向量的平行四邊形法則結(jié)合幾何圖形可得判斷；選項(xiàng)B.由正弦定理可判斷；選項(xiàng)C.由可判斷；選項(xiàng)D.由且與不同向可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.非零向量、滿足，令：，，則，，由于，如圖所示：所以四邊形為菱形，且為等邊三角形；所以，則與的夾角為，故不正確．選項(xiàng)B.由正弦定理，若滿足條件的有兩個(gè)，則即，記得則b的取值范圍為，故B正確.選項(xiàng)C.若單位向量的、的夾角為，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C正確；選項(xiàng)D.對(duì)于，，，由于為銳角，所以且與不同向，即則且，故不正確．故選：BC10．ABC【分析】由正弦定理邊角關(guān)系及已知角的大小可得，即可判斷A、B；由余弦定理可得，結(jié)合，得到面積關(guān)于角D的三角函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及D的范圍求最值，判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，又，所以，，故，則或，又，故，A正確；所以是等邊三角形，B正確；由，則，且，而，所以當(dāng)時(shí)有最大面積為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求得向量夾角判斷A，解方程組求得判斷B，根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷C，利用向量中線公式用表示出中線向量（是邊中點(diǎn)），最終用表示，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求模判斷D．【詳解】由已知，而，所以，A正確；由，解得,B正確；顯然不平行，因此是錯(cuò)誤的，即C錯(cuò)；設(shè)邊的中點(diǎn)是，則，，D正確，故選：ABD．12．【分析】由題干可得且，進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】根據(jù)題意且，所以且，即，所以或（舍），故答案為：13．【分析】設(shè)上、下底面半徑分別為，結(jié)合圖形題意及幾何性質(zhì)可得，后由圓臺(tái)體積公式可得答案.【詳解】設(shè)上、下底面半徑，母線長分別為.作于點(diǎn)D，則，.又，則.又，則.則，又圓臺(tái)高，則圓臺(tái)體積.故答案為：.14．（0,]【詳解】解：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化，即可得到，再由，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算可得，再由余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，由正弦定理?又，所以.因?yàn)?，所?又，所以.（2）由，得，所以，所以點(diǎn)D在邊上，且，因?yàn)?，所以?在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根已舍去）.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡求得的表達(dá)式，根據(jù)x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案；（2）根據(jù)x的范圍，求得的最值，繼而求得的最大值，結(jié)合不等式恒成立，即得答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，則.由，可得，故函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，則，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最小值為0，所以在上的最大值為1，由于對(duì)任意恒成立，故，故的取值范圍為.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；（2）只需證明平面，即可證明平面平面.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵是菱形的對(duì)角線，的交點(diǎn)，∴，且，又∵，且，∴，且，從而為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）證明：連接，∵四邊形為菱形，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.18．(1)(2)①不存在實(shí)數(shù)；②【分析】（1）先求出的長，再利用等面積法求解即可；（2）①根據(jù)題意得，，利用數(shù)量積求解即可；②根據(jù)題意得，，利用數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意得，，即，解得，因?yàn)闉檫吷系母?，所以，解?（2）①由（1）知，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又，所以，解得，不符合題意，故不存在實(shí)數(shù)使②，，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，即.所以的最小值為：.19．(1)存在，(2)最大值為3，此時(shí)點(diǎn)F到平面的距離為【分析】（1）取，可得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則有，結(jié)合已知條件可證四邊形為平行四邊形即可證明結(jié)論；（2）利用有最大值，求出BE的長度，在中，由余弦定理得的值，進(jìn)一步求出的