新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第1課時(shí)余弦定理學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

6．4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理課程標(biāo)準(zhǔn)1.駕馭余弦定理及其推論．2．駕馭余弦定理的綜合應(yīng)用．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于__________________減去這兩邊與它們________________的兩倍公式表達(dá)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．?推論cosA＝b2+c2-a22bc，cosB要點(diǎn)二解三角形一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做____________．助學(xué)批注批注?(1)余弦定理對(duì)隨意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量．批注?余弦定理的推論是余弦定理的其次種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問(wèn)題．用余弦定理的推論還可以依據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)推斷三角形中的角是銳角還是鈍角．夯實(shí)雙基1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.()(2)余弦定理只適用于銳角三角形．()(3)已知三角形的三邊求三個(gè)內(nèi)角時(shí)，解是唯一的．()(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC肯定為鈍角三角形.()2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝2π3，則A.2B．3C．5D．73．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cosA＝45，b＝3，c＝5，則aA.3B．4C．10D．234．在△ABC中，若a＝8，b＝7，c＝5，則B＝________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1已知兩邊及一角解三角形例1(1)[2024·湖南邵陽(yáng)高一期末]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，則c＝()A．3B．3C．7D．5(2)[2024·福建福州高一期末]在△ABC中，AB＝2，AC＝5，B＝45°.則BC＝()A．1B．2C．3D．4題后師說(shuō)已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必需先推斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對(duì)角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．鞏固訓(xùn)練1(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，則BC的長(zhǎng)為()A．19B．13C．3D．7(2)[2024·湖北武漢高一期末]在△ABC中，a＝3，B＝π3，b＝3，則cA．3B．23C．33D．3題型2已知三邊解三角形例2(1)[2024·湖北荊州高一期中]已知鈍角三角形的邊長(zhǎng)分別為x，x＋1，x＋2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．0<x<3B．1<x<3C．1<x<5D．0<x<5(2)[2024·山東濰坊高一期末]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＋c2－b2＝233acsinB，則題后師說(shuō)1．已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清楚，結(jié)果唯一．2．若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常依據(jù)邊的關(guān)系干脆代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．鞏固訓(xùn)練2(1)[2024·福建三明高一期中]△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若a＝3，b＝13，c＝4，則B＝()A．π6B．C．π3D．(2)[2024·湖南邵陽(yáng)高一期中]若△ABC三邊長(zhǎng)a，b，c滿意等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，則cosC＝________．題型3利用余弦定理推斷三角形的形態(tài)例3在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試推斷該三角形的形態(tài)．題后師說(shuō)1．利用三角形的邊角關(guān)系推斷三角形的形態(tài)時(shí)，須要從“統(tǒng)一”入手，即運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題，一般有兩條思路：2．推斷三角形的形態(tài)時(shí)，常用到以下結(jié)論：①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC為銳角三角形?a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.鞏固訓(xùn)練3若在△ABC中，2a·cosB＝c，則三角形的形態(tài)肯定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形第1課時(shí)余弦定理新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一其它兩邊平方的和夾角的余弦的積要點(diǎn)二解三角形[夯實(shí)雙基]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos2π3＝7，所以c＝答案：D3．解析：由余弦定理得a＝b2+c答案：C4．解析：由余弦定理cosB＝a2+c2-因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝π3答案：π題型探究·課堂解透例1解析：(1)由已知c＝a2+b2-(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，得5＝2＋BC2－22·BCcos45°，解得BC＝3(負(fù)值舍去)．故選C.答案：(1)B(2)C鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由題意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋9－6＝7，則BC＝7.故選D.(2)由余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosπ3＝3＋c2－3c，即c2－3c∵c>0，解得c＝23.故選B.答案：(1)D(2)B例2解析：(1)三角形的邊長(zhǎng)分別為x，x＋1，x＋2，首先滿意x＋x＋1>x＋2，解得x>1，因?yàn)槿切螢殁g角三角形，所以長(zhǎng)邊x＋2所對(duì)的角α為鈍角，則滿意cosα＝x2+x+12-所以1<x<3，故選B.(2)因?yàn)閍2＋c2－b2＝233acsinB，所以33sinB所以33sinB＝cosB，所以tanB＝3，又0<B<π，所以B＝π答案：(1)B(2)π鞏固訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閍＝3，b＝13，c＝4，所以由余弦定理得，cosB＝a2+c2-因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝π3(2)因?yàn)?a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cosC＝a2+b答案：(1)C(2)－1例3解析：由acosB＋acosC＝b＋c并結(jié)合