江蘇專用2025屆高考數(shù)學一輪復習收官卷02含解析VIP

Page212024屆高考數(shù)學一輪復習收官卷02（江蘇專用）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·江蘇·沭陽縣建陵高級中學高三階段練習）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意：，解得，；故選：B.2．（2024·江蘇南京·高二期中）已知復數(shù)z滿意，則（

）A．2 B． C．5 D．10【答案】B【詳解】解：因為，所以，所以.故選：B.3．（2024·江蘇宿遷·高二期中）若拋物線上的點到焦點的距離為8，則點到軸的距離是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【詳解】解：因為拋物線的方程為，所以，解得，所以準線方程為，又因為點到焦點的距離為8，所以點到準線的距離為8，設(shè)點到軸的距離為，則有，所以.故選：A.4．（2024·江蘇南通·高二期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠選擇全部素數(shù)的一種古老的方法．這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個2不動，剔除掉全部2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個數(shù)3不動，剔除掉全部3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除．剔除到最終，剩下的便全是素數(shù)．在利用“埃拉托塞尼篩法”選擇2到30的全部素數(shù)過程中剔除的全部數(shù)的和為（

）A．333 B．335 C．337 D．341【答案】B【詳解】2到30的全部整數(shù)和，2到30的全部素數(shù)和，所以剔除的全部數(shù)的和為.故選：B5．（2024·江蘇蘇州·高三期中）已知函數(shù)（）的周期為，那么當時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，，，，所以.故選：B6．（2024·江蘇南通·高二期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，令，得：當，即此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點，反之，當，即，此時在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的微小值點，不符合題意；當，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點.綜上得：.故選：A.7．（2024·江蘇·鹽城中學高三階段練習）在正四棱臺中，，，則該棱臺外接球的半徑為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【詳解】[解法1]由題意知：四邊形均為正方形，為上下底面的中心，設(shè)正四棱臺的外接球球心為，外接球半徑為，則直線；，，，又，，當位于線段上時，設(shè)，則，解得：（舍）；當位于線段的延長線上時，設(shè)，則，解得：，所以,故選：C.[解法2]同解法1，求得為直角梯形，如圖所示，取的中點，連接,則為等腰直角三角形，四邊形為正方形，取中點,連接并延長交的延長線于點,由于為的中垂線，所以,即O為四棱臺的外接球的球心，明顯，，所以外接球半徑.故選：C.8．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)料）北京冬奧會火種臺（圖1）以“承天載物”為設(shè)計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部伸綻開闊，寓意迎接純凈的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為雙曲線的一部分圍著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高50cm，上口直徑為，底座直徑為25cm，最小直徑為20cm，則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為（

）A．2 B．C． D．【答案】B【詳解】建立雙曲線標準方程的直角坐標系，最小直徑在軸，如圖，雙曲線方程為，則，，（），（）在雙曲線上，且，由，即，，，由，得，所以，，，離心率為．故選：B．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024·江蘇·南京師大附中高二期中）為迎接黨的二十大成功召開，某中學實行黨史學問競賽，對全校參賽的1000名學生的得分狀況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)依據(jù)?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，依據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（

）A．B．得分在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)為200C．該校學生黨史學問競賽成果的中位數(shù)大于80D．估計該校學生黨史學問競賽成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)【答案】ABD【詳解】對于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對于B，由頻率分布直方圖得：成果落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B正確；對于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成果的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯誤；對于D，估計成果的平均數(shù)為：，所以成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：ABD.10．（2024·江蘇南通·高二期中）已知直線，和圓，下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點B．圓C被x軸截得的弦長為C．直線被圓截得的弦長存在最大值，且最大值為D．直線被圓截得的弦長存在最小值，且最小值為【答案】ABD【詳解】對于A，由，得，聯(lián)立，得，無論m為何值，直線恒過定點，故A正確；對于B，在中，令，得，所以圓被軸截得的弦長為，故B正確；對于C，當直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最大，最大值為圓直徑4，故C錯誤；對于D，由于直線恒過的定點，易知此點在圓內(nèi)，設(shè)此定點為，當直線與直徑垂直時，直線l被圓截得的弦長最小，且最小值為，故D正確.故選：ABD11．（2024·江蘇·揚州中學高二階段練習）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則（

）A．直線BD1⊥平面A1C1DB．三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值C．異面直線AP與A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【詳解】對于選項A，正方體中，，，且，平面，平面，平面，，同理，，，且，平面，直線平面，A選項正確；對于選項B，正方體中，平面，平面，平面，點在線段上運動，到平面的距離為定值，又△的面積是定值，三棱錐的體積為定值，B選項正確；對于選項C，，異面直線與所成角為直線與直線的夾角．易知△為等邊三角形，當為的中點時，；當與點或重合時，直線與直線的夾角為．故異面直線與所成角的取值范圍是，C選項錯誤；對于選項D，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，點豎坐標為，，則，，，，所以，．由選項A正確：可知是平面的一個法向量，直線與平面所成角的正弦值為：，當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D選項正確．故選：ABD．12．（2024·江蘇·揚州中學高二階段練習）已知函數(shù)及其導函數(shù)滿意，且，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上有微小值C．的最小值為-1 D．的最小值為0【答案】ABD【詳解】設(shè)，則，所以（C為常數(shù)），所以，又，所以，所以，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以在處取得微小值，因為，所以，所以在上有微小值可知A，B都正確．，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以的微小值即最小值為，故C錯誤．，當時，，，所以，當時，，，所以，而當時，，所以的最小值為0，故D正確．故選：ABD.三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分．）13．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)料）已知，試寫出一個滿意條件①②③的__________．①：

②：

③【答案】（答案不唯一：）【詳解】由②③得，所以，相減得，，結(jié)合①，取，則，只要為正整數(shù)都滿意題意．故答案為：（答案不唯一）．14．（2024·江蘇·南京市秦淮中學高一期中）一個數(shù)字不重復的三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次記為，，，當且僅當，，中有兩個不同數(shù)字的和等于剩下的一個數(shù)字時，稱這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”（如213，341等）．現(xiàn)從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個數(shù)字不重復的三位數(shù)，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是______．【答案】##【詳解】解：從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個數(shù)字不重復的三位數(shù)的個數(shù)為，1，2，3，4這四個數(shù)字中兩個的和等于第三個的有123，134，因此“有緣數(shù)”個數(shù)為，所以這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率．故答案為：．15．（2024·江蘇泰州·高三期中）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則的最小值為_____．【答案】【詳解】曲線在點A處的切線可寫作設(shè)該切線在曲線上的切點為，則有，消去t得則當且僅當，即時取得該最小值.故答案為：.16．（2024·江蘇蘇州·高三期中）侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種特別有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由多數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上．設(shè)外圍第一個正方形的邊長為1，往里其次個正方形為，…，往里第個正方形為．那么第7個正方形的周長是____________，至少須要前____________個正方形的面積之和超過2．（參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】

【詳解】因為每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上，且外圍第一個正方形的邊長為1，所以，,由勾股定理有：，設(shè)第個正方形的邊長為，則，，……，，所以，所以第7個正方形的周長是，第n個正方形的面積為，則第1個正方形的面積為，則第2個正方形的面積為，則第3個正方形的面積為，……則第n個正方形的面積為，前n個正方形的面積之和為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以至少須要前4個正方形的面積之和超過2．故答案為：，4.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．）17．（2024·江蘇省響水中學高二期中）已知數(shù)列的首項，且滿意.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿意條件的最大整數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比.（2），所以，.方法一因為，所以，，所以，故滿意條件的最大整數(shù).方法二令，因為，所以，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，又因為，，故滿意條件的最大整數(shù).18．（2024·江蘇·海門中學高二階段練習）在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習慣．某探討小組為探討轉(zhuǎn)筆與學習成果好差的關(guān)系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．(1)請完成下列2×2列聯(lián)表．并推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，認為成果是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)．上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計優(yōu)秀25合格40合計100(2)現(xiàn)實行分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中合格的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．(3)若將頻率視作概率，從全市全部在校學生中隨機抽取20人進行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為k的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中．【答案】(1)填表見解析；能(2)分布列見解析；期望為(3)(1)上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計優(yōu)秀52530合格403070合計4555100答：能在在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，認為成果是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)(2)個人中優(yōu)秀的人數(shù)為，則合格的人數(shù)為人，由分層抽樣可知：人中有人優(yōu)秀，人合格；由題意可以取，，則的分布列為：2345答：的期望為(3)由題意可知則解得，又故答：當時，取最大值時19．（2024·江蘇·海安高級中學高三階段練習）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，D為邊BC上一點，若．(1)證明：①AD平分∠BAC，②；(2)若，求的最大值．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)（1）①設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，在△ABD中，由正弦定理得：，即，在△ACD中，由正弦定理得：，即由題意可得：，則∵，則∴，又因為，所以=，即所以AD平分∠BAC，②由題意可得：，即整理得：∵，∴即證（2）因為，即又∵所以，即所以，則∴，當且僅當時等號成立所以的最大值為．20．（2024·江蘇揚州·高三期中）如圖，在體積為1的四棱錐P－ABCD中，，．(1)證明：平面平面；(2)若點E為棱BC上一動點，求直線PE與平面PAD所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點，連接，因為所以，則，又，所以且，所以四邊形為正方形，所以，則，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：連接交于點，則為的中點，，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，則線段即為四棱錐的高，則，解得，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)直線PE與平面PAD所成角為，則，當時，，所以直線PE與平面PAD所成角的正弦值的最大值為.21．（2024·江蘇省阜寧中學高二期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線與雙曲線在軸右側(cè)相交于兩點，線段的垂直平分線與軸相交于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值為【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，∴