2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模型專題 垂線段最短 強(qiáng)化訓(xùn)練(含答案)

2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模型專題垂線段最短強(qiáng)化訓(xùn)練類型一一動(dòng)一定1.已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝2S0，則線段OP長(zhǎng)的最小值是()A.eq\f(3\r(3),2)B.eq\f(5\r(3),2)C.3eq\r(3)D.eq\f(7\r(3),2)2.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______．第2題圖類型二兩動(dòng)一定3.菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P，Q分別是BC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ＋PQ的最小值為_(kāi)_______．第3題圖類型三一動(dòng)兩定(“胡不歸”問(wèn)題)4.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋eq\f(1,2)PB的最小值是________．第4題圖5.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝eq\f(4,5)，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D.點(diǎn)P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋eq\f(3,5)PB的最小值為_(kāi)_______________．第5題圖參考答案與解析1.B【解析】如解圖，設(shè)點(diǎn)P在BC下方，∵S1＋S2＋S3＝2S0，且S1＋S2＋S3＝S△ABC＋2S△PBC，∴S1＋S2＋S3＝S0＋2S2，∴2S0＝S0＋2S2，∴S2＝eq\f(1,2)S0，∵△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，∴S0＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，∴S2＝eq\f(9\r(3),2)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，交直線l于點(diǎn)P′.∵△PBC的面積是定值，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線l，∵O是△ABC的中心，∴AP′⊥BC，AP′⊥PP′，∴eq\f(1,2)BC·HP′＝eq\f(9\r(3),2)，AH＝3eq\r(3)，OH＝eq\r(3)，∴HP′＝eq\f(3\r(3),2)，∴OP′＝OH＋HP′＝eq\f(5\r(3),2)，∵OP≥OP′，∴OP的最小值為eq\f(5\r(3),2).第1題解圖2.eq\f(12,5)【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(52－32)＝4.如解圖，設(shè)AC與PQ相交于O，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2.∴PQ最短也就是PO最短，過(guò)O作OP′⊥BC于點(diǎn)P′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CP′O∽△CAB，∴eq\f(CO,BC)＝eq\f(OP′,AB)，∴eq\f(2,5)＝eq\f(OP′,3)，∴OP′＝eq\f(6,5)，∴則PQ的最小值為2OP′＝eq\f(12,5).第2題解圖3.eq\r(2)【解析】∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，如解圖，連接AQ，AP，則CQ＋PQ＝AQ＋PQ，當(dāng)A，Q，P三點(diǎn)共線且AP⊥BC時(shí)，CQ＋PQ取得最小值，作AP′⊥BC交BC于點(diǎn)P′，最小值為AP′的長(zhǎng)．∵∠ABC＝45°，AB＝2，∴AP′＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(2)，∴CQ＋PQ的最小值為eq\r(2).第3題解圖4.eq\f(7\r(3),2)【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝eq\f(1,2)PB，∴MP＋eq\f(1,2)PB＝PM＋PE，∴當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)P，點(diǎn)E共線且ME⊥BC時(shí)，PM＋PE有最小值為ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB＝eq\f(ME,MC)＝eq\f(\r(3),2)，∴ME＝eq\f(7\r(3),2)，∴MP＋eq\f(1,2)PB的最小值為eq\f(7\r(3),2).第4題解圖5.eq\f(16,5)【解析】如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，∵AB＝5，sinA＝eq\f(4,5)，BD⊥AC，∴BD＝AB·sinA＝4，∴在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝3，∴sin∠ABD＝eq\f(3,5)，∴PH＝PB·sin∠ABD＝eq\f(3,5)PB，∴PC＋eq\f(3,5)PB＝PC＋PH，若使PC＋eq\f(3,5)PB的值最小，也就相當(dāng)于PC＋PH的值最小，如解圖②，當(dāng)C，P，H三